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正确率60.0%在数学解题中，常会碰到形如
的结构，这时可类比正切的差角公式$$\operatorname{t a n} ( \alpha\mathrm{-} \beta) \mathrm{=} \frac{\operatorname{t a n} \alpha\mathrm{-} \operatorname{t a n} \beta} {1+\operatorname{t a n} \alpha\operatorname{t a n} \beta}.$$如：设$${{a}{，}{b}}$$是非零实数，且满足$$\frac{a \operatorname{s i n} \frac{\pi} {5}-b \operatorname{c o s} \frac{\pi} {5}} {a \operatorname{c o s} \frac{\pi} {5}+b \operatorname{s i n} \frac{\pi} {5}}=\operatorname{t a n} \frac{8 \pi} {1 5}，$$则$$\frac{b} {a}=($$）
B
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${{-}{\sqrt {3}}}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$
2、['类比推理'， '球的体积'， '与球有关的切、接问题']正确率40.0%长$${、}$$宽分别为$${{a}{，}{b}}$$的矩形的外接圆的面积为$$\frac{\pi} {4} \ ( \ a^{2}+b^{2} )$$将此结论类比到空间中，正确的距离为（）
D
A.长$${、}$$宽$${、}$$高分别为$$a， ~ b， ~ c$$的长方体的外接球的半径为$$\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} {2}$$
B.长$${、}$$宽$${、}$$高分别为的长方体的外接球的表面积为$$\frac{\pi} {4} \ ( \hfill a^{2}+b^{2}+c^{2} )$$
C.长$${、}$$宽$${、}$$高分别为的长方体的外接球的体积为$$\frac{\pi} {4} \ ( \ a^{3}+b^{3}+c^{3} )$$
D.长$${、}$$宽$${、}$$高分别为的长方体的外接球的表面积为$$\pi\， ( \， a^{2}+b^{2} \，+c^{2} \， )$$
3、['数列的函数特征'， '类比推理'， '归纳推理']正确率40.0%按数列的排列规律猜想数列$$\frac2 3，-\frac4 5， \frac6 7，-\frac8 9， \dots$$的第$${{1}{0}}$$项是（）
C
A.$$- \frac{1 6} {1 7}$$
B.$$- \frac{1 8} {1 9}$$
C.$$- \frac{2 0} {2 1}$$
D.$$- \frac{2 2} {2 3}$$
4、['类比推理'， '归纳推理']正确率60.0%有甲$${、}$$乙$${、}$$丙$${、}$$丁四位同学竞选班长，其中只有一位当选．有人走访了四位同学，甲说：$${{“}}$$是乙或丙当选$${{”}}$$，乙说：$${{“}}$$甲，丙都未当选$${{”}}$$，丙说：$${{“}}$$我当选了$${{”}}$$，丁说：$${{“}}$$是乙当选了$${{”}}$$，若四位同学的话只有两句是对的，则当选的同学是（）
C
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
5、['类比推理']正确率60.0%在公差为$${{d}}$$的等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，我们可以得到$$a_{n}=a_{m}+( n-m ) d \left( m， n \in N_{+} \right)$$.
通过类比推理，在公比为$${{q}}$$的等比数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$中，我们可得$${{(}{)}}$$
D
A.$$b_{n}=b_{m}+q^{n-m}$$
B.$$b_{n}=b_{m}+q^{m-n}$$
C.$$b_{n}=b_{m} \times q^{m-n}$$
D.$$b_{n}=b_{m} \times q^{n-m}$$
6、['类比推理'， '归纳推理']正确率60.0%有苹果$${、}$$香蕉$${、}$$草莓$${、}$$桔子四种互不相同水果，且每种水果各一个，甲$${、}$$乙$${、}$$丙$${、}$$丁四个人每人领了一个，甲说：我领到了苹果$${{”}}$$，乙说：$${{“}}$$我领到了桔子$${{”}}$$，丙说：$${{“}}$$丁没有领到桔子$${{”}}$$，丁说：$${{“}}$$甲没有领到苹果$${{”}}$$．如果只有一个人说的是真话，则一定可以推出的是（）
C
A.乙领到的是香蕉
B.丁领到的是草莓
C.甲领到的不是桔子
D.丙领到的不是苹果
7、['类比推理'， '演绎推理'， '归纳推理']正确率60.0%当$$a， ~ b \in\mathbf{R}$$且$${{b}{≠}{0}}$$时，有$$| \frac{a} {b} |=\frac{| a |} {| b |}$$成立．某学生据此得出，当$$z_{1}， ~ z_{2} \in{\bf C}$$且$${{z}_{2}{≠}{0}}$$时，有$$| \frac{z_{1}} {z_{2}} |=\frac{| z_{1} |} {| z_{2} |}$$成立．该生的推理是（）
C
A.演绎推理
B.三段论
C.类比推理
D.归纳推理
8、['类比推理'， '演绎推理'， '归纳推理']正确率60.0%下面几种推理过程是演绎推理的是
A
