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正确率60.0%在数学解题中，常会碰到形如
的结构，这时可类比正切的差角公式$$\operatorname{t a n} ( \alpha\mathrm{-} \beta) \mathrm{=} \frac{\operatorname{t a n} \alpha\mathrm{-} \operatorname{t a n} \beta} {1+\operatorname{t a n} \alpha\operatorname{t a n} \beta}.$$如：设$${{a}{，}{b}}$$是非零实数，且满足$$\frac{a \operatorname{s i n} \frac{\pi} {5}-b \operatorname{c o s} \frac{\pi} {5}} {a \operatorname{c o s} \frac{\pi} {5}+b \operatorname{s i n} \frac{\pi} {5}}=\operatorname{t a n} \frac{8 \pi} {1 5}，$$则$$\frac{b} {a}=($$）
B
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${{-}{\sqrt {3}}}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$
2、['类比推理'， '棱锥的结构特征及其性质'， '棱柱、棱锥、棱台的体积']正确率40.0%三角形的面积$$S=\frac1 2 ( a+b+c ) \cdot r$$，其中$$a， b， c$$为其边长，$${{r}}$$为内切圆半径，利用类比法可以得出四面体的体积为（）
C
A.$$V=\frac{1} {2} ( S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4} ) \cdot r ($$其中$$S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}$$分别为四个面的面积，$${{r}}$$为内切球的半径)
B.$$V=\frac{1} {3} S \cdot h ( S$$为底面面积，$${{h}}$$为四面体的高)
C.$$V=\frac{1} {3} ( S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4} ) \cdot r ($$其中$$S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}$$分别为四个面的面积，$${{r}}$$为内切球的半径)
D.$$V=\frac1 3 ( a b+b c+a c ) \cdot h ( a， b， c$$为底面边长，$${{h}}$$为四面体的高)
3、['类比推理'， '“杨辉三角”的性质与应用'， '归纳推理']正确率40.0%已知$${{“}}$$整数对$${{”}}$$按如下规律排成一列：$$( 0， 0 )， \ ( 0， 1 )， \ ( 1， 0 )， \ ( 0， 2 )， \ ( 1， 1 )， \ ( 2， 0 )， \ ( 0， 3 )， \ ( 1， 2 )， \ ( 2， 1 )， \ ( 3， 0 )， \ \ldots$$，则第$${{2}{2}{2}}$$个$${{“}}$$整数对$${{”}}$$是（）
C
A.$$( 1 0， 1 0 )$$
B.$$( 1 0， 9 )$$
C.$$( 1 1， 9 )$$
D.$$( 9， 1 0 )$$
4、['类比推理']正确率40.0%给出下面类比推理命题（其中$${{Q}}$$为有理数集，$${{R}}$$为实数集，$${{C}}$$为复数集）
$${①{“}}$$若$$a， \， \， b \in R$$，则$$a-b=0 \Rightarrow a=b^{n}$$类比推出$${{“}}$$若$$a， \， \， b \in C$$，则$$a-b=0 \Rightarrow a=b^{n}$$
$${②{“}}$$若$$a， \， \， b \in R$$，则$$a-b > 0 \Rightarrow a > b^{n}$$类比推出$${{“}}$$若$$a， \， \， b \in C$$，则$$a-b > 0 \Rightarrow a > b^{n}$$
$${③{“}}$$若$$a， \， \， b， \， \， c， \， \， d \in R$$，则复数$$a+b i=c+d i \Rightarrow a=c， \， \， b=d "$$类比推出$${{“}}$$若$$a， \， \， b， \， \， c， \， \， d \in Q$$，则$$a+b \sqrt{2}=c+d \sqrt{2} \gets a=c， \; b=d "$$；
