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正确率80.0%“以直代曲”是重要的数学思想$${{.}}$$具体做法是：在函数图像某个切点附近用切线代替曲线来近似计算$${{.}}$$比如要求$${{s}{i}{n}{{0}{.}{0}{5}}}$$的近似值，我们可以先构造函数$${{y}{=}{{s}{i}{n}}{x}}$$，由于$${{0}{.}{0}{5}}$$与$${{0}}$$比较接近，所以求出$${{x}{=}{0}}$$处的切线方程为$${{y}{=}{x}}$$，再把$${{x}{=}{{0}{.}{0}{5}}}$$代入切线方程，故有$$\operatorname{s i n} 0. 0 5 \approx0. 0 5$$，类比上述方式，则$$e^{\frac{1} {1 0 0 0}} \approx( \begin{array} {c c} {} & {} \\ {} & {} \\ \end{array} )$$
A.$$\mathrm{1. 0 0 1}$$
B.$$1. 0 0 5$$
C.$$1. 0 1 5$$
D.$$1. 0 2 5$$
3、['合情推理与演绎推理'， '演绎推理']正确率80.0%下列推理过程是类比推理的为$${{(}{)}}$$
A.科学家通过研究蝙蝠的声波发明了雷达
B.人们通过实验得出投骰子出现数字$${{1}}$$的概率为$$\frac{1} {6}$$
C.数列$${{a}_{1}{=}{1}}$$，$${{a}_{2}{=}{2}}$$，$${{a}_{3}{=}{3}}$$，推理出$${{a}_{4}{=}{4}}$$
D.教室的几把椅子坏了，那么该教室内所有的椅子都坏了
4、['合情推理与演绎推理'， '指数']正确率80.0%《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术$${{.}}$$得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟$${{.}}$$”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：$$2 \sqrt{\frac{2} {3}}=\sqrt{2 \frac{2} {3}}$$，$$3 \sqrt{\frac{3} {8}}=\sqrt{3 \frac{3} {8}}$$，$$4 \sqrt{\frac{4} {1 5}}=\sqrt{4 \frac{4} {1 5}}$$，$$5 \sqrt{\frac{5} {2 4}}=\sqrt{5 \frac{5} {2 4}}$$，则按照以上规律，若$$8 \sqrt{\frac{8} {n}}=\sqrt{8 \frac{8} {n}}$$具有“穿墙术”，则$${{n}{=}{(}{)}}$$
A.$${{3}{5}}$$
B.$${{4}{8}}$$
C.$${{6}{3}}$$
D.$${{8}{0}}$$
6、['数列在日常经济生活中的应用'， '合情推理与演绎推理']正确率40.0%取一条长度为$${{1}}$$的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下剩下的两段；再将剩下的两段分别分割三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；…；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集$${{.}}$$若在第$${{n}}$$次操作中去掉的线段长度之和不小于$$\frac{1} {6 0}$$，则$${{n}}$$的最大值为$${{(}{)}{(}}$$参考数据：$$1. 5^{7} \approx1 7. 1$$，$$1. 5^{8} \approx2 5. 6$$，$$1. 5^{9} \approx3 8. 4$$，$$1. 5^{1 0} \approx5 7. 7 )$$
A.$${{7}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{9}}$$
D.$${{1}{0}}$$
7、['合情推理与演绎推理'， '数列的求和']正确率80.0%斐波那契数列是意大利数学家斐波那契在撰写《算盘全书》$$( \boldsymbol{L i b e r A b a c c i} )$$一书中研究的一个著名数列$${{1}}$$，$${{1}}$$，$${{2}}$$，$${{3}}$$，$${{5}}$$，$${{8}}$$，$${{1}{3}}$$，$${{2}{1}}$$，$${{3}{4}}$$，⋯，该数列是数学史中非常重要的一个数列$${{.}}$$它与生活中许多现象息息相关，如松果、凤梨、树叶的排列符合该数列的规律，与杨辉三角，黄金分割比等知识的关系也相当密切$${{.}}$$已知该数列满足如下规律，即从第三项开始，每一项都等于前两项的和，根据这个递推关系，令该数列为$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$，其前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，$$a_{1}=a_{2}=1$$，$${{a}_{3}{=}{2}}$$，若$$S_{2 0 2 1}=t$$，则$$a_{2 0 2 3}=( \textsubscript{\Lambda} )$$
A.$${{t}}$$
B.$${{t}^{2}{+}{1}}$$
C.$${{2}{t}}$$
D.$${{t}{+}{1}}$$
8、['合情推理与演绎推理']正确率80.0%甲、乙、丙三位同学讨论一道数学题$${{.}}$$甲说：“我做错了$${{.}}$$”乙说：“甲做对了$${{.}}$$”丙说：“我做错了$${{.}}$$”老师看过他们的答案并听了他们的上述对话后说：“你们有一个人做对了，有一个人说错了$${{.}}$$”则根据以上信息可以推断出$${{(}{)}}$$
A.甲做对了
B.乙做对了
C.丙做对了
D.无法确定谁做对了
10、['合情推理与演绎推理']正确率80.0%观察下列算式：$${{2}^{1}{=}{2}}$$，$${{2}^{2}{=}{4}}$$，$${{2}^{3}{=}{8}}$$，$${{2}^{4}{=}{{1}{6}}}$$，$${{2}^{5}{=}{{3}{2}}}$$，$${{2}^{6}{=}{{6}{4}}}$$，$${{2}^{7}{=}{{1}{2}{8}}}$$，$${{2}^{8}{=}{{2}{5}{6}}}$$，⋯，用你所发现的规律可得$$2^{2 0 2 3}$$的末位数字是$${{(}{)}}$$
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{8}}$$
