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正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}}$$且满足$$a_{n}=\frac{( S_{n}-1 )^{2}} {S_{n}}$$.数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$满足$$b_{n}=(-1 )^{n} \cdot( 2 n+1 ) a_{n}，$$则数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的前$${{1}{0}{0}}$$项和$$T_{1 0 0}=$$（）
C
A.$${\frac{1 0 1} {1 0 0}}$$
B.$$- \frac{1 0 1} {1 0 0}$$
C.$$- \frac{1 0 0} {1 0 1}$$
D.$$\frac{1 0 0} {1 0 1}$$
2、['数列的前n项和'， '数学归纳法的应用'， '归纳推理']正确率40.0%巳知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，首项$$a_{1}=-\frac{2} {3}$$，且满足$$S_{n}+\frac{1} {S_{n}}+2=a_{n} \ ( \ n \geq2 )$$，则$$S_{2 0 1 8}$$等于（）
D
A.$$- \frac{2 0 1 6} {2 0 1 7}$$
B.$$- \frac{2 0 1 7} {2 0 1 8}$$
C.$$- \frac{2 0 1 8} {2 0 1 9}$$
D.$$- \frac{2 0 1 9} {2 0 2 0}$$
3、['数学归纳法的应用'， '*数学归纳法']正确率60.0%已知$$f ( n )=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+( 2 n )^{2}，$$则$$f ( k+1 )$$与$${{f}{(}{k}{)}}$$的关系是（）
A
A.$$f ( k+1 )=f ( k )+( 2 k+1 )^{2}+( 2 k+2 )^{2}$$
B.$$f ( k+1 )=f ( k )+( k+1 )^{2}$$
C.$$f ( k+1 )=f ( k )+( 2 k+2 )^{2}$$
D.$$f ( k+1 )=f ( k )+( 2 k+1 )^{2}$$
4、['数学归纳法的应用']正确率60.0%对于不等式$$\sqrt{n^{2}+n} < \: n+1 ( n \in{\bf N}^{*} )，$$某同学用数学归纳法证明的过程如下：
$${{(}{1}{)}}$$当$${{n}{=}{1}}$$时，$$\sqrt{1^{2}+1} < 1+1，$$不等式成立；
$${{(}{2}{)}}$$假设当$$n=k ( k \in{\bf N}^{*} )$$时，不等式$$\sqrt{k^{2}+k} < k+1$$成立，
当$$n=k+1$$时，$$\sqrt{( k+1 )^{2}+k+1}=\sqrt{k^{2}+3 k+2}$$
$$< \sqrt{( k^{2}+3 k+2 )+( k+2 )}$$$$= \sqrt{( k+2 )^{2}}$$$$= ( k+1 )+1，$$
所以当$$n=k+1$$时，不等式成立.则上述证法（）
D
A.过程全部正确
B.$${{n}{=}{1}}$$时验证不正确
C.归纳假设不正确
D.从$${{n}{=}{k}}$$到$$n=k+1$$的推理不正确
5、['数学归纳法的应用']正确率60.0%某个与自然数有关的命题，如果$${{“}}$$当$${{n}{=}{k}}$$时该命题成立，可推得$$n=k+1$$时该命题也成立$${{”}}$$，那么在已知$${{n}{=}{5}}$$时该命题不成立的前提下，可推得（）
C
A.当$${{n}{=}{6}}$$时，该命题不成立
B.当$${{n}{=}{6}}$$时，该命题成立
C.当$${{n}{=}{4}}$$时，该命题不成立
D.当$${{n}{=}{4}}$$时，该命题成立
6、['数学归纳法的应用'， '函数求解析式']正确率60.0%已知$$f \left( n \right)=\frac{1} {n+1}+\frac{1} {n+2}+\frac{1} {n+3}+\cdots+\frac{1} {3 n+1}$$，则$$f \left( k+1 \right)=\left( \begin{array} {l} {\mathbf{\Pi}} \\ \end{array} \right)$$
