.jpg)
正确率40.0%以下说法正确的是$${{(}{)}}$$
$${①}$$用数学归纳法证明不等式$$\frac1 {n+1}+\frac1 {n+2}+\ldots+\frac1 {n+n} > \frac{1 3} {2 4}$$的过程中，由$${{n}{=}{k}}$$推导$$n=k+1$$时，不等式的左边增加的式子是$$\frac1 {( 2 k+1 ) ( 2 k+2 )}，$$
$${②}$$有一段$${{“}}$$三段论$${{”}}$$，推理是这样的：对于可导函数$${{f}{(}{x}{)}}$$，如果$$f^{\prime} ( x_{0} )=0$$，那么$${{x}{=}{{x}_{0}}}$$是函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的极值点．因为$$f ( x )=x^{3}$$在$${{x}{=}{0}}$$处的导数值$$f^{\prime} ( 0 )=0$$，所以$${{x}{=}{0}}$$是函数$$f ( x )=x^{3}$$的极值点．以上推理中是大前提的错误；
$${③}$$已知命题：若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等差数列，且$$a_{m}=a， \， \， \， a_{n}=b ( m \neq n， m， n \in N^{*} )$$，则$$a_{m+n}=\frac{b n-a m} {n-m}$$；现已知等比数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}{，}}$$其中$$b_{m}=a， \， \， b_{n}=b ( m \not=n， m， n \in N^{*} )$$，若类比上述结论，则可得到$$b_{m+n}=\frac{b^{n}-a^{m}} {n-m}$$．
A
A.$${①{②}}$$
B.$${②{③}}$$
C.$${①{③}}$$
D.$${①{②}{③}}$$
2、['数学归纳法的应用']正确率40.0%已知$$f ( n )=( 2 n+7 ) \cdot3^{n}+9，$$对任意$${{n}{∈}{{N}^{∗}}{，}}$$存在自然数$${{m}{，}}$$使$${{m}}$$整除$$f ( n )，$$则$${{m}}$$的最大值为（）
C
A.$${{3}{0}}$$
B.$${{9}}$$
C.$${{3}{6}}$$
D.$${{6}}$$
3、['数学归纳法的应用']正确率60.0%已知$$f \left( \begin{matrix} {n} \\ \end{matrix} \right) \ =1+\frac{1} {2}+\frac{1} {3}+\frac{1} {4}+\ldots+\frac{1} {2^{n}} ( n \in N^{*} )$$，用数学归纳法证明$$f \ ( n ) \ > \frac{n} {2}$$时，由$${{n}{=}{k}}$$到$$n=k+1$$，左边增加了（）项．
C
A.$${{1}}$$
B.$${{k}}$$
C.$${{2}^{k}}$$
D.$${{2}^{k}{−}{1}}$$
4、['数学归纳法的应用']正确率60.0%设$$S_{k}=\frac{1} {k+2}+\frac{1} {k+3}+\frac{1} {k+4}+\ldots+\frac{1} {2 k-1} \， \， ( \， k \geqslant3， \， \， k \in N^{*} \， )$$，则$$S_{k+1}=\alpha$$）
C
A.$$S_{k}+\frac{1} {2 k+1}$$
B.$$S_{k}+\frac{1} {2 k}+\frac{1} {2 k+1}$$
C.$$S_{k}+\frac1 {2 k}+\frac1 {2 k+1}-\frac1 {k+2}$$
D.$$S_{k}-\frac{1} {2 k}-\frac{1} {2 k+1}$$
5、['数学归纳法的应用']正确率60.0%用数学归纳法证明：$$1+\frac1 2+\frac1 3+\cdots+\frac{1} {2^{n}-1} < n ( n \in N *， n > 1 )$$，< n (nin N* ， n >$${{1}{)}}$$，第一步验证$${{n}{=}{2}}$$时，不等式左边为（）
D
A.$${{1}}$$
B.$$1+\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$1+\frac{1} {2}+\frac{1} {3}$$
6、['数学归纳法的应用']正确率80.0%用数学归纳法证明$${{“}}$$当$${{n}}$$为正奇数时，$${{x}^{n}{+}{{y}^{n}}}$$能被$${{x}{+}{y}}$$整除$${{”}}$$，第二步归纳假设应该写成（）
D
A.假设当$$n=k \left( k \in{\bf N}^{*} \right)$$时，$${{x}^{k}{+}{{y}^{k}}}$$能被$${{x}{+}{y}}$$整除
B.假设当$$n=2 k \left( k \in{\bf N}^{*} \right)$$时，$${{x}^{k}{+}{{y}^{k}}}$$能被$${{x}{+}{y}}$$整除
C.假设当$$n=2 k+1 \left( k \in{\bf N}^{*} \right)$$时，$${{x}^{k}{+}{{y}^{k}}}$$能被$${{x}{+}{y}}$$整除
D.假设当$$n=2 k-1 \left( k \in{\bf N}^{*} \right)$$时，$$x^{2 k-1}+y^{2 k-1}$$能被$${{x}{+}{y}}$$整除
