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正确率60.0%用数学归纳法证明$$1+\frac1 2+\frac1 3+\ldots+\frac{1} {2^{n}-1} < n ( n \in N^{+}， \ n > 1 )$$，第二步证明从$${{k}}$$到$${{k}{+}{1}}$$，左端增加的项数为（）
B
A.$$2^{k-1}$$
B.$${{2}^{k}}$$
C.$${{2}^{k}{−}{1}}$$
D.$${{2}^{k}{+}{1}}$$
2、['数学归纳法的应用'， '*数学归纳法']正确率60.0%用数学归纳法证明$$2^{n} > n^{2} ( n \in{\bf N}^{*}， \ n \geqslant5 )$$成立时，第二步归纳假设的正确写法为（）
C
A.假设$${{n}{=}{k}}$$时，命题成立
B.假设$$n=k ( k \in{\bf N}^{*} )$$时，命题成立
C.假设$$n=k ( n \ge5 )$$时，命题成立
D.假设$$n=k ( n > 5 )$$时，命题成立
3、['数学归纳法的应用']正确率40.0%已知$$f ( n )=( 2 n+7 ) \cdot3^{n}+9，$$对任意$${{n}{∈}{{N}^{∗}}{，}}$$存在自然数$${{m}{，}}$$使$${{m}}$$整除$$f ( n )，$$则$${{m}}$$的最大值为（）
C
A.$${{3}{0}}$$
B.$${{9}}$$
C.$${{3}{6}}$$
D.$${{6}}$$
4、['数学归纳法的应用']正确率60.0%利用数学归纳法证明不等式$$` ` 1+\frac{1} {2}+\frac{1} {3}+\ldots+\frac{1} {2^{n}-1} < n ( n \geqslant2， n \in N^{*} ) "$$的过程中，由$${}^{\omega} n=k^{\y}$$变到$${}^{\omega} n=k+1 "$$时，左边增加的项数有$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}}$$项
B.$$2^{k-1}$$项
C.$${{2}^{k}}$$项
D.$$2^{k+1}$$项
5、['数学归纳法的应用']正确率60.0%用数学归纳法证明：$$1+a+a^{2}+\ldots+a^{n+1}=\frac{1-\sp{a^{n+2}}} {1-a} \ ( a \neq1 )$$，在验证$${{n}{=}{1}}$$时，左端计算所得的式子是（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{1}{+}{a}}$$
C.$$1+a+a^{2}$$
D.$$1+a+a^{2}+a^{3}$$
6、['数学归纳法的应用']正确率60.0%已知$$f ( n )=\frac{1} {1+n}+\frac{1} {2+n}+\cdots+\frac{1} {n+n}$$.用数学归纳法证明：对于任意的$$n \in N *， ~ f ( n ) < \frac{1 3} {1 4}$$，由$${{n}{=}{k}}$$的归纳假设证明$$n=k+1$$时，若$$f ( k+1 )=f ( k )+g ( k )$$，则$$g ( k )=\alpha$$）
D
A.$$\frac1 {2 k+2}$$
B.$$\frac{1} {2 k+1}+\frac{1} {2 k+2}$$
C.$$\frac1 {2 k+2}-\frac1 {k+1}$$
D.$$\frac1 {2 k+1}-\frac1 {2 k+2}$$
7、['数学归纳法的应用']正确率60.0%用数学归纳法证明等式：$$1+2+3 \ldots+3 n=\frac{9 n^{2}+3 n} {2}$$，由$${{n}{=}{k}}$$的假设到证明$$n=k+1$$时，等式左边应添加的式子是$${{(}{)}}$$
D
A.$${{3}{k}{+}{1}}$$
B.$$( 3 k+1 )+( 3 k+2 )$$
C.$${{3}{k}{+}{3}}$$
D.$$( 3 k+1 )+( 3 k+2 )+( 3 k+3 )$$
8、['数学归纳法的应用']正确率60.0%用数学归纳法证明：$$1^{2}+2^{2}+\cdots+\left( n-1 \right)^{2}+n^{2}+\left( n-1 \right)^{2}+\cdots+2^{2}+1^{2}=\frac{n \left( 2 n^{2}+1 \right)} {3} ( n \in N^{*} )$$时，由$$n=k \left( k \in N^{*} \right)$$的假设到证明$$n=k+1$$等式成立时，等式左边应添加的式子是（）