1. 对于 $$e^{\frac{1}{1000}}$$ 的近似计算，采用“以直代曲”思想。构造函数 $$y = e^x$$，在 $$x = 0$$ 处求切线。导数为 $$y' = e^x$$，在 $$x = 0$$ 处斜率为 $$e^0 = 1$$，切线方程为 $$y = 1 + x$$。代入 $$x = \frac{1}{1000}$$，得 $$e^{\frac{1}{1000}} \approx 1 + \frac{1}{1000} = 1.001$$。对应选项 A。
3. 类比推理是根据两个对象在某些属性上相同，推断它们在其他属性上也相同。A 选项通过蝙蝠声波类比雷达原理，属于类比推理。B 是归纳推理，C 是归纳推理，D 是归纳推理。故选 A。
4. 观察“穿墙术”等式规律：$$2 \sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{2 \frac{2}{3}}$$，$$3 \sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{3 \frac{3}{8}}$$，$$4 \sqrt{\frac{4}{15}} = \sqrt{4 \frac{4}{15}}$$，$$5 \sqrt{\frac{5}{24}} = \sqrt{5 \frac{5}{24}}$$。一般形式为 $$k \sqrt{\frac{k}{n}} = \sqrt{k \frac{k}{n}}$$，两边平方得 $$k^2 \cdot \frac{k}{n} = k + \frac{k}{n}$$，即 $$\frac{k^3}{n} = \frac{kn + k}{n}$$，化简得 $$k^3 = k(n + 1)$$，解得 $$n = k^2 - 1$$。当 $$k = 8$$ 时，$$n = 64 - 1 = 63$$。对应选项 C。
6. 康托尔三分集每次操作去掉的线段长度：第一次去掉 $$\frac{1}{3}$$，第二次去掉 $$2 \times \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$$，第三次去掉 $$4 \times \frac{1}{27} = \frac{4}{27}$$，第 $$n$$ 次去掉 $$2^{n-1} \times \frac{1}{3^n} = \frac{2^{n-1}}{3^n}$$。前 $$n$$ 次去掉总长度和为等比数列求和：$$S_n = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \cdots + \frac{2^{n-1}}{3^n} = \frac{\frac{1}{3} \left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n\right)}{1 - \frac{2}{3}} = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n$$。要求 $$S_n \geq \frac{1}{60}$$，即 $$1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n \geq \frac{1}{60}$$，解得 $$\left(\frac{2}{3}\right)^n \leq \frac{59}{60}$$。取对数得 $$n \geq \frac{\ln \frac{59}{60}}{\ln \frac{2}{3}}$$，计算近似值：$$\ln \frac{59}{60} \approx -0.0168$$，$$\ln \frac{2}{3} \approx -0.4055$$，$$n \geq 0.0414$$，但需结合参考数据。实际上，$$\left(\frac{2}{3}\right)^n$$ 递减，试算：$$n=7$$ 时 $$\left(\frac{2}{3}\right)^7 \approx 0.0585 > \frac{1}{60} \approx 0.0167$$，$$n=8$$ 时 $$\left(\frac{2}{3}\right)^8 \approx 0.0390 > 0.0167$$，$$n=9$$ 时 $$\left(\frac{2}{3}\right)^9 \approx 0.0260 > 0.0167$$，$$n=10$$ 时 $$\left(\frac{2}{3}\right)^{10} \approx 0.0173 > 0.0167$$，$$n=11$$ 时 $$\left(\frac{2}{3}\right)^{11} \approx 0.0115 < 0.0167$$。故 $$n$$ 最大为 10，对应选项 D。
7. 斐波那契数列满足 $$a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$$，已知 $$S_{2021} = t$$。考虑 $$a_{2023}$$ 与 $$S_{2021}$$ 的关系。由递推关系，$$a_{2023} = a_{2022} + a_{2021}$$，且 $$S_{2021} = a_1 + a_2 + \cdots + a_{2021}$$。注意到 $$a_{2022} = S_{2022} - S_{2021}$$，但更直接利用性质：$$S_n = a_{n+2} - 1$$（因为 $$a_1 = a_2 = 1$$，$$a_3 = 2$$，$$a_4 = 3$$，…，$$S_n = a_{n+2} - 1$$）。验证：$$S_1 = 1 = a_3 - 1$$，$$S_2 = 2 = a_4 - 1$$，成立。故 $$S_{2021} = a_{2023} - 1 = t$$，所以 $$a_{2023} = t + 1$$。对应选项 D。
8. 甲、乙、丙三人讨论。甲说“我做错了”，乙说“甲做对了”，丙说“我做错了”。老师指出：一人做对，一人说错。假设甲做对，则甲说“我做错了”为假，符合说错；乙说“甲做对了”为真，但只能一人说错，矛盾。假设乙做对，则乙说“甲做对了”为真，但甲实际做错，故乙说错，矛盾。假设丙做对，则丙说“我做错了”为假，符合说错；甲说“我做错了”为真（因甲做错），乙说“甲做对了”为假（因甲做错），但只能一人说错，这里乙也说错，矛盾。重新分析：若甲做对，则甲说错（谎），乙说真（对），丙说“我做错了”为真（因丙做错），此时两人说真（乙和丙），一人说错（甲），但老师要求一人说错，符合。故甲做对。选 A。
10. 观察 $$2^n$$ 的末位数字周期：$$2^1=2$$，$$2^2=4$$，$$2^3=8$$，$$2^4=16$$，$$2^5=32$$，$$2^6=64$$，$$2^7=128$$，$$2^8=256$$，…，周期为 4：2,4,8,6。2023 除以 4 余 3（因为 2020 可被 4 整除），故末位数字与 $$2^3$$ 相同，为 8。对应选项 D。