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正确率60.0%用数学归纳法证明$${{1}{+}{{\frac{1}{2}}}{+}{{\frac{1}{3}}}{+}{{\frac{1}{4}}}{+}{…}{+}{{\frac{1}_{{2}^{n}{−}{1}}}}{<}{n}}$$$${{(}{n}{⩾}{2}{，}{n}{∈}{{N}^{∗}}{)}}$$的过程中，从$${{n}{=}{k}}$$到$${{n}{=}{k}{+}{1}{，}}$$不等式左边增加了（）
D
A.$${{1}}$$项
B.$${{k}}$$项
C.$${{2}{{k}{−}{1}}}$$项
D.$${{2}^{k}}$$项
2、['数学归纳法的应用'， '*数学归纳法']正确率60.0%用数学归纳法证明“$${{S}_{n}{=}{{\frac{1}_{{n}{+}{1}}}}{+}{{\frac{1}_{{n}{+}{2}}}}{+}{{\frac{1}_{{n}{+}{3}}}}{+}{…}{+}{{\frac{1}_{{3}{n}{+}{1}}}}}$$$${{>}{1}{(}{n}{∈}{{N}_{+}}{)}}$$”时$${，{{S}_{1}}}$$等于（）
D
A.$${{\frac{1}{2}}}$$
B.$${{\frac{1}{4}}}$$
C.$${{\frac{1}{2}}{+}{{\frac{1}{3}}}}$$
D.$${{\frac{1}{2}}{+}{{\frac{1}{3}}}{+}{{\frac{1}{4}}}}$$
3、['数列的递推公式'， '数学归纳法的应用']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}{{a}_{1}}{=}{−}{{\frac{2}{3}}}}$$，满足$${{S}_{n}{+}{{\frac{1}_{{S}_{n}}}}{+}{2}{=}{{a}_{n}}{(}{n}{⩾}{2}{)}}$$，则$${{S}_{n}{=}{(}{)}}$$
B
A.$${{−}{{\frac^{{n}{+}{1}}_{{2}{n}{+}{1}}}}}$$
B.$${{−}{{\frac^{{n}{+}{1}}_{{n}{+}{2}}}}}$$
C.$${{−}{{\frac^{{2}^{n}{−}{1}}_{{n}{+}{2}}}}}$$
D.$${{\frac^{{7}{−}{5}{n}}_{{7}{n}{−}{{1}{0}}}}}$$
5、['数学归纳法的应用'， '演绎推理']正确率40.0%证明等式$${{1}^{2}{+}{{2}^{2}}{+}{{3}^{2}}{+}{…}{+}{{n}^{2}}{=}{{\frac^{{n}{(}{n}{+}{1}{)}{(}{2}{n}{+}{1}{)}}{6}}}{（}{n}{∈}{{N}^{∗}}{）}}$$时，某学生的证明过程如下
$${（{1}{）}}$$当$${{n}{=}{1}}$$时，$${{1}^{2}{=}{{\frac^{{1}{×}{2}{×}{3}}{6}}}}$$，等式成立；
$${（{2}{）}}$$假设$${{n}{=}{k}{（}{k}{∈}{{N}^{∗}}{）}}$$时，等式成立，
即$${{1}^{2}{+}{{2}^{2}}{+}{{3}^{2}}{+}{…}{+}{{k}^{2}}{=}{{\frac^{{k}{(}{k}{+}{1}{)}{(}{2}{k}{+}{1}{)}}{6}}}}$$，则当$${{n}{=}{k}{+}{1}}$$时，$${{1}^{2}{+}{{2}^{2}}{+}{{3}^{2}}{+}{…}{+}{{k}^{2}}{+}{（}{k}{+}{1}{）^{2}}{=}{{\frac^{{k}{(}{k}{+}{1}{)}{(}{2}{k}{+}{1}{)}}{6}}}{+}{（}{k}{+}{1}{）^{2}}{=}{{\frac^{{(}{k}{+}{1}{)}{[}{k}{(}{2}{k}{+}{1}{)}{+}{6}{(}{k}{+}{1}{)}{]}}{6}}}{=}{{\frac^{{(}{k}{+}{1}{)}{(}{2}{{k}^{2}}{+}{7}{k}{+}{6}{)}}{6}}}{=}{{\frac^{{(}{k}{+}{1}{)}{[}{(}{k}{+}{1}{)}{+}{1}{]}{[}{2}{(}{k}{+}{1}{)}{+}{1}{]}}{6}}}}$$，所以当$${{n}{=}{k}{+}{1}}$$时，等式也成立，故原等式成立．
