正态曲线的性质-正态分布知识点课后基础自测题解析-内蒙古自治区等高三数学选择必修,平均正确率60.0%

1、['正态分布及概率密度函数'， '正态曲线的性质']

正确率60.0%某市小学五年级期末考试有$${{3}{2}{{0}{0}{0}}}$$人参加，他们的语文成绩$${{X}}$$近似服从正态分布$${{N}{(}{{7}{6}}{，}{{2}{0}{.}{2}{5}}{)}{，}}$$则语文成绩在区间$${{[}{{7}{1}{.}{5}}{，}{{8}{5}}{]}}$$内的人数约为（）
附：若$${{X}}$$～$${{N}{(}{μ}{，}{{σ}^{2}}{)}{，}}$$则$${{P}{(}{μ}{−}{σ}{⩽}{X}{⩽}{μ}{+}{σ}{)}{≈}{{0}{.}{6}{8}{3}}{，}{P}{(}{μ}{−}{2}{σ}{⩽}{X}{⩽}{μ}{+}{2}{σ}{)}{≈}{{0}{.}{9}{5}{4}}}$$.

A.$${{2}{1}{{8}{5}{6}}}$$

B.$${{2}{6}{{1}{9}{2}}}$$

C.$${{3}{0}{{5}{2}{8}}}$$

D.$${{3}{1}{{9}{0}{4}}}$$

2、['正态分布及概率密度函数'， '正态曲线的性质']

正确率60.0%已知随机变量服$${{ξ}}$$从正态分布$${{N}{{(}{{2}{，}{{σ}^{2}}}{)}}}$$，且$${{P}{(}{ξ}{<}{4}{)}{=}{{0}{.}{8}}}$$，则$${{P}{(}{0}{<}{ξ}{<}{2}{)}{=}}$$（）

A.$${{0}{.}{3}}$$

B.$${{0}{.}{4}}$$

C.$${{0}{.}{5}}$$

D.$${{0}{.}{6}}$$

3、['正态曲线的性质']

正确率60.0%在满分为$${{1}{5}}$$分的中招信息技术考试中，初三学生的分数$${{X}{−}{N}{（}{{1}{1}}{，}{{2}^{2}}{）}}$$，若某班共有$${{5}{4}}$$名学生，则这个班的学生该科考试中$${{1}{3}}$$分以上的人数大约为（附：$${{P}{（}{μ}{−}{σ}{<}{X}{⩽}{μ}{+}{σ}{）}{=}{{0}{.}{6}{8}{2}{7}}{）}{（}}$$）

A.$${{6}}$$

B.$${{7}}$$

C.$${{9}}$$

D.$${{1}{0}}$$

4、['随机变量的概念'， '正态曲线的性质'， '概率的基本性质']

正确率60.0%已知正态分布$${{X}{～}{N}{（}{1}{，}{4}{）}}$$，则$${{P}{（}{3}{<}{X}{⩽}{5}{）}}$$的值是（）
（参考数据：$${{P}{（}{μ}{−}{σ}{<}{X}{⩽}{μ}{+}{σ}{）}{=}{{0}{.}{6}{8}{2}{6}}{，}{P}{（}{μ}{−}{2}{σ}{<}{X}{⩽}{μ}{+}{2}{σ}{）}{=}{{0}{.}{9}{5}{4}{4}}{）}}$$

A.$${{0}{.}{1}{3}{5}{9}}$$

B.$${{0}{.}{2}{7}{1}{8}}$$

C.$${{0}{.}{3}{1}{7}{4}}$$

D.$${{0}{.}{6}{8}{2}{6}}$$

5、['正态曲线的性质']

正确率60.0%随机变量$${{X}{−}{N}{{(}{2}{，}{{3}^{2}}{)}}}$$，且$${{P}{{(}{X}{<}{1}{)}}{=}{{0}{.}{2}{0}}}$$，则$${{P}{{(}{2}{<}{X}{<}{3}{)}}{=}{（}}$$）

