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正确率40.0%使$${{a}^{n}{>}{{n}^{2}}}$$对于任意正整数$${{n}}$$恒成立的最小正整数$${{a}}$$的值为（）
B
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
2、['数学归纳法的应用'， '*数学归纳法']正确率60.0%已知$$f ( n )=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+( 2 n )^{2}，$$则$$f ( k+1 )$$与$${{f}{(}{k}{)}}$$的关系是（）
A
A.$$f ( k+1 )=f ( k )+( 2 k+1 )^{2}+( 2 k+2 )^{2}$$
B.$$f ( k+1 )=f ( k )+( k+1 )^{2}$$
C.$$f ( k+1 )=f ( k )+( 2 k+2 )^{2}$$
D.$$f ( k+1 )=f ( k )+( 2 k+1 )^{2}$$
3、['数学归纳法的应用']正确率80.0%用数学归纳法证明$$1+\frac1 2+\frac1 3+\ldots+\frac{1} {2 n-1} < n ( n \in\mathbf{N}^{*}， \ n > 1 ).$$第一步应验证不等式（）
B
A.$$1+\frac{1} {2} < 2$$
B.$$1+\frac1 2+\frac1 3 < 2$$
C.$$1+\frac1 2+\frac1 3 < 3$$
D.$$1+\frac{1} {2}+\frac{1} {3}+\frac{1} {4} < 3$$
4、['数学归纳法的应用']正确率60.0%用数学归纳法证明$$1+2+3+\ldots+n^{2}=\frac{n^{4}+n^{2}} {2}， \ n \in{\bf N}^{*}$$，则当$$n=k+1$$时，等式左边应在$${{n}{=}{k}}$$的基础上加上（）
D
A.$$( k+1 )^{2}$$
B.$${{k}^{2}{+}{1}}$$
C.$$\frac{\left( k+1 \right)^{4}+\left( k+1 \right)^{2}} {2}$$
D.$$( k^{2}+1 )+( k^{2}+2 )+\ldots+( k+1 )^{2}$$
5、['数学归纳法的应用']正确率60.0%用数学归纳法证明：$$1+a+a^{2}+\ldots+a^{n+1}=\frac{1-\sp{a^{n+2}}} {1-a} \ ( a \neq1 )$$，在验证$${{n}{=}{1}}$$时，左端计算所得的式子是（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{1}{+}{a}}$$
C.$$1+a+a^{2}$$
D.$$1+a+a^{2}+a^{3}$$
6、['数学归纳法的应用']正确率60.0%用数学归纳法证明等式$$( n+1 ) \， ( n+2 ) \cdot\， \， \， \， \， \， \， \， \， \， \， \， \， \， \， \， ( n+n ) \， {=} 2^{n} \cdot1 \cdot3 \cdot\， \， \， \， \， \， \， \， \， \， \， \， \， \， \， \， \， \， \， \， ( 2 n-1 )$$时，从$${{n}{=}{k}}$$到$$n=k+1，$$左端需要增乘的代数式为（）
B
A.$$( 2 k \!+\! 1 ) ( 2 k \!+\! 2 )$$
B.$$2 ( 2 k \!+\! 1 )$$
C.$$\frac{2 k+1} {k+1}$$
D.$$\frac{2 k+3} {k+1}$$
7、['数学归纳法的应用']正确率80.0%用数学归纳法证明$$` ` 1+2+2^{2}+\ldots+2^{n-1}=2^{n}-1 ~ ( n \in N_{+} )^{-n}$$的过程中，第二步$${{n}{=}{k}}$$时等式成立，则当$$n=k+1$$时，应得到（）
D
A.$$1+2+2^{2}+\ldots+2^{k-2}+2^{k-1}=2^{k+1}-1$$
B.$$1+2+2^{2}+\ldots+2^{k}+2^{k+1}=2^{k}-1+2^{k+1}$$
C.$$1+2+2^{2}+\ldots+2^{k-1}+2^{k+1}=2^{k+1}-1$$
D.$$1+2+2^{2}+\ldots+2^{k-1}+2^{k}=2^{k+1}-1$$
8、['数学归纳法的应用']正确率60.0%用数学归纳法证明$$` ` {\frac{1} {n+1}}+{\frac{1} {n+2}}+\ldots{\frac{1} {n+n}} {\gg} \ -{\frac{1 1} {2 4}} ( n {\in} N_{+} ) "$$时，由$${{n}{=}{k}}$$到$$n=k+1$$时，不等试左边应添加的项是$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{1} {2 ( k+1 )}$$
B.$$\frac{1} {2 k+1}+\frac{1} {2 k+2}$$
C.$$\frac{1} {2 k+1}+\frac{1} {2 k+2}-\frac{1} {k+1}$$
D.$$\frac1 {2 k+1}+\frac1 {2 k+2}-\frac1 {k+1}-\frac1 {k+2}.$$
9、['数学归纳法的应用']正确率60.0%用数学归纳法证明命题$${{“}}$$当$${{n}}$$是正奇数时，$${{x}^{n}{+}{{y}^{n}}}$$能被$${{x}{+}{y}}$$整除$${{”}}$$，在第二步的证明时，正确的证法是
C
A.假设$$n=k ( k \in N^{*} )$$，证明$$n=k+1$$时命题也成立
B.假设$$n=k ( k$$是正奇数$${{)}}$$，证明$$n=k+1$$时命题也成立
