二项分布与正态曲线-7.5 正态分布知识点课后基础自测题解析-河北省等高三数学选择必修,平均正确率70.0%

1、['正态分布及概率密度函数'， '3σ原则'， '二项分布与正态曲线']

正确率60.0%某面粉供应商所供应的某种袋装面粉的重量(单位：$${{k}{g}{)}}$$服从正态分布$${{N}{[}{{1}{0}}{，}{{0}{.}{1}^{2}}{]}{，}}$$现随机抽取$${{5}{0}{0}}$$袋样本$${，{X}}$$表示抽取的面粉重量在$${{[}{{1}{0}}{，}{{1}{0}{.}{2}}{]}}$$内的袋数，则$${{X}}$$的数学期望约为（）
附：若$${{Z}}$$～$${{N}{(}{μ}{，}{{σ}^{2}}{)}{，}}$$则$${{P}{(}{μ}{−}{σ}{⩽}{Z}{⩽}{μ}{+}{σ}{)}{≈}{{0}{.}{6}{8}{3}}{，}{P}{(}{μ}{−}{2}{σ}{⩽}{Z}{⩽}{μ}{+}{2}{σ}{)}{≈}{{0}{.}{9}{5}{4}}}$$.

A.$${{1}{7}{1}}$$

B.$${{2}{3}{9}}$$

C.$${{3}{4}{1}}$$

D.$${{4}{7}{7}}$$

2、['标准正态分布'， '二项分布与正态曲线']

正确率60.0%若随机变量$${{ξ}{∼}{N}{(}{μ}{，}{{σ}^{2}}{)}{，}}$$且$${{E}{(}{ξ}{)}{=}{3}{，}{D}{(}{ξ}{)}{=}{1}{，}}$$则$${{P}{(}{−}{1}{⩽}{ξ}{<}{1}{)}}$$等于（）

A.$${{2}{Φ}{(}{1}{)}{−}{1}}$$

B.$${{Φ}{(}{4}{)}{−}{Φ}{(}{2}{)}}$$

C.$${{Φ}{(}{−}{4}{)}{−}{Φ}{(}{−}{2}{)}}$$

D.$${{Φ}{(}{2}{)}{−}{Φ}{(}{4}{)}}$$

3、['二项分布与n重伯努利试验'， '二项分布的期望和方差'， '二项分布与正态曲线'， '离散型随机变量的均值或数学期望'， '正态曲线的性质'， '离散型随机变量的方差、标准差']

正确率40.0%$${{“}}$$立定跳远$${{”}}$$是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据$${{ξ}}$$(单位：$${{c}{m}{)}}$$服从正态分布$${{N}{(}{{2}{0}{0}}{，}{{σ}^{2}}{)}{，}}$$且$${{P}{(}{ξ}{⩾}{{2}{2}{0}}{)}{=}{{0}{.}{1}}}$$.现从该地区高中男生中随机抽取$${{3}}$$人，记立定跳远测试数据不在$${{(}{{1}{8}{0}}{，}{{2}{2}{0}}{)}}$$内的人数为$${{X}{，}}$$则（）

A.$${{P}{(}{{1}{8}{0}}{<}{ξ}{<}{{2}{2}{0}}{)}{=}{{0}{.}{9}}}$$

B.$${{E}{(}{X}{)}{=}{{2}{.}{4}}}$$

C.$${{D}{(}{X}{)}{=}{{0}{.}{1}{6}}}$$

D.$${{P}{(}{X}{⩾}{1}{)}{=}{{0}{.}{4}{8}{8}}}$$

4、['二项分布与正态曲线'， '正态曲线的性质']

正确率60.0%已知随机变量$${{X}{～}{B}{（}{2}{，}{p}{）}{，}{Y}{～}{N}{（}{2}{，}{{σ}^{2}}{）}}$$，若$${{P}{（}{X}{⩾}{1}{）}{=}{{0}{.}{6}{4}}{，}{P}{（}{0}{<}{Y}{<}{2}{）}{=}{p}}$$，则$${{P}{（}{Y}{>}{4}{）}{=}{（}}$$）

A.$${{0}{.}{1}}$$

B.$${{0}{.}{2}}$$

C.$${{0}{.}{4}}$$

D.$${{0}{.}{8}}$$

5、['二项分布与正态曲线'， '正态曲线的性质']

正确率60.0%已知随机变量$${{X}{∼}{N}{(}{2}{，}{{σ}^{2}}{)}}$$，若$${{P}{(}{X}{<}{a}{)}{=}{{0}{.}{3}{2}}}$$，则$${{P}{(}{a}{⩽}{X}{<}{4}{−}{a}{)}}$$等于（）

