二项分布与正态曲线-正态分布知识点教师选题基础自测题解析-内蒙古自治区等高三数学选择必修,平均正确率74.0%

1、['标准正态分布'， '二项分布与正态曲线']

正确率60.0%若随机变量$${{ξ}{∼}{N}{(}{μ}{，}{{σ}^{2}}{)}{，}}$$且$${{E}{(}{ξ}{)}{=}{3}{，}{D}{(}{ξ}{)}{=}{1}{，}}$$则$${{P}{(}{−}{1}{⩽}{ξ}{<}{1}{)}}$$等于（）

A.$${{2}{Φ}{(}{1}{)}{−}{1}}$$

B.$${{Φ}{(}{4}{)}{−}{Φ}{(}{2}{)}}$$

C.$${{Φ}{(}{−}{4}{)}{−}{Φ}{(}{−}{2}{)}}$$

D.$${{Φ}{(}{2}{)}{−}{Φ}{(}{4}{)}}$$

2、['二项分布与正态曲线'， '正态曲线的性质']

正确率80.0%设随机变量$${{X}}$$～$${{N}{(}{3}{，}{{σ}^{2}}{)}{，}}$$若$${{P}{(}{X}{>}{m}{)}{=}{{0}{.}{3}}{，}}$$则$${{P}{(}{X}{⩾}{6}{−}{m}{)}{=}}$$（）

A.$${{0}{.}{3}}$$

B.$${{0}{.}{4}}$$

C.$${{0}{.}{6}}$$

D.$${{0}{.}{7}}$$

3、['二项分布的期望和方差'， '二项分布与正态曲线'， '正态曲线的性质']

正确率60.0%一块试验田中某种作物$${{1}}$$株生长的果实个数$${{x}{∼}{N}{(}{{9}{0}}{，}{{σ}^{2}}{)}{，}}$$且$${{P}{(}{x}{<}{{7}{0}}{)}{=}{{0}{.}{2}}{，}}$$从该试验田中随机抽取$${{1}{0}}$$株作物，果实个数在$${{[}{{9}{0}}{，}{{1}{1}{0}}{]}}$$内的株数记作随机变量$${{X}{，}}$$且$${{X}}$$服从二项分布，则$${{X}}$$的方差为（）

A.$${{3}}$$

B.$${{2}{.}{1}}$$

C.$${{0}{.}{3}}$$

D.$${{0}{.}{2}{1}}$$

4、['二项分布与正态曲线'， '正态曲线的性质']

正确率60.0%已知随机变量$${{X}{∼}{N}{(}{3}{，}{{σ}^{2}}{)}{(}{σ}{>}{0}{)}}$$，若$${{P}{(}{X}{>}{0}{)}{=}{{0}{.}{8}}}$$，则$${{P}{(}{X}{>}{6}{)}{=}{(}{)}}$$

A.$${{0}{.}{2}}$$

B.$${{0}{.}{4}}$$

C.$${{0}{.}{6}}$$

D.$${{0}{.}{8}}$$

7、['二项分布与正态曲线'， '正态曲线的性质']

正确率60.0%某学校高三模拟考试中数学成绩$${{X}}$$服从正态分布$${{N}{(}{{7}{5}}{，}{{1}{2}{1}}{)}}$$，考生共有$${{1}{0}{0}{0}}$$人，估计数学成绩在$${{7}{5}}$$分到$${{8}{6}}$$分之间的人数约为（）人．
参考数据：$${{P}{(}{μ}{−}{σ}{<}{X}{<}{μ}{+}{σ}{)}{=}{{0}{.}{6}{8}{2}{6}}{，}{P}{(}{μ}{−}{2}{σ}{<}{X}{<}{μ}{+}{2}{σ}{)}{=}{{0}{.}{9}{5}{4}{4}}{)}}$$

A.$${{2}{6}{1}}$$

B.$${{3}{4}{1}}$$

C.$${{4}{7}{7}}$$

D.$${{6}{8}{3}}$$

9、['正态分布及概率密度函数'， '二项分布与正态曲线']

正确率60.0%$${{ξ}{∼}{N}{(}{0}{，}{{δ}^{2}}{)}{，}{P}{(}{−}{2}{⩽}{ξ}{⩽}{0}{)}{=}{{0}{.}{4}}{，}}$$则$${{P}{(}{ξ}{⩽}{−}{2}{)}{=}}$$（）

A.$${{0}{.}{1}}$$

B.$${{0}{.}{2}}$$

C.$${{0}{.}{3}}$$

D.$${{0}{.}{4}}$$

10、['3σ原则'， '二项分布与正态曲线'， '正态曲线的性质']

正确率60.0%山东烟台苹果因$${{“}}$$果形端正$${、}$$色泽艳丽$${、}$$果肉甜脆$${、}$$香气浓郁$${{”}}$$享誉国内外．据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：$${{m}{m}{）}}$$服从正态分布$${{N}{（}{{8}{0}}{，}{{5}^{2}}{）}}$$，则直径在$${（{{7}{5}}{，}{{9}{0}}{]}}$$内的概率为（）
附：若$${{X}{∼}{N}{{(}{{μ}{，}{{σ}^{2}}}{)}}}$$，则$${{P}{(}{μ}{−}{σ}{<}{X}{⩽}{μ}{+}{σ}{)}{=}{{0}{.}{6}{8}{2}{6}}{，}}$$$${{P}{(}{μ}{−}{2}{σ}{<}{X}{⩽}{μ}{+}{2}{σ}{)}{=}{{0}{.}{9}{5}{4}{4}}}$$．

