.jpg)
正确率40.0%使$${{a}^{n}{>}{{n}^{2}}}$$对于任意正整数$${{n}}$$恒成立的最小正整数$${{a}}$$的值为（）
B
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
2、['数学归纳法的应用'， '*数学归纳法']正确率60.0%用数学归纳法证明“$$S_{n}=\frac1 {n+1}+\frac1 {n+2}+\frac1 {n+3}+\ldots+\frac1 {3 n+1}$$$${{>}{1}{(}{n}{∈}{{N}_{+}}{)}}$$”时$${，{{S}_{1}}}$$等于（）
D
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {4}$$
C.$$\frac{1} {2}+\frac{1} {3}$$
D.$$\frac{1} {2}+\frac{1} {3}+\frac{1} {4}$$
3、['数学归纳法的应用'， '*数学归纳法']正确率60.0%用数学归纳法证明不等式$$\frac1 {n+1}+\frac1 {n+2}+\ldots+$$$$\frac{1} {2 n} > \frac{1 3} {2 4} ( n > 2， \ n \in{\bf N}^{*} )$$的过程中，由$${{n}{=}{k}}$$到$${{n}{=}{k}{+}{1}}$$时，不等式的左边（）
C
A.增加了一项$$\frac{1} {2 ( k+1 )}$$
B.增加了$$\frac{1} {2 k+1}+\frac{1} {2 ( k+1 )}$$
C.增加了$$\frac{1} {2 k+1}+\frac{1} {2 ( k+1 )}$$，又减少了一项$$\frac{1} {k+1}$$
D.增加了一项$$\frac{1} {2 ( k+1 )}$$，又减少了一项$$\frac{1} {k+1}$$
4、['数学归纳法的应用']正确率40.0%已知$${{f}{(}{n}{)}{=}{(}{2}{n}{+}{7}{)}{⋅}{{3}^{n}}{+}{9}{，}}$$对任意$${{n}{∈}{{N}^{∗}}{，}}$$存在自然数$${{m}{，}}$$使$${{m}}$$整除$${{f}{(}{n}{)}{，}}$$则$${{m}}$$的最大值为（）
C
A.$${{3}{0}}$$
B.$${{9}}$$
C.$${{3}{6}}$$
D.$${{6}}$$
5、['数学归纳法的应用']正确率60.0%用数学归纳法证明$$1+2+3+\ldots+n^{2}=\frac{n^{4}+n^{2}} {2}， \ n \in{\bf N}^{*}$$，则当$${{n}{=}{k}{+}{1}}$$时，等式左边应在$${{n}{=}{k}}$$的基础上加上（）
D
A.$${{(}{k}{+}{1}{{)}^{2}}}$$
B.$${{k}^{2}{+}{1}}$$
C.$$\frac{\left( k+1 \right)^{4}+\left( k+1 \right)^{2}} {2}$$
D.$${{(}{{k}^{2}}{+}{1}{)}{+}{(}{{k}^{2}}{+}{2}{)}{+}{…}{+}{(}{k}{+}{1}{{)}^{2}}}$$
6、['数学归纳法的应用']正确率60.0%某个与自然数有关的命题，如果$${{“}}$$当$${{n}{=}{k}}$$时该命题成立，可推得$${{n}{=}{k}{+}{1}}$$时该命题也成立$${{”}}$$，那么在已知$${{n}{=}{5}}$$时该命题不成立的前提下，可推得（）
C
A.当$${{n}{=}{6}}$$时，该命题不成立
B.当$${{n}{=}{6}}$$时，该命题成立
C.当$${{n}{=}{4}}$$时，该命题不成立
D.当$${{n}{=}{4}}$$时，该命题成立
7、['数学归纳法的应用']正确率60.0%在用数学归纳法证明等式$${{1}{+}{2}{+}{3}{+}{…}{+}{2}{n}{=}{n}{(}{2}{n}{+}{1}{)}}$$时，当$${{n}{=}{1}}$$时的左边等于$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
8、['数学归纳法的应用']正确率60.0%已知$$f ( n )=\frac{1} {1+n}+\frac{1} {2+n}+\cdots+\frac{1} {n+n}$$.用数学归纳法证明：对于任意的$$n \in N *， ~ f ( n ) < \frac{1 3} {1 4}$$，由$${{n}{=}{k}}$$的归纳假设证明$${{n}{=}{k}{+}{1}}$$时，若$${{f}{(}{k}{+}{1}{)}{=}{f}{(}{k}{)}{+}{g}{(}{k}{)}}$$，则$${{g}{(}{k}{)}{=}{（}}$$）
D
A.$$\frac1 {2 k+2}$$
