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正确率19.999999999999996%已知函数$$f \ ( \textbf{x} ) \ =\left\{\begin{array} {l} {{\frac{2 x^{3}} {x+1}}， \ \ x \in\left( {\frac{1} {2}}， \ 1 \right]} \\ {-{\frac{1} {3}} x+{\frac{1} {6}}， \ x \in\left[ 0， \ \ {\frac{1} {2}} \right]} \\ \end{array} \right.$$，函数$$g^{\ (} \， x ) \ =a \operatorname{s i n} \ ( \， \frac{\pi} {6} x ) \ -2 a+2 \ ( \， a > 0 )$$，若存在$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}{∈}{[}{0}{，}{1}{]}}$$，使得$${{f}{（}{{x}_{1}}{）}{=}{g}{（}{{x}_{2}}{）}}$$成立，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
C
A.$$[ \frac{2} {3}， \ \frac{4} {3} ]$$
B.$$[ \frac{1} {2}， ~ 1 ]$$
C.$$[ \frac{1} {2}， \ \frac{4} {3} ]$$
D.$$( 0， ~ \frac{1} {2} ]$$
2、['不等式性质的综合应用']正确率60.0%已知$${{a}{，}{b}{，}{c}{∈}{R}}$$且$${{a}{>}{b}{，}}$$则下列不等式恒成立的是（）
D
A.$$\frac{1} {a} < \frac{1} {b}$$
B.$${{a}^{2}{>}{{b}^{2}}}$$
C.$${{a}{|}{c}{|}{>}{b}{|}{c}{|}}$$
D.$$\frac{a} {c^{2}+1} > \frac{b} {c^{2}+1}$$
3、['不等式性质的综合应用']正确率60.0%已知$${{0}{<}{a}{<}{1}{，}}$$则（）
C
A.$$a^{2} > \frac{1} {a} > a >-a$$
B.$$a > a^{2} > \frac{1} {a} >-a$$
C.$$\frac{1} {a} > a > a^{2} >-a$$
D.$$\frac{1} {a} > a^{2} > a >-a$$
4、['基本不等式的综合应用'， '反证法'， '不等式性质的综合应用'， '绝对值的概念与几何意义']正确率40.0%下列不等式恒成立的是（）
A
A.$$x^{2}+\frac1 {x^{2}} \geqslant x+\frac1 x$$
B.$$| x-y |+\frac1 {x-y} \geq2$$
C.$${{x}{+}{y}{<}{x}{y}}$$
D.$${\sqrt {{x}{+}{3}}{−}{\sqrt {{x}{+}{1}}}{⩾}{\sqrt {{x}{+}{2}}}{−}{\sqrt {x}}}$$
5、['不等式性质的综合应用']正确率60.0%已知$${{a}{，}{b}}$$为非零实数，且$${{a}{<}{0}{<}{b}{，}}$$则下列不等式中恒成立的是（）
B
A.$${{a}^{2}{<}{{b}^{2}}}$$
B.$$\frac{1} {a b^{2}} < \frac{1} {a^{2} b}$$
C.$${{a}^{2}{b}{<}{a}{{b}^{2}}}$$
D.$$\frac{b} {a} < \frac{a} {b}$$
6、['不等式性质的综合应用'， '不等式比较大小'， '不等式的性质']正确率60.0%下列命题是真命题的是（）
D
A.若$${{a}{c}{>}{b}{c}}$$，则$${{a}{>}{b}}$$
B.若$${{a}^{2}{>}{{b}^{2}}}$$，则$${{a}{>}{b}}$$
C.若$${{a}{>}{b}}$$，则$$\frac{1} {a} < \frac{1} {b}$$
D.若$${{c}{>}{d}}$$，$${{a}{>}{b}}$$，则$${{a}{−}{d}{>}{b}{−}{c}}$$