$${④{“}}$$若$$a， \， \， b， \， \， c， \， \， d \in R$$，则$$\boldsymbol{a} \times\textit{( b \times c )}=\textit{( a \times b )} \times\textit{c^{n}}$$类比推出$${{“}}$$若$$\to， ~ \to， ~ \to$$是非零向量，则$$\overrightarrow{a} ( \overrightarrow{b} \cdot\overrightarrow{c} ) ~=~ ( \overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b} ) \overrightarrow{c}^{n}.$$
其中类比结论正确的个数是（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
5、['类比推理'， '归纳推理']正确率60.0%svg异常
A
A.翻且只翻$$( 1 ) \setminus( 4 )$$
B.翻且只翻$$( 2 ) \setminus( 4 )$$
C.翻且只翻$$( {\bf1} ) \setminus( {\bf3} )$$
D.翻且只翻$$( 2 ) \setminus( 3 )$$
6、['类比推理'， '演绎推理']正确率60.0%在平面几何中，与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有四个．类似的：在立体几何中，与正四面体的六条棱所在直线的距离相等的点（）
D
A.有且只有一个
B.有且只有三个
C.有且只有四个
D.有且只有五个
7、['类比推理'， '归纳推理']正确率60.0%$${{2}{0}{1}{7}}$$年$${{5}}$$月$${{1}{4}}$$日至$${{1}{5}}$$日，中国在北京举办$${{“}}$$一带一路$${{”}}$$国际合作高峰论坛，与其它$${{6}{0}}$$多个成员国共商大计．设$${{S}}$$是由不少于$${{4}}$$个成员国代表组成的集合，如果$${{S}}$$中任意$${{4}}$$个代表都至少有$${{1}}$$个人与另外$${{3}}$$个人认识，那么下列判定正确的是（）
B
A.$${{S}}$$中没有人认识$${{S}}$$中所有的人
B.$${{S}}$$中至少有$${{1}}$$人认识$${{S}}$$中所有的人
C.$${{S}}$$中至多有$${{2}}$$人不认识$${{S}}$$中所有的人
D.$${{S}}$$中至多有$${{2}}$$人认识$${{S}}$$中所有的人
8、['类比推理'， '归纳推理']正确率40.0%袋中装有编号分别为$$1， ~ 2， ~ 3， ~ \ldots， ~ 2 n$$的$$2 n \ ( n \in N^{*} )$$个小球，现将袋中的小球分给$$A， ~ B， ~ C$$三个盒子，每次从袋中任意取出两个小球，将其中一个放入$${{A}}$$盒子，如果这个小球的编号是奇数，就将另一个放入$${{B}}$$盒子，否则就放入$${{C}}$$盒子，重复上述操作，直到所有小球都被放入盒中，则下列说法一定正确的是（）
A
A.$${{B}}$$盒中编号为奇数的小球与$${{C}}$$盒中编号为偶数的小球一样多
B.$${{B}}$$盒中编号为偶数的小球不多于$${{C}}$$盒中编号为偶数的小球
C.$${{B}}$$盒中编号为偶数的小球与$${{C}}$$盒中编号为奇数的小球一样多
D.$${{B}}$$盒中编号为奇数的小球多于$${{C}}$$盒中编号为奇数的小球
9、['类比推理'， '演绎推理'， '归纳推理']正确率60.0%下面几种推理中是演绎推理的为$${{(}{)}}$$
C
A.高二年级$${{1}{2}}$$个班，$${{1}}$$班$${{5}{1}}$$人，$${{2}}$$班$${{5}{3}}$$人，$${{3}}$$班$${{5}{2}}$$人，由此推测各班都超过$${{5}{0}}$$人
B.猜想数列$$\frac{1} {1 \times2}， \frac{1} {2 \times3}， \frac{1} {3 \times4}， \ \cdots$$的通项公式为$$a_{n} \!=\! \frac{1} {n \left( n \!+\! 1 \right)} ( n \! \in\! N^{*} )$$
C.半径为$${{r}}$$的圆的面积$${{S}{=}{π}{{r}^{2}}}$$，则单位圆的面积$${{S}{=}{π}}$$
D.由平面三角形的性质推测空间四面体的性质
10、['类比推理'， '归纳推理']正确率60.0%甲$${、}$$乙$${、}$$丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车，汽车的品牌为奇瑞$${、}$$传祺$${、}$$吉利．甲$${、}$$乙$${、}$$丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车，丁说：$${{“}}$$甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞，丙买的不是吉利．$${{”}}$$若丁的猜测只对了一个，则甲$${、}$$乙所买汽车的品牌分别是（）
A
A.吉利，奇瑞
B.吉利，传祺
C.奇瑞，吉利
D.奇瑞，传祺
1. 题目给出的等式可以类比正切差角公式。将分子和分母同除以 $$a \cos \frac{\pi}{5}$$，得到：