A.$${{0}{.}{3}{2}}$$

B.$${{0}{{.}{6}{8}}}$$

C.$${{0}{{.}{3}{6}}}$$

D.$${{0}{{.}{6}{4}}}$$

8、['二项分布与正态曲线'， '正态曲线的性质']

正确率60.0%设随机变量$${{X}}$$服从正态分布$${{N}{（}{μ}{，}{{σ}^{2}}{）}}$$，若$${{P}{（}{X}{>}{4}{）}{=}{P}{（}{X}{<}{0}{）}}$$，则$${{μ}{=}}$$（）

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{9}}$$

D.$${{1}}$$

9、['离散型随机变量'， '二项分布与正态曲线'， '正态曲线的性质']

正确率60.0%随机变量$${{ξ}{～}{N}{（}{0}{，}{1}{）}{，}}$$记$${{φ}{（}{x}{）}{=}{P}{（}{ξ}{<}{x}{）}{，}}$$则下列结论不正确的是（）

A.$$\varphi( 0 )=\frac{1} {2}$$

B.$${{φ}{（}{x}{）}{=}{1}{−}{φ}{（}{−}{x}{）}}$$

C.$${{P}{（}{|}{ξ}{|}{<}{a}{）}{=}{2}{φ}{（}{a}{）}{−}{1}}$$

D.$${{P}{（}{|}{ξ}{|}{>}{a}{）}{=}{1}{−}{φ}{（}{a}{）}}$$

1. 解析：面粉重量服从$$N(10, 0.1^2)$$，区间$$[10, 10.2]$$对应$$μ$$到$$μ+2σ$$。根据正态分布性质，$$P(10 ≤ X ≤ 10.2) ≈ \frac{0.954}{2} = 0.477$$。数学期望$$E(X) = n \cdot p = 500 \times 0.477 ≈ 238.5$$，最接近选项B（239）。

2. 解析：$$ξ ∼ N(3, 1)$$，求$$P(-1 ≤ ξ < 1)$$。标准化得$$P(-4 ≤ Z < -2) = Φ(-2) - Φ(-4)$$。由正态分布对称性，$$Φ(-2) = 1 - Φ(2)$$，$$Φ(-4) = 1 - Φ(4)$$，因此原式等于$$Φ(4) - Φ(2)$$，对应选项B。

3. 解析：$$ξ ∼ N(200, σ^2)$$，$$P(ξ ≥ 220) = 0.1$$，由对称性$$P(ξ ≤ 180) = 0.1$$，故$$P(180 < ξ < 220) = 0.8$$（A错误）。$$X$$服从二项分布$$B(3, 0.2)$$，$$E(X) = 3 \times 0.2 = 0.6$$（B错误），$$D(X) = 3 \times 0.2 \times 0.8 = 0.48$$（C错误）。$$P(X ≥ 1) = 1 - P(X=0) = 1 - 0.8^3 = 0.488$$（D正确）。

4. 解析：由$$X ∼ B(2, p)$$，$$P(X ≥ 1) = 1 - (1-p)^2 = 0.64$$，解得$$p = 0.4$$。$$Y ∼ N(2, σ^2)$$，$$P(0 < Y < 2) = P(Y < 2) - P(Y ≤ 0) = 0.5 - Φ\left(\frac{-2}{σ}\right) = 0.4$$，故$$Φ\left(\frac{2}{σ}\right) = 0.9$$。$$P(Y > 4) = P\left(Z > \frac{2}{σ}\right) = 1 - Φ\left(\frac{2}{σ}\right) = 0.1$$，选A。

5. 解析：$$X ∼ N(2, σ^2)$$，$$P(X < a) = 0.32$$，由对称性$$P(X > 4-a) = 0.32$$。因此$$P(a ≤ X < 4-a) = 1 - 0.32 \times 2 = 0.36$$，选C。

8. 解析：正态分布对称性要求$$μ$$为区间$$[0, 4]$$中点，故$$μ = 2$$，选A。

9. 解析：$$ξ ∼ N(0, 1)$$，$$φ(0) = 0.5$$（A正确）。由对称性$$φ(x) = 1 - φ(-x)$$（B正确）。$$P(|ξ| < a) = φ(a) - φ(-a) = 2φ(a) - 1$$（C正确）。$$P(|ξ| > a) = 1 - P(|ξ| < a) = 2 - 2φ(a)$$（D错误），故选D。

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