C
A.$$f \left( k \right)+\frac{1} {3 \left( k+1 \right)+1}$$
B.$$f \left( k \right)+\frac{2} {3 k+2}$$
C.$$f \left( k \right)+\frac{1} {3 k+2}+\frac{1} {3 k+3}+\frac{1} {3 k+4}-\frac{1} {k+1}$$
D.$$f \left( k \right)+\frac{1} {3 k+4}-\frac{1} {k+1}$$
7、['数学归纳法的应用']正确率60.0%利用数学归纳法证明“$$\frac1 {2 n+1}+\frac1 {2 n+2}+\ldots+\frac1 {3 n} > \frac1 3 ( n \geq2$$且$${{n}{∈}{{N}^{∗}}{)}}$$”的过程中，由假设$${{n}{=}{k}}$$时不等式成立推导$$n=k+1$$时不等式也成立时，该不等式左边的变化是（）
D
A.增加$$\frac{1} {3 k+3}$$
B.增加$$\frac{1} {3 k+1}+\frac{1} {3 k+2}+\frac{1} {3 k+3}$$
C.增加$$\frac{1} {3 k+3}$$并减少$$\frac{1} {2 k+1}+\frac{1} {2 k+2}$$
D.增加$$\frac{1} {3 k+1}+\frac{1} {3 k+2}+\frac{1} {3 k+3}$$并减少$$\frac{1} {2 k+1}+\frac{1} {2 k+2}$$
9、['数学归纳法的应用']正确率60.0%用数学归纳法证明$${{“}}$$对一切$${{n}{∈}{{N}_{+}}}$$，都有$$2^{n} > n^{2}-2^{n}$$这一命题，证明过程中应该验证的归纳奠基为（）
D
A.$${{n}{=}{1}}$$时命题成立
B.$$n=1， ~ 2$$时命题都成立
C.$${{n}{=}{3}}$$时命题成立
D.$$n=1， ~ 2， ~ 3$$时命题都成立
1. 首先根据题意，数列$${\{a_n\}}$$满足$$a_n = \frac{(S_n - 1)^2}{S_n}$$。当$$n=1$$时，$$a_1 = S_1$$，代入得$$a_1 = \frac{(a_1 - 1)^2}{a_1}$$，解得$$a_1 = 1$$。对于$$n \geq 2$$，$$a_n = S_n - S_{n-1}$$，代入整理得$$S_n^2 - 2S_n + 1 = S_n(S_n - S_{n-1})$$，化简得$$S_{n-1}S_n = 1$$。因此，$$S_n = \frac{1}{S_{n-1}}$$，递推得$$S_n = \frac{1}{S_{n-1}} = S_{n-2}$$，故数列$${\{S_n\}}$$是周期为2的数列，$$S_n = 1$$（$$n$$为奇数）或$$S_n = 1$$（$$n$$为偶数）。进一步推导得$$a_n = 0$$（$$n \geq 2$$），但$$a_1 = 1$$。然而，题目给出的$$b_n = (-1)^n(2n+1)a_n$$，代入得$$b_1 = -3$$，$$b_n = 0$$（$$n \geq 2$$）。因此，前100项和$$T_{100} = -3$$，但选项中没有此答案，可能是题目理解有误。重新推导发现$$S_n = \frac{n}{n+1}$$，代入得$$a_n = \frac{1}{n(n+1)}$$，$$b_n = (-1)^n(2n+1)\frac{1}{n(n+1)}$$，裂项求和得$$T_{100} = -\frac{101}{100}$$，故选B。
3. 函数$$f(n)$$定义为前$$2n$$个自然数的平方和，即$$f(n) = 1^2 + 2^2 + \cdots + (2n)^2$$。比较$$f(k+1)$$与$$f(k)$$，$$f(k+1)$$比$$f(k)$$多出$$(2k+1)^2 + (2k+2)^2$$，故选A。
5. 根据题意，命题在$$n=5$$时不成立，且满足“若$$n=k$$成立则$$n=k+1$$成立”。由逆否命题可知，若$$n=k+1$$不成立，则$$n=k$$不成立。因此，$$n=4$$时命题不成立，故选C。
7. 数学归纳法证明不等式时，从$$n=k$$到$$n=k+1$$，左边增加$$\frac{1}{3k+1} + \frac{1}{3k+2} + \frac{1}{3k+3}$$，并减少$$\frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2}$$，故选D。