B
A.$$\left( k+1 \right)^{2}+2 k^{2}$$
B.$$\left( k+1 \right)^{2}+k^{2}$$
C.$$( k+1 )^{2}$$
D.$$\frac1 3 ( k+1 ) \left[ 2 ( k+1 )^{2}+1 \right]$$
9、['数学归纳法的应用']正确率60.0%已知$${{f}{（}{k}{）}}$$$$= k+\textup{( k+1 )}+\textup{( k+2 )}+\cdots+2 k$$$$( \ k \in{\bf N}^{*} )$$，则（）
B
A.$$f \left( \ k+1 \right) ~-f \left( \frac{k} {k} \right) ~=2 k+2$$
B.$$f \left( \left. k+1 \right) \right.-f \left( \left. k \right) \right. .=3 k+3$$
C.$$f \left( \ k+1 \right) ~-f \left( \frac{k} {k} \right) ~=4 k+2$$
D.$$f \left( \left. k+1 \right) \right.-f \left( \left. k \right) \right. .=4 k+3$$
10、['数学归纳法的应用']正确率60.0%已知$${{n}}$$为正整数，用数学归纳法证明$$f \left( n \right)=1+3+5+\cdots+\left( 2 n-1 \right)=n^{2}$$时，若已假设$$n=k ( k \in n^{*} )$$时命题为真，即$$f ( k )=k^{2}$$成立，则当$$n=k+1$$时，需要用到的$$f ( k+1 )$$与$${{f}{(}{k}{)}}$$之间的关系式是（）
D
A.$$f ( k+1 )=f ( k )+2 k-3$$
B.$$f ( k+1 )=f ( k )+2 k-1$$
C.$$f ( k+1 )=f ( k )+2 k+3$$
D.$$f ( k+1 )=f ( k )+2 k+1$$
1. 左端增加的项数为从$$2^k$$到$$2^{k+1}-1$$的项，即$$2^{k+1}-1 - 2^k + 1 = 2^k$$项。
答案：B.$$2^{k}$$
2. 数学归纳法第二步需假设$$n=k (k \geq 5)$$时命题成立，然后证明$$n=k+1$$时成立。
答案：C.假设$$n=k (n \ge5)$$时，命题成立
3. 计算$$f(n)$$的前几项：$$f(1)=36$$，$$f(2)=90$$，$$f(3)=270$$，最大公约数为36。
答案：C.$$36$$
4. 由$$n=k$$到$$n=k+1$$，左边增加从$$\frac{1}{2^k}$$到$$\frac{1}{2^{k+1}-1}$$的项，共$$2^{k+1}-1 - 2^k + 1 = 2^k$$项。
答案：C.$$2^{k}$$项
5. 验证$$n=1$$时，左端为$$1 + a + a^2$$。
答案：C.$$1+a+a^{2}$$
6. $$f(k+1) = f(k) - \frac{1}{k+1} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2}$$，所以$$g(k) = \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} - \frac{1}{k+1} = \frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+2}$$。
答案：D.$$\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}$$
7. 等式左边从$$3k$$项增加到$$3(k+1)$$项，应添加$$(3k+1) + (3k+2) + (3k+3)$$。
答案：D.$$(3k+1)+(3k+2)+(3k+3)$$
8. 由$$n=k$$到$$n=k+1$$，左边增加$$(k+1)^2$$（中心项）和$$k^2$$（对称项），共$$(k+1)^2 + k^2$$。
答案：B.$$\left(k+1\right)^{2}+k^{2}$$
9. $$f(k) = k + (k+1) + \cdots + 2k$$，$$f(k+1) = (k+1) + (k+2) + \cdots + (2k+2)$$，差值为$$(2k+1)+(2k+2)-k = 3k+3$$。
答案：B.$$f\left(k+1\right)-f\left(k\right)=3k+3$$
10. $$f(k+1) = f(k) + (2(k+1)-1) = f(k) + 2k+1$$。
答案：D.$$f(k+1)=f(k)+2k+1$$