A.$${{0}{.}{2}{0}}$$

B.$${{0}{.}{3}{0}}$$

C.$${{0}{.}{7}{0}}$$

D.$${{0}{.}{8}{0}}$$

6、['正态曲线的性质']

正确率60.0%在某次学科知识竞赛中（总分$${{1}{0}{0}}$$分），若参赛学生成绩$${{ξ}}$$服从$${{N}{（}{{8}{0}}{，}{{σ}^{2}}{）}{（}{σ}{>}{0}{）}}$$，若$${{ξ}}$$在$${（{{7}{0}}{，}{{9}{0}}{）}}$$内的概率为$${{0}{.}{8}}$$，则落在$${{[}{{9}{0}}{，}{{1}{0}{0}}{]}}$$内的概率为（）

A.$${{0}{.}{0}{5}}$$

B.$${{0}{.}{1}}$$

C.$${{0}{.}{1}{5}}$$

D.$${{0}{.}{2}}$$

7、['正态分布及概率密度函数'， '正态曲线的性质']

正确率60.0%若随机变量$${{ξ}}$$～$${{N}{(}{−}{2}{，}{4}{)}{，}}$$则$${{ξ}}$$在区间$${{(}{−}{4}{，}{−}{2}{]}}$$上取值的概率等于$${{ξ}}$$在下列哪个区间上取值的概率（）

A.$${{(}{2}{，}{4}{]}}$$

B.$${{(}{0}{，}{2}{]}}$$

C.$${{[}{−}{2}{，}{0}{)}}$$

D.$${{(}{−}{4}{，}{4}{]}}$$

8、['正态分布及概率密度函数'， '正态曲线的性质']

正确率60.0%某工厂制造的某种机器零件的尺寸$${{X}{∼}{N}{(}{{1}{0}{0}}{，}{{0}{.}{0}{1}}{)}{，}}$$现从中随机抽取$${{1}{0}{{0}{0}{0}}}$$个零件，尺寸在$${{(}{{9}{9}{.}{8}}{，}{{9}{9}{.}{9}}{]}}$$内的个数约为（）

A.$${{2}{{7}{1}{8}}}$$

B.$${{1}{{3}{5}{9}}}$$

C.$${{4}{3}{0}}$$

D.$${{2}{1}{5}}$$

9、['正态曲线的性质']

正确率60.0%已知随机变量$${{X}}$$服从正态分布$${{N}{(}{3}{，}{{σ}^{2}}{)}}$$，若$${{P}{(}{1}{<}{X}{<}{5}{)}{=}{3}{P}{(}{X}{⩾}{5}{)}}$$，则$${{P}{(}{X}{⩽}{1}{)}}$$等于（）

A.$${{0}{.}{2}}$$

B.$${{0}{.}{2}{5}}$$

C.$${{0}{.}{3}}$$

D.$${{0}{.}{4}}$$

10、['正态曲线的性质']

正确率60.0%设随机变量$${{X}}$$服从正态分布$${{N}{(}{1}{，}{{σ}^{2}}{)}}$$，若$${{P}{(}{X}{⩾}{2}{)}{=}{{0}{.}{2}}}$$，则$${{P}{(}{X}{⩾}{0}{)}}$$等于$${{(}{)}}$$

A.$${{0}{.}{2}}$$

B.$${{0}{.}{8}}$$

C.$${{0}{.}{7}}$$

D.$${{0}{.}{5}}$$

1. 解析：

给定 $$X \sim N(76, 20.25)$$，则均值 $$\mu = 76$$，标准差 $$\sigma = \sqrt{20.25} = 4.5$$。

区间 $$[71.5, 85]$$ 可以表示为 $$[\mu - \sigma, \mu + 2\sigma]$$。

根据正态分布性质：

$$P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0.683$$

$$P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0.954$$

因此：

$$P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) = \frac{0.683 + 0.954}{2} = 0.8185$$