A.由于 $${{f}}$$( $${{x}}$$$${{)}{=}}$$ $${{x}}$$$${{c}{o}{s}}$$ $${{x}}$$满足 $${{f}}$$$${{(}{−}}$$ $${{x}}$$$${{)}{=}{−}}$$ $${{f}}$$( $${{x}}$$)对 $${{x}}$$$${{∈}{R}}$$都成立，推断 $${{f}}$$( $${{x}}$$$${{)}{=}}$$ $${{x}}$$$${{c}{o}{s}}$$ $${{x}}$$为奇函数
B.我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油
C.由$$6=3+3， \ 8=3+5， \ 1 0=3+7， \ 1 2=5+7， \ 1 4=7+7， \ \ldots$$，得出结论：一个偶数(大于$${{4}{)}}$$可以写成两个素数的和
D.在数列$${{\{}}$$ $${{a}_{n}}$$$${{\}}}$$中， $${{a}}$$$${_{1}{=}{1}}$$， $${{a}_{n}}$$$${{=}{2}{(}}$$ $${{a}_{n}}$$$$\mathrm{~-1}+1 ) ($$ $${{n}}$$$${{⩾}{2}{)}{，}}$$通过计算 $${{a}}$$$${_{2}}$$， $${{a}}$$$${_{3}}$$， $${{a}}$$$${_{4}}$$的值归纳出$${{\{}}$$ $${{a}_{n}}$$$${{\}}}$$的通项公式
9、['类比推理'， '归纳推理']正确率60.0%记$${{I}}$$为虚数集，设$$a， \， \， b \in R， \， \， x， \， \， y \in I$$．则下列类比所得的结论正确的是（）
C
A.由$$a \cdot b \in R$$，类比得$$x \cdot y \in I$$
B.由$${{a}^{2}{⩾}{0}}$$，类比得$${{x}^{2}{⩾}{0}}$$
C.由$$( \mathbf{a}+b )^{\mathbf{\beta}^{2}}=a^{2}+2 a b+b^{2}$$，类比得$$( \ x+y )^{\rho^{2}}=x^{2}+2 x y+y^{2}$$
D.由$$a+b > 0 \Rightarrow a >-b$$，类比得$$x+y > 0 \Rightarrow x >-y$$
10、['类比推理']正确率60.0%已知在正三角形$${{A}{B}{C}}$$中，若$${{D}}$$是$${{B}{C}}$$边的中点$${，{G}}$$是三角形$${{A}{B}{C}}$$的重心，则$$\frac{A G} {G D}=2$$.若把该结论推广到空间，则有：在棱长都相等的四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$中，若三角形$${{B}{C}{D}}$$的重心为$${{M}{，}}$$四面体内部一点$${{O}}$$到四面体各面的距离都相等.由此可知$$\frac{A O} {O M}$$等于 （）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
1. 解析：
将原式变形为 $$\frac{a \tan \frac{\pi}{5} - b}{a + b \tan \frac{\pi}{5}} = \tan \frac{8\pi}{15}$$，类比正切差角公式 $$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$，可得 $$\tan \left( \frac{\pi}{5} - \theta \right) = \tan \frac{8\pi}{15}$$，其中 $$\tan \theta = \frac{b}{a}$$。解得 $$\theta = \frac{\pi}{5} - \frac{8\pi}{15} = -\frac{\pi}{3}$$，因此 $$\frac{b}{a} = \tan \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\sqrt{3}$$。故选 B。
2. 解析：
平面中矩形的外接圆面积为 $$\frac{\pi}{4}(a^2 + b^2)$$，类比到空间，长方体的外接球表面积为 $$\pi(a^2 + b^2 + c^2)$$（半径为 $$\frac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{2}$$）。选项 D 正确。
3. 解析：
数列通项为 $$a_n = (-1)^{n+1} \frac{2n}{2n+1}$$，第 10 项为 $$a_{10} = -\frac{20}{21}$$。故选 C。
4. 解析：
假设甲当选，则甲、乙、丁的话为假，丙的话为真，仅一句真话，矛盾；假设乙当选，则甲、丙的话为真，乙、丁的话为假，符合两句真话；假设丙当选，则甲、乙、丙的话为真，矛盾；假设丁当选，则甲、乙的话为假，丙、丁的话为真，符合两句真话。但题目要求唯一当选者，进一步分析矛盾，实际只有乙当选时满足条件。故选 B。
5. 解析：
等差数列中 $$a_n = a_m + (n-m)d$$，类比到等比数列为 $$b_n = b_m \times q^{n-m}$$。故选 D。
6. 解析：
若甲说真话，则丁也说真话，矛盾；若乙说真话，则甲、丙、丁均假，但丙的假话意味着丁领到桔子，与乙矛盾；若丙说真话，则甲、乙、丁均假，此时甲未领苹果，乙未领桔子，丁领桔子，甲可能领香蕉或草莓；若丁说真话，则甲、乙、丙均假，甲未领苹果，乙未领桔子，丁领桔子，甲可能领香蕉或草莓。唯一确定的是丁领到草莓。故选 B。
7. 解析：
由实数性质推广到复数性质，属于类比推理。故选 C。
8. 解析：
A 选项通过奇函数定义直接推导，是演绎推理；B 为类比推理；C 为归纳推理；D 为归纳推理。故选 A。
9. 解析：
复数运算不满足实数的一些性质，如 $$x^2 \geq 0$$ 不成立（A、B 错误），$$x+y > 0$$ 无意义（D 错误）。C 选项的展开式在形式上成立。故选 C。
10. 解析：
平面中重心分中线比为 2:1，类比到空间，四面体的重心分高比为 3:1（体积比例）。故选 C。