那么上述证明（）
A
A.全过程都正确
B.当$${{n}{=}{1}}$$时验证不正确
C.归纳假设不正确
D.从$${{n}{=}{k}}$$到$${{n}{=}{k}{+}{1}}$$的推理不正确
6、['数学归纳法的应用']正确率60.0%用数学归纳法证明$${{n}{+}{（}{n}{+}{1}{）}{+}{（}{n}{+}{2}{）}{+}{…}{+}{（}{3}{n}{−}{2}{）}{=}{（}{2}{n}{−}{1}{）^{2}}{，}{（}{n}{∈}{{N}^{∗}}{）}}$$时，若记$${{f}{（}{n}{）}{=}{n}{+}{（}{n}{+}{1}{）}{+}{（}{n}{+}{2}{）}{+}{…}{+}{（}{3}{n}{−}{2}{）}}$$，则$${{f}{（}{k}{+}{1}{）}{−}{f}{（}{k}{）}}$$等于（）
C
A.$${{3}{k}{−}{1}}$$
B.$${{3}{k}{+}{1}}$$
C.$${{8}{k}}$$
D.$${{9}{k}}$$
8、['数学归纳法的应用']正确率60.0%如果命题$${{p}{(}{n}{)}}$$对$${{n}{=}{k}}$$成立，则它对$${{n}{=}{k}{+}{1}}$$也成立.若$${{p}{(}{n}{)}}$$对$${{n}{=}{6}}$$不成立，则下列结论正确的是$${{(}{)}}$$
D
A.$${{p}{(}{n}{)}}$$对$${{n}{=}{7}}$$一定不成立
B.$${{p}{(}{n}{)}}$$对$${{n}{=}{5}}$$一定成立
C.$${{p}{(}{n}{)}}$$对$${{n}{=}{7}}$$一定成立
D.$${{p}{(}{n}{)}}$$对$${{n}{=}{5}}$$一定不成立
10、['数学归纳法的应用']正确率60.0%利用数学归纳法证明$${{“}{1}{+}{{\frac{1}{2}}}{+}{{\frac{1}{3}}}{+}{{…}{+}}{{\frac{1}_{{2}^{n}{−}{1}}}}{<}{n}{(}{n}{∈}{{N}^{∗}}{)}{”}}$$的过程中，由假设$${{“}{n}{=}{k}{”}}$$成立，推导$${{“}{n}{=}{k}{+}{1}{”}}$$也成立时，左边应增加的项数是（）
C
A.$${{k}}$$
B.$${{k}{+}{1}}$$
C.$${{2}^{k}}$$
D.$${{2}^{k}{+}{1}}$$
1. 解析：当从 $$n=k$$ 到 $$n=k+1$$ 时，不等式左边从 $$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2^k - 1}$$ 变为 $$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2^{k+1} - 1}$$。增加的项数为 $$(2^{k+1} - 1) - (2^k - 1) = 2^k$$ 项。因此，正确答案是 D。
3. 解析：由递推关系 $$S_n + \frac{1}{S_n} + 2 = a_n$$ 及 $$a_1 = -\frac{2}{3}$$，可以推导出 $$S_n = -\frac{n+1}{n+2}$$。验证 $$n=1$$ 时，$$S_1 = -\frac{2}{3}$$ 符合题意。因此，正确答案是 B。
6. 解析：$$f(k+1) - f(k) = (3k - 1) + (3k) + (3k + 1) - (k + (k+1) + \dots + (3k - 2))$$。计算后可得 $$f(k+1) - f(k) = 8k$$。因此，正确答案是 C。
10. 解析：与第1题类似，从 $$n=k$$ 到 $$n=k+1$$ 时，左边增加的项数为 $$2^k$$。因此，正确答案是 C。
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