7、['不等式性质的综合应用'， '不等式比较大小']正确率60.0%若$${{a}{>}{b}}$$，则下列不等式中正确的是（）
D
A.$${{a}^{2}{>}{{b}^{2}}}$$
B.$$\frac{1} {a} < \frac{1} {b}$$
C.$${{|}{a}{|}{<}{|}{b}{|}}$$
D.$${{2}^{a}{>}{{2}^{b}}}$$
8、['不等式性质的综合应用'， '不等式的性质']正确率60.0%已知$${{a}{>}{b}{，}{c}{∈}{R}}$$，则下列不等式中正确的是（）
C
A.$$\frac{1} {a} < \frac{1} {b}$$
B.$${{|}{a}{|}{>}{|}{b}{|}}$$
C.$${{a}^{3}{>}{{b}^{3}}}$$
D.$${{a}{{c}^{2}}{>}{b}{{c}^{2}}}$$
9、['三元基本（均值）不等式'， '不等式性质的综合应用']正确率40.0%设$${{a}{，}{b}{，}{c}{∈}{(}{−}{∞}{，}{0}{)}}$$，则$$a+\frac{1} {b}， ~ b+\frac{1} {c}， ~ c+\frac{1} {a} ( ~ ~ )$$
C
A.都不大于$${{−}{2}}$$
B.都不小于$${{−}{2}}$$
C.至少有一个不大于$${{−}{2}}$$
D.至少有一个不小于$${{−}{2}}$$
10、['含参数的一元二次不等式的解法'， '不等式的解集与不等式组的解集'， '不等式性质的综合应用']正确率60.0%关于$${{x}}$$的不等式$${{a}{x}{+}{b}{>}{0}}$$的解集是$${（{1}{，}{+}{∞}{）}}$$，则关于$${{x}}$$的不等式$${（{a}{x}{+}{b}{）}{（}{x}{−}{2}{）}{<}{0}}$$的解集是（）
C
A.$${{(}{{−}{∞}{，}}{1}{)}{∪}{(}{2}{{，}{+}{∞}}{)}}$$
B.$${{(}{−}{1}{，}{2}{)}}$$
C.$${{(}{1}{，}{2}{)}}$$
D.$${{(}{{−}{∞}{，}{−}}{1}{)}{∪}{(}{2}{{，}{+}{∞}}{)}}$$
1. 首先分析函数 $$f(x)$$ 的值域：
- 当 $$x \in \left[0, \frac{1}{2}\right]$$ 时，$$f(x) = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{6}$$ 是减函数，值域为 $$\left[0, \frac{1}{6}\right]$$。
- 当 $$x \in \left(\frac{1}{2}, 1\right]$$ 时，$$f(x) = \frac{2x^3}{x+1}$$ 是增函数，值域为 $$\left(\frac{1}{6}, 1\right]$$。
因此，$$f(x)$$ 的值域为 $$\left[0, 1\right]$$。
接下来分析 $$g(x) = a \sin\left(\frac{\pi}{6}x\right) - 2a + 2$$ 的值域：
- 由于 $$\sin\left(\frac{\pi}{6}x\right) \in \left[0, \frac{1}{2}\right]$$，$$g(x)$$ 的值域为 $$\left[-2a + 2, -\frac{3a}{2} + 2\right]$$。
要使存在 $$x_1, x_2 \in [0, 1]$$ 使得 $$f(x_1) = g(x_2)$$，需要两个函数的值域有交集，即：
$$\begin{cases} -2a + 2 \leq 1 \\ -\frac{3a}{2} + 2 \geq 0 \end{cases}$$
解得 $$a \in \left[\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right]$$，故选 A。
2. 对于选项 D：
由于 $$c^2 + 1 > 0$$，且 $$a > b$$，两边同除以正数 $$c^2 + 1$$ 不改变不等号方向，因此 $$\frac{a}{c^2 + 1} > \frac{b}{c^2 + 1}$$ 恒成立。
其他选项在特定情况下不成立，例如：
- A：当 $$a > 0 > b$$ 时，$$\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$$ 不成立。