$$\frac{\tan \frac{\pi}{5} - \frac{b}{a}}{1 + \tan \frac{\pi}{5} \cdot \frac{b}{a}} = \tan \frac{8\pi}{15}.$$
设 $$\alpha = \frac{\pi}{5}$$，$$\beta = \frac{8\pi}{15}$$，则根据正切差角公式，有：
$$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}.$$
对比可得 $$\frac{b}{a} = \tan \left( \frac{\pi}{5} - \frac{8\pi}{15} \right) = \tan \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\sqrt{3}.$$
因此，正确答案是 $$B$$。
2. 三角形面积公式为 $$S = \frac{1}{2} (a + b + c) \cdot r$$，类比到四面体，其体积应为四个面的面积之和乘以内切球半径再乘以 $$\frac{1}{3}$$，即：
$$V = \frac{1}{3} (S_1 + S_2 + S_3 + S_4) \cdot r.$$
因此，正确答案是 $$C$$。
3. 整数对的排列规律是按 $$(0,0)$$，$$(0,1)$$，$$(1,0)$$，$$(0,2)$$，$$(1,1)$$，$$(2,0)$$，……，即按 $$x + y$$ 的和从小到大排列。和为 $$n$$ 的整数对有 $$n + 1$$ 个。
计算前 $$n$$ 组的整数对总数：$$1 + 2 + 3 + \cdots + (n + 1) = \frac{(n + 1)(n + 2)}{2}.$$
设第 222 个整数对位于第 $$k$$ 组，解 $$\frac{(k + 1)(k + 2)}{2} \geq 222$$ 得 $$k = 20$$。
前 19 组的整数对总数为 $$\frac{20 \times 21}{2} = 210$$，第 222 个整数对是第 20 组的第 12 个，即 $$(11, 9)$$。
因此，正确答案是 $$C$$。
4. 分析类比命题：
① 在复数集中，$$a - b = 0 \Rightarrow a = b$$ 是正确的，但 $$a = b^n$$ 不一定成立，错误。
② 复数无法比较大小，错误。
③ 在有理数集中，$$a + b\sqrt{2} = c + d\sqrt{2} \Rightarrow a = c, b = d$$ 是正确的。
④ 向量点积和叉积的性质不同，$$\overrightarrow{a} (\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c})$$ 是数乘向量，而 $$(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) \overrightarrow{c}$$ 也是数乘向量，但一般情况下不相等，错误。
只有 ③ 正确，因此正确答案是 $$A$$。
5. 题目描述不完整，无法解析。
6. 在立体几何中，与正四面体的六条棱所在直线的距离相等的点包括：
1 个中心点（内切球球心）；
4 个顶点到对棱的垂足（每个顶点对应一个）；
因此共有 5 个点。
正确答案是 $$D$$。
7. 题目条件等价于：在 $$S$$ 中，任意 4 人中至少有 1 人认识其他 3 人。根据 Ramsey 理论，可以推出 $$S$$ 中至少有 1 人认识所有人。
因此，正确答案是 $$B$$。
8. 每次操作将奇数编号小球放入 $$B$$ 或 $$C$$ 盒子，偶数编号小球放入 $$A$$ 盒子。设 $$B$$ 盒中奇数小球数为 $$x$$，偶数小球数为 $$y$$；$$C$$ 盒中奇数小球数为 $$z$$，偶数小球数为 $$w$$。
由于每次操作将一个奇数小球放入 $$B$$ 或 $$C$$，且偶数小球放入 $$A$$，因此 $$x + z$$ 为奇数小球总数，$$y + w$$ 为偶数小球总数。
由于操作规则，$$B$$ 盒中偶数小球数 $$y$$ 等于 $$C$$ 盒中奇数小球数 $$z$$。
因此，正确答案是 $$C$$。
9. 演绎推理是从一般到特殊的推理。选项 $$C$$ 是通过圆的面积公式推导单位圆的面积，属于演绎推理。
因此，正确答案是 $$C$$。
10. 设甲、乙、丙分别买的品牌为 $$A$$、$$B$$、$$C$$。丁的猜测为：
1. 甲买奇瑞；
2. 乙不买奇瑞；
3. 丙不买吉利。
若丁只对一个，分情况讨论：
- 若 1 正确，则 $$A =$$ 奇瑞，$$B \neq$$ 奇瑞，$$C \neq$$ 吉利。但 $$B$$ 和 $$C$$ 需满足品牌不重复，矛盾。
- 若 2 正确，则 $$A \neq$$ 奇瑞，$$B \neq$$ 奇瑞，$$C =$$ 吉利。此时 $$A$$ 只能是传祺或吉利，但 $$C$$ 已是吉利，故 $$A =$$ 传祺，$$B =$$ 奇瑞。
- 若 3 正确，则 $$A \neq$$ 奇瑞，$$B =$$ 奇瑞，$$C \neq$$ 吉利。此时 $$A$$ 只能是传祺或吉利，$$C$$ 为传祺或奇瑞，矛盾。
唯一可能的情况是 $$A =$$ 吉利，$$B =$$ 奇瑞，$$C =$$ 传祺。
因此，正确答案是 $$A$$。