7、['数学归纳法的应用']正确率80.0%用数学归纳法证明$$` ` 1+2+2^{2}+\ldots+2^{n-1}=2^{n}-1 ~ ( n \in N_{+} )^{-n}$$的过程中，第二步$${{n}{=}{k}}$$时等式成立，则当$$n=k+1$$时，应得到（）
D
A.$$1+2+2^{2}+\ldots+2^{k-2}+2^{k-1}=2^{k+1}-1$$
B.$$1+2+2^{2}+\ldots+2^{k}+2^{k+1}=2^{k}-1+2^{k+1}$$
C.$$1+2+2^{2}+\ldots+2^{k-1}+2^{k+1}=2^{k+1}-1$$
D.$$1+2+2^{2}+\ldots+2^{k-1}+2^{k}=2^{k+1}-1$$
8、['数学归纳法的应用']正确率60.0%
D
A.$$\frac{1} {2 \， ( k+1 )}$$
B.$$\frac{1} {2 k+1}+\frac{1} {2 k+2}$$
C.$$\frac{1} {2 \left( k+1 \right)}-\frac{1} {k+1}$$
D.$$\frac{1} {2 k+1}+\frac{1} {2 \， ( k+1 )}-\frac{1} {k+1}$$
9、['数学归纳法的应用']正确率60.0%用数学归纳法证明不等式$$\frac1 2+\frac1 3+\ldots+\frac1 {2^{n}} \leq n \; ( n \in N^{*} )$$时，从$${{n}{=}{k}}$$到$$n=k+1$$不等式左边增添的项数是（）
C
A.$${{k}}$$
B.$${{2}^{k}{−}{1}}$$
C.$${{2}^{k}}$$
D.$${{2}^{k}{+}{1}}$$
10、['数学归纳法的应用']正确率60.0%用数学归纳法证明：$$1^{2}+2^{2}+\cdots+\left( n-1 \right)^{2}+n^{2}+\left( n-1 \right)^{2}+\cdots+2^{2}+1^{2}=\frac{n \left( 2 n^{2}+1 \right)} {3} ( n \in N^{*} )$$时，由$$n=k \left( k \in N^{*} \right)$$的假设到证明$$n=k+1$$等式成立时，等式左边应添加的式子是（）
B
A.$$\left( k+1 \right)^{2}+2 k^{2}$$
B.$$\left( k+1 \right)^{2}+k^{2}$$
C.$$( k+1 )^{2}$$
D.$$\frac1 3 ( k+1 ) \left[ 2 ( k+1 )^{2}+1 \right]$$
以下是各题的详细解析：
1. 解析：
① 数学归纳法中，从 $$n=k$$ 到 $$n=k+1$$ 时，左边增加的项为 $$\frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} - \frac{1}{k+1} = \frac{1}{(2k+1)(2k+2)}$$，正确。
② 大前提错误，因为 $$f'(x_0)=0$$ 仅是极值点的必要条件，还需验证二阶导数或左右导数变化，正确。
③ 类比等差数列的结论，等比数列应为 $$b_{m+n} = \left(\frac{b^n}{a^m}\right)^{\frac{1}{n-m}}$$，题目给出的表达式错误。
因此，正确的选项是 $$A$$（①②）。
2. 解析：
计算 $$f(1)=36$$，$$f(2)=108$$，$$f(3)=360$$，均被 $$36$$ 整除。验证更高项发现 $$36$$ 是最大公约数。
因此，$$m$$ 的最大值为 $$C$$（$$36$$）。
3. 解析：
从 $$n=k$$ 到 $$n=k+1$$，左边增加了从 $$\frac{1}{2^k+1}$$ 到 $$\frac{1}{2^{k+1}}$$ 的项，共 $$2^{k}$$ 项。
因此，增加的项数为 $$C$$（$$2^k$$）。
4. 解析：
$$S_{k+1}$$ 比 $$S_k$$ 增加了 $$\frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1}$$，同时减少了 $$\frac{1}{k+2}$$。
因此，$$S_{k+1} = S_k + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} - \frac{1}{k+2}$$，选项为 $$C$$。
5. 解析：
当 $$n=2$$ 时，不等式左边为 $$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$$。
因此，答案为 $$D$$。
6. 解析：
归纳假设需针对所有正奇数，即 $$n=2k-1$$ 时成立。
因此，选项为 $$D$$。
7. 解析：
从 $$n=k$$ 到 $$n=k+1$$，左边增加 $$2^k$$，右边变为 $$2^{k+1}-1$$。
因此，等式为 $$1+2+\cdots+2^k = 2^{k+1}-1$$，选项为 $$D$$。
8. 解析：
从 $$n=k$$ 到 $$n=k+1$$，右边增加 $$\frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} - \frac{1}{k+1}$$。
因此，选项为 $$D$$。
9. 解析：
从 $$n=k$$ 到 $$n=k+1$$，左边增加的项数为 $$2^{k+1} - 2^k = 2^k$$。
因此，选项为 $$C$$。
10. 解析：
从 $$n=k$$ 到 $$n=k+1$$，左边增加 $$(k+1)^2 + k^2$$。
因此，选项为 $$B$$。