B.$$\frac{1} {2 k+1}+\frac{1} {2 k+2}$$
C.$$\frac1 {2 k+2}-\frac1 {k+1}$$
D.$$\frac1 {2 k+1}-\frac1 {2 k+2}$$
9、['数学归纳法的应用']正确率60.0%用数学归纳法证明$$1+2+3+\cdots+n^{2}=\frac{n^{4}+n^{2}} {2}$$，从$${{n}{=}{k}}$$到$${{n}{=}{k}{+}{1}{(}{n}{∈}{{N}^{∗}}{)}}$$成立时，需增添的项是$${{(}{)}}$$
D
A.$${{k}^{2}{+}{1}}$$
B.$${{(}{k}{+}{1}{)}^{2}}$$
C.$$\frac{\left( k+1 \right)^{4}+\left( k+1 \right)^{2}} {2}$$
D.$${{(}{{k}^{2}}{+}{1}{)}{+}{(}{{k}^{2}}{+}{2}{)}{+}{(}{{k}^{2}}{+}{3}{)}{+}{⋯}{+}{{(}{k}{+}{1}{)}^{2}}}$$
1. 解析：
我们需要找到最小的正整数 $$a$$，使得对于所有正整数 $$n$$，$$a^n > n^2$$ 恒成立。
逐一验证选项：
- 对于 $$a = 2$$，当 $$n = 3$$ 时，$$2^3 = 8$$ 而 $$3^2 = 9$$，不满足 $$8 > 9$$，排除 A。
- 对于 $$a = 3$$，验证 $$n = 1, 2, 3, \ldots$$ 均满足 $$3^n > n^2$$，且 $$a = 3$$ 是最小的满足条件的正整数。
因此，答案为 B。
2. 解析：
根据题意，$$S_n$$ 的表达式为从 $$\frac{1}{n+1}$$ 到 $$\frac{1}{3n+1}$$ 的和。
当 $$n = 1$$ 时，$$S_1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$$。
因此，答案为 D。
3. 解析：
从 $$n = k$$ 到 $$n = k + 1$$，不等式左边从 $$\frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2} + \ldots + \frac{1}{2k}$$ 变为 $$\frac{1}{k+2} + \frac{1}{k+3} + \ldots + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2(k+1)}$$。
观察变化：增加了 $$\frac{1}{2k+1}$$ 和 $$\frac{1}{2(k+1)}$$，同时减少了 $$\frac{1}{k+1}$$。
因此，答案为 C。
4. 解析：
函数为 $$f(n) = (2n + 7) \cdot 3^n + 9$$。验证 $$n = 0$$ 时，$$f(0) = 16$$；$$n = 1$$ 时，$$f(1) = 36$$；$$n = 2$$ 时，$$f(2) = 108$$。
观察发现 $$36$$ 是 $$f(1)$$ 的值，且 $$36$$ 能整除所有 $$f(n)$$（通过数学归纳法可证）。
因此，$$m$$ 的最大值为 C（$$36$$）。
5. 解析：
等式左边为 $$1 + 2 + 3 + \ldots + n^2$$。当 $$n = k + 1$$ 时，左边增加了从 $$k^2 + 1$$ 到 $$(k + 1)^2$$ 的所有整数。
因此，增加的项为 $$(k^2 + 1) + (k^2 + 2) + \ldots + (k + 1)^2$$。
答案为 D。
6. 解析：
根据题意，命题在 $$n = 5$$ 时不成立，且若 $$n = k$$ 成立可推出 $$n = k + 1$$ 成立。
逆否命题：若 $$n = k + 1$$ 不成立，则 $$n = k$$ 不成立。因此，$$n = 4$$ 时命题也不成立。
答案为 C。
7. 解析：
当 $$n = 1$$ 时，等式左边为 $$1 + 2 = 3$$。
因此，答案为 C。
8. 解析：
函数 $$f(n)$$ 从 $$\frac{1}{n+1}$$ 加到 $$\frac{1}{2n}$$。从 $$n = k$$ 到 $$n = k + 1$$，增加了 $$\frac{1}{2k + 1}$$ 和 $$\frac{1}{2k + 2}$$，同时减少了 $$\frac{1}{k + 1}$$。
因此，$$g(k) = \frac{1}{2k + 1} + \frac{1}{2k + 2} - \frac{1}{k + 1} = \frac{1}{2k + 1} - \frac{1}{2k + 2}$$。
答案为 D。
9. 解析：
与第 5 题类似，从 $$n = k$$ 到 $$n = k + 1$$，左边增加了从 $$k^2 + 1$$ 到 $$(k + 1)^2$$ 的所有整数。
因此，答案为 D。