C.假设$$n=k ( k$$是正奇数$${{)}}$$，证明$$n=k+2$$时命题也成立
D.假设$$n=2 k+1 ( k \in N )$$，证明$$n=k+1$$时命题也成立
10、['数学归纳法的应用']正确率60.0%已知$$f \left( n \right)=\frac{1} {1^{2}}+\frac{1} {2^{2}}+\frac{1} {3^{2}}+\cdots+\frac{1} {\left( n-1 \right)^{2}}+\frac{1} {n^{2}}+\frac{1} {\left( n-1 \right)^{2}}+\cdots+\frac{1} {3^{2}}+\frac{1} {2^{2}}+\frac{1} {1^{2}} ( n \in\mathbb{N}^{*} )$$，则当$${{k}{∈}{{N}^{∗}}}$$时，$$f \left( k+1 \right)-f \left( k \right)$$等于$${{(}{)}}$$
D
A.$$\frac{1} {( k^{2}+1 )}$$
B.$$\frac{1} {k^{2}}$$
C.$$\frac{1} {\left( k-1 \right)^{2}}+\frac{1} {k^{2}}$$
D.$$\frac{1} {\left( k+1 \right)^{2}}+\frac{1} {k^{2}}$$
1. 题目要求找到最小的正整数 $$a$$ 使得 $$a^n > n^2$$ 对所有正整数 $$n$$ 成立。我们逐一验证选项：
- 当 $$a = 2$$ 时，$$n = 3$$ 时 $$2^3 = 8$$ 而 $$3^2 = 9$$，不满足 $$8 > 9$$，排除 A。
- 当 $$a = 3$$ 时，验证 $$n = 1, 2, 3, \ldots$$ 均满足 $$3^n > n^2$$。例如：$$3^1 = 3 > 1$$，$$3^2 = 9 > 4$$，$$3^3 = 27 > 9$$，依此类推。因此，最小满足条件的 $$a$$ 是 $$3$$，选 B。
2. 函数 $$f(n)$$ 定义为前 $$2n$$ 个正整数的平方和。计算 $$f(k+1)$$ 与 $$f(k)$$ 的关系：
$$f(k+1) = 1^2 + 2^2 + \cdots + (2k)^2 + (2k+1)^2 + (2k+2)^2$$
而 $$f(k) = 1^2 + 2^2 + \cdots + (2k)^2$$，因此：
$$f(k+1) = f(k) + (2k+1)^2 + (2k+2)^2$$，对应选项 A。
3. 数学归纳法证明不等式 $$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{2n-1} < n$$ 的第一步是验证 $$n=2$$（因为 $$n > 1$$）：
当 $$n=2$$ 时，左边为 $$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$$，右边为 $$2$$。验证 $$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \approx 1.833 < 2$$，因此选 B。
4. 数学归纳法证明等式 $$1 + 2 + 3 + \cdots + n^2 = \frac{n^4 + n^2}{2}$$。当 $$n=k+1$$ 时，左边应在 $$n=k$$ 的基础上加上从 $$k^2 + 1$$ 到 $$(k+1)^2$$ 的所有整数，即：
$$(k^2 + 1) + (k^2 + 2) + \cdots + (k+1)^2$$，对应选项 D。
5. 验证 $$n=1$$ 时等式 $$1 + a + a^2 + \cdots + a^{n+1} = \frac{1 - a^{n+2}}{1 - a}$$ 的左边：
当 $$n=1$$ 时，左边为 $$1 + a + a^2$$，对应选项 C。
6. 数学归纳法证明等式 $$(n+1)(n+2)\cdots(n+n) = 2^n \cdot 1 \cdot 3 \cdots (2n-1)$$。从 $$n=k$$ 到 $$n=k+1$$，左边增乘的代数式为：
$$\frac{(k+2)(k+3)\cdots(2k+2)}{(k+1)(k+2)\cdots(2k)} = \frac{(2k+1)(2k+2)}{k+1} = 2(2k+1)$$，对应选项 B。
7. 数学归纳法证明 $$1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{n-1} = 2^n - 1$$。当 $$n=k+1$$ 时，左边为：
$$1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{k-1} + 2^k = (2^k - 1) + 2^k = 2^{k+1} - 1$$，对应选项 D。
8. 数学归纳法证明不等式 $$\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n} > \frac{11}{24}$$。从 $$n=k$$ 到 $$n=k+1$$，左边增加的项为：
$$\frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} - \frac{1}{k+1}$$，对应选项 C。
9. 数学归纳法证明命题“当 $$n$$ 是正奇数时，$$x^n + y^n$$ 能被 $$x + y$$ 整除”。由于 $$n$$ 是正奇数，递推步长为 $$2$$，因此假设 $$n=k$$（$$k$$ 是正奇数），证明 $$n=k+2$$ 时命题成立，对应选项 C。
10. 函数 $$f(n)$$ 是一个对称的倒数平方和。计算 $$f(k+1) - f(k)$$：
$$f(k+1)$$ 比 $$f(k)$$ 多出 $$\frac{1}{(k+1)^2}$$ 和 $$\frac{1}{k^2}$$（因为对称性），因此：
$$f(k+1) - f(k) = \frac{1}{(k+1)^2} + \frac{1}{k^2}$$，对应选项 D。