- B：当 $$a = -1$$，$$b = -2$$ 时，$$a^2 < b^2$$。
- C：当 $$c = 0$$ 时，不等式无意义。
故选 D。
3. 当 $$0 < a < 1$$ 时：
- $$a^2 < a$$，因为 $$a < 1$$ 时平方会缩小。
- $$\frac{1}{a} > 1$$，因为 $$a < 1$$ 时倒数大于 1。
- $$-a < 0$$，而其他值均为正。
因此，大小关系为 $$\frac{1}{a} > a > a^2 > -a$$，故选 C。
4. 对于选项 A：
$$x^2 + \frac{1}{x^2} \geq x + \frac{1}{x}$$ 在 $$x > 0$$ 时可以通过配方法证明：
$$(x - 1)^2\left(1 + \frac{1}{x^2}\right) \geq 0$$ 恒成立。
其他选项：
- B：当 $$x = y$$ 时分母无意义。
- C：当 $$x = 2$$，$$y = 2$$ 时不成立。
- D：通过数值验证不成立。
故选 A。
5. 对于选项 B：
由于 $$a < 0 < b$$，$$ab^2 < 0$$ 且 $$a^2b > 0$$，因此 $$\frac{1}{ab^2} < \frac{1}{a^2b}$$ 恒成立。
其他选项：
- A：当 $$a = -2$$，$$b = 1$$ 时，$$a^2 > b^2$$。
- C：当 $$a = -1$$，$$b = 1$$ 时，$$a^2b = ab^2$$。
- D：当 $$a = -1$$，$$b = 1$$ 时，$$\frac{b}{a} = -1 < \frac{a}{b} = -1$$ 不成立。
故选 B。
6. 对于选项 D：
由 $$c > d$$ 得 $$-d > -c$$，结合 $$a > b$$ 可得 $$a - d > b - c$$。
其他选项：
- A：当 $$c < 0$$ 时，$$a < b$$。
- B：当 $$a = -2$$，$$b = 1$$ 时，$$a^2 > b^2$$ 但 $$a < b$$。
- C：当 $$a > 0 > b$$ 时，$$\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$$ 不成立。
故选 D。
7. 对于选项 D：
指数函数 $$2^x$$ 是增函数，因此 $$a > b$$ 时 $$2^a > 2^b$$ 恒成立。
其他选项：
- A：当 $$a = -1$$，$$b = -2$$ 时，$$a^2 < b^2$$。
- B：当 $$a > 0 > b$$ 时，$$\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$$。
- C：当 $$a = 1$$，$$b = -2$$ 时，$$|a| < |b|$$ 但 $$a > b$$。
故选 D。
8. 对于选项 C：
立方函数 $$x^3$$ 是增函数，因此 $$a > b$$ 时 $$a^3 > b^3$$ 恒成立。
其他选项：
- A：当 $$a > 0 > b$$ 时，$$\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$$。
- B：当 $$a = 1$$，$$b = -2$$ 时，$$|a| < |b|$$。
- D：当 $$c = 0$$ 时，$$ac^2 = bc^2$$。
故选 C。
9. 对于选项 C：
假设三者都大于 $$-2$$，即：
$$a + \frac{1}{b} > -2$$，$$b + \frac{1}{c} > -2$$，$$c + \frac{1}{a} > -2$$。
相加得 $$a + b + c + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} > -6$$。
但由 $$a, b, c < 0$$，利用不等式 $$x + \frac{1}{x} \leq -2$$（当 $$x < 0$$ 时），总和不超过 $$-6$$，矛盾。
因此至少有一个不大于 $$-2$$，故选 C。
10. 不等式 $$ax + b > 0$$ 的解集为 $$(1, +\infty)$$，说明 $$a > 0$$ 且根为 $$x = 1$$，即 $$b = -a$$。
因此不等式 $$(ax + b)(x - 2) < 0$$ 化为 $$a(x - 1)(x - 2) < 0$$，解集为 $$(1, 2)$$，故选 C。