A.$${{0}{.}{6}{8}{2}{6}}$$

B.$${{0}{.}{8}{4}{1}{3}}$$

C.$${{0}{.}{8}{1}{8}{5}}$$

D.$${{0}{.}{9}{5}{4}{4}}$$

1. 解析：

已知 $$ξ∼N(μ, σ^2)$$，且 $$E(ξ)=3$$，$$D(ξ)=1$$，即 $$μ=3$$，$$σ=1$$。

计算 $$P(−1⩽ξ<1)$$：

标准化得 $$P(−1⩽ξ<1) = P\left(\frac{−1−3}{1} ⩽ \frac{ξ−3}{1} < \frac{1−3}{1}\right) = P(−4 ⩽ Z < −2)$$，其中 $$Z∼N(0,1)$$。

利用标准正态分布表：

$$P(−4 ⩽ Z < −2) = Φ(−2) − Φ(−4) = [1 − Φ(2)] − [1 − Φ(4)] = Φ(4) − Φ(2)$$。

因此，正确答案为 B。

2. 解析：

随机变量 $$X∼N(3, σ^2)$$，且 $$P(X>m)=0.3$$。

由正态分布的对称性，$$P(X ⩽ 6−m) = P(X > m) = 0.3$$。

因此，$$P(X ⩾ 6−m) = 1 − P(X ⩽ 6−m) = 1 − 0.3 = 0.7$$。

正确答案为 D。

3. 解析：

$$x∼N(90, σ^2)$$，且 $$P(x<70)=0.2$$。

标准化得 $$P\left(\frac{x−90}{σ} < \frac{70−90}{σ}\right) = 0.2$$，即 $$Φ(−20/σ) = 0.2$$。

因为 $$Φ(−a) = 1 − Φ(a)$$，所以 $$Φ(20/σ) = 0.8$$。

计算 $$P(90 ⩽ x ⩽ 110)$$：

$$P\left(\frac{90−90}{σ} ⩽ \frac{x−90}{σ} ⩽ \frac{110−90}{σ}\right) = P(0 ⩽ Z ⩽ 20/σ) = Φ(20/σ) − Φ(0) = 0.8 − 0.5 = 0.3$$。

$$X$$ 服从二项分布 $$B(10, 0.3)$$，方差为 $$10 × 0.3 × (1−0.3) = 2.1$$。

正确答案为 B。

4. 解析：

$$X∼N(3, σ^2)$$，且 $$P(X>0)=0.8$$。

标准化得 $$P\left(\frac{X−3}{σ} > \frac{0−3}{σ}\right) = 0.8$$，即 $$1 − Φ(−3/σ) = 0.8$$。

因为 $$Φ(−a) = 1 − Φ(a)$$，所以 $$Φ(3/σ) = 0.8$$。

计算 $$P(X>6)$$：

$$P\left(\frac{X−3}{σ} > \frac{6−3}{σ}\right) = 1 − Φ(3/σ) = 1 − 0.8 = 0.2$$。

正确答案为 A。

7. 解析：

$$X∼N(75, 121)$$，即 $$μ=75$$，$$σ=11$$。

计算 $$P(75 < X < 86)$$：

$$P\left(\frac{75−75}{11} < \frac{X−75}{11} < \frac{86−75}{11}\right) = P(0 < Z < 1) = Φ(1) − Φ(0) ≈ 0.8413 − 0.5 = 0.3413$$。

人数约为 $$1000 × 0.3413 ≈ 341$$ 人。

正确答案为 B。

9. 解析：

$$ξ∼N(0, δ^2)$$，且 $$P(−2 ⩽ ξ ⩽ 0)=0.4$$。

由对称性，$$P(0 ⩽ ξ ⩽ 2) = 0.4$$。

因此，$$P(ξ ⩽ −2) = P(ξ ⩽ −2) = 0.5 − P(−2 ⩽ ξ ⩽ 0) = 0.5 − 0.4 = 0.1$$。

正确答案为 A。

10. 解析：

$$X∼N(80, 5^2)$$，计算 $$P(75 < X ⩽ 90)$$。

$$P(75 < X ⩽ 80) = P\left(\frac{75−80}{5} < Z ⩽ \frac{80−80}{5}\right) = P(−1 < Z ⩽ 0) = Φ(0) − Φ(−1) = 0.5 − 0.1587 = 0.3413$$。

$$P(80 < X ⩽ 90) = P\left(\frac{80−80}{5} < Z ⩽ \frac{90−80}{5}\right) = P(0 < Z ⩽ 2) = Φ(2) − Φ(0) ≈ 0.9772 − 0.5 = 0.4772$$。

总概率为 $$0.3413 + 0.4772 = 0.8185$$。

正确答案为 C。

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