人数约为 $$32000 \times 0.8185 \approx 26192$$，故选 **B**。

2. 解析：

给定 $$\xi \sim N(2, \sigma^2)$$，且 $$P(\xi < 4) = 0.8$$。

由对称性，$$P(\xi > 4) = 0.2$$，因此 $$P(\xi < 0) = 0.2$$。

$$P(0 < \xi < 2) = P(\xi < 2) - P(\xi < 0) = 0.5 - 0.2 = 0.3$$，故选 **A**。

3. 解析：

给定 $$X \sim N(11, 4)$$，则 $$\mu = 11$$，$$\sigma = 2$$。

$$13 = \mu + \sigma$$，因此 $$P(X > 13) = 1 - P(X \leq \mu + \sigma) = 1 - 0.6827 = 0.3173$$。

人数约为 $$54 \times 0.3173 \approx 17.13$$，最接近 **C**（9），但计算有误，应为 $$54 \times 0.1587 \approx 8.57$$（因 $$P(X > \mu + \sigma) = 0.1587$$），故选 **C**。

4. 解析：

给定 $$X \sim N(1, 4)$$，则 $$\mu = 1$$，$$\sigma = 2$$。

$$P(3 < X \leq 5) = P(\mu + \sigma < X \leq \mu + 2\sigma)$$

$$= P(X \leq \mu + 2\sigma) - P(X \leq \mu + \sigma)$$

$$= 0.9772 - 0.8413 = 0.1359$$，故选 **A**。

5. 解析：

给定 $$X \sim N(2, 9)$$，则 $$\mu = 2$$，$$\sigma = 3$$。

$$P(X < 1) = 0.20$$，由对称性 $$P(X > 3) = 0.20$$。

$$P(2 < X < 3) = P(X < 3) - P(X < 2) = 0.5 - 0.2 = 0.3$$，故选 **B**。

6. 解析：

给定 $$\xi \sim N(80, \sigma^2)$$，且 $$P(70 < \xi < 90) = 0.8$$。

由对称性，$$P(\xi > 90) = \frac{1 - 0.8}{2} = 0.1$$，故选 **B**。

7. 解析：

给定 $$\xi \sim N(-2, 4)$$，则 $$\mu = -2$$，$$\sigma = 2$$。

区间 $$(-4, -2]$$ 是 $$\mu - \sigma$$ 到 $$\mu$$。

由对称性，$$\xi$$ 在 $$(0, 2]$$（$$\mu$$ 到 $$\mu + \sigma$$）的概率相同，故选 **B**。

8. 解析：

给定 $$X \sim N(100, 0.01)$$，则 $$\mu = 100$$，$$\sigma = 0.1$$。

区间 $$(99.8, 99.9]$$ 是 $$\mu - 2\sigma$$ 到 $$\mu - \sigma$$。

$$P(\mu - 2\sigma < X \leq \mu - \sigma) = \frac{0.954 - 0.683}{2} = 0.1355$$。

人数约为 $$10000 \times 0.1355 \approx 1359$$，故选 **B**。

9. 解析：

给定 $$X \sim N(3, \sigma^2)$$，且 $$P(1 < X < 5) = 3P(X \geq 5)$$。

由对称性，$$P(X \geq 5) = P(X \leq 1)$$。

设 $$P(X \leq 1) = p$$，则 $$P(1 < X < 5) = 1 - 2p$$。

由题意 $$1 - 2p = 3p$$，解得 $$p = 0.2$$，故选 **A**。

10. 解析：

给定 $$X \sim N(1, \sigma^2)$$，且 $$P(X \geq 2) = 0.2$$。

由对称性，$$P(X \leq 0) = 0.2$$。

$$P(X \geq 0) = 1 - P(X \leq 0) = 0.8$$，故选 **B**。

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