归纳推理-不等式的拓展与综合知识点考前基础单选题自测题答案-贵州省等高一数学必修,平均正确率74.0%

1、['等差数列的通项公式'， '数列的递推公式'， '归纳推理'， '等差数列的基本量'， '数列的通项公式']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式$$a_{n}=\frac{1} {( n+1 )^{2}}$$，记$$f \left( \， n \right) ~=~ ( \， 1-a_{1} \， ) ~ ~ ( \， 1-a_{2} \， ) ~ ~ ( \， 1-a_{3} \， ) ~ ~ \dots~ ( \， 1-a_{n} \， )$$，通过计算$$f ~ ( \textbf{1} ) ~， ~ f ~ ( \textbf{2} ) ~， ~ f ~ ( \textbf{3} ) ~， ~ f ~ ( \textbf{4} )$$的值，猜想$${{f}{（}{n}{）}}$$的值为（）

A.$$\frac{2 n-1} {( n+1 )^{2}}$$

B.$$\frac{n+2} {n ( n+1 )}$$

C.$$\frac{n+2} {n+1}$$

D.$$\frac{n+2} {2 ( n+1 )}$$

3、['数列的递推公式'， '归纳推理']

正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的第一项$${{a}_{1}{=}{1}}$$，且$$a_{n+1}=\frac{a_{n}} {1+a_{n}}， \quad( \， n=1， \， 2， \， 3， \， \ldots\， )$$，试归纳出这个数列的通项公式（）

A.$$a_{n}=\frac{1} {n}$$

B.$$a_{n}=\frac{1} {n+1}$$

C.$${{a}_{n}{=}{n}}$$

D.$$a_{n+1}=\frac{1} {n}$$

5、['归纳推理']

正确率60.0%对于$$2 0 1 7!$$，其末尾连续零的个数为（）

A.$${{2}{0}{1}}$$

B.$${{4}{0}{3}}$$

C.$${{4}{8}{3}}$$

D.$${{5}{0}{2}}$$

8、['归纳推理']

正确率60.0%$${{8}}$$名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得$${{2}}$$分，平局各得$${{1}}$$分，负者得$${{0}}$$分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，$${{8}}$$名选手的得分各不相同，且第二名的得分与最后四名选手得分之和相等．则第二名选手的得分是（）

A.$${{1}{4}}$$

B.$${{1}{3}}$$

C.$${{1}{2}}$$

D.$${{1}{1}}$$

9、['导数的四则运算法则'， '归纳推理']

正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的导函数为$$f^{\prime} ( x )$$，记$$f_{1} ( x )=f^{\prime} ( x )， \， \， f_{2} ( x )=f_{1}^{\prime} ( x )，$$$$\ldots\; f_{n+1} ( x )=f_{n}^{\prime} ( x )$$$$( n \in{\bf N^{*}} ).$$若$$f ( x )=x \mathrm{s i n} \; x$$，则$$f_{2 0 1 9} ( x )+f_{2 0 2 1} ( x )=$$（）

A.$${{-}{2}{{c}{o}{s}}{x}}$$

B.$${{−}{2}{{s}{i}{n}}{x}}$$

C.$${{2}{{c}{o}{s}}{x}}$$

D.$${{2}{{s}{i}{n}}{x}}$$

10、['归纳推理']

正确率80.0%观察下列各式：$$\frac{1} {1+2}=\frac{1} {3}， \ \frac{1} {1+2}+\frac{1} {1+2+3}=\frac{1} {2}，$$$$\frac{1} {1+2}+\frac{1} {1+2+3}+\frac{1} {1+2+3+4}=\frac{3} {5}，$$$${{…}{，}}$$则$$\frac{1} {1+2}+\frac{1} {1+2+3}+\ldots+\frac{1} {1+2+\ldots+1 2}$$等于（）

A.$$\frac{5} {6}$$

B.$$\frac{1 1} {1 2}$$

C.$$\frac{1 1} {1 3}$$

D.$$\frac{1 2} {1 3}$$

1. 解析：首先计算 $$f(1), f(2), f(3), f(4)$$ 的值：

$$f(1) = 1 - a_1 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$ $$f(2) = \left(1 - \frac{1}{4}\right)\left(1 - \frac{1}{9}\right) = \frac{3}{4} \times \frac{8}{9} = \frac{2}{3}$$ $$f(3) = \frac{3}{4} \times \frac{8}{9} \times \frac{15}{16} = \frac{5}{8}$$ $$f(4) = \frac{3}{4} \times \frac{8}{9} \times \frac{15}{16} \times \frac{24}{25} = \frac{3}{5}$$

观察规律，发现 $$f(n) = \frac{n+2}{2(n+1)}$$，与选项 D 相符。

3. 解析：根据递推关系 $$a_{n+1} = \frac{a_n}{1 + a_n}$$，计算前几项：

$$a_1 = 1$$ $$a_2 = \frac{1}{2}$$ $$a_3 = \frac{1/2}{1 + 1/2} = \frac{1}{3}$$ $$a_4 = \frac{1/3}{1 + 1/3} = \frac{1}{4}$$

归纳出通项公式为 $$a_n = \frac{1}{n}$$，与选项 A 相符。

5. 解析：计算 $$2017!$$ 末尾零的个数，即计算其中因子 5 的个数。公式为：

$$\left\lfloor \frac{2017}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2017}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2017}{125} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2017}{625} \right\rfloor$$ $$= 403 + 80 + 16 + 3 = 502$$

与选项 D 相符。

8. 解析：8 名选手单循环赛总场数为 $$\frac{8 \times 7}{2} = 28$$ 场，总分为 $$28 \times 2 = 56$$ 分。设第二名得分为 $$x$$，最后四名得分之和也为 $$x$$。设前四名得分依次为 $$x + d, x, x - e, x - f$$，后四名得分之和为 $$x$$。总分为：

$$(x + d) + x + (x - e) + (x - f) + x = 56$$ $$5x + d - e - f = 56$$

由于得分各不相同且为整数，合理猜测 $$x = 12$$，验证符合条件，与选项 C 相符。

9. 解析：对 $$f(x) = x \sin x$$ 求导：

$$f_1(x) = \sin x + x \cos x$$ $$f_2(x) = \cos x + \cos x - x \sin x = 2 \cos x - x \sin x$$ $$f_3(x) = -2 \sin x - \sin x - x \cos x = -3 \sin x - x \cos x$$ $$f_4(x) = -3 \cos x - \cos x + x \sin x = -4 \cos x + x \sin x$$

发现周期为 4，且 $$f_{2019}(x) + f_{2021}(x) = f_3(x) + f_1(x) = -2 \sin x$$，与选项 B 相符。

10. 解析：观察分母为 $$1 + 2 + \dots + k = \frac{k(k+1)}{2}$$，因此通项为 $$\frac{1}{\frac{k(k+1)}{2}} = 2\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)$$。求和：

$$\sum_{k=2}^{12} \frac{1}{1 + 2 + \dots + k} = 2\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{13}\right) = 1 - \frac{2}{13} = \frac{11}{13}$$

与选项 C 相符。

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