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正确率60.0%已知$$a=5， \ b=\sqrt{7}+\sqrt{2}， \ c=\sqrt{6}+\sqrt{3}$$，则$$a， ~ b， ~ c$$的大小关系是 （）
C
A.$$a < b < c$$
B.$$b < a < c$$
C.$$b < c < a$$
D.$$c < b < a$$
2、['分析法']正确率60.0%分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明“设$$a > b > c，$$且$$a+b+c=0，$$求证：$$\sqrt{b^{2}-a c} < \sqrt{3} a$$”，索的因应是下列式子中的（）
A
A.$$( a-b ) ( a-c ) > 0$$
B.$$( a-b ) ( a-c ) < ~ 0$$
C.$$( b-a ) ( b-c ) > 0$$
D.$$( b-a ) ( b-c ) < 0$$
3、['证明不等式的方法'， '分析法']正确率60.0%已知$$a， \， \， b， \， \， m$$都是正实数，则不等式$$\frac{a+m} {b+m} > \frac{a} {b}$$（）
B
A.在$${{a}{>}{b}}$$时成立
B.在$${{a}{<}{b}}$$时成立
C.在$${{a}{≠}{b}}$$时成立
D.一定成立
4、['证明不等式的方法'， '分析法']正确率60.0%要证明$$\sqrt{8}-\sqrt{5} > \sqrt{1 0}-\sqrt{7}，$$可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（$${）}$$.
B
A.综合法
B.分析法
C.比较法
D.归纳法
5、['分析法']正确率60.0%来自英$${、}$$法$${、}$$日$${、}$$德的甲$${、}$$乙$${、}$$丙$${、}$$丁四位客人，刚好碰在一起，他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言的一种，有一种语言是三人都会说的，但没有一种语言人人都懂，现知道：
$${①}$$甲是日本人，丁不会说日语，但他俩都能自由交谈；
$${②}$$四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；
$${③}$$甲$${、}$$乙$${、}$$丙$${、}$$丁交谈时，找不到共同语言沟通；
$${④}$$乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他都能做翻译．针对他们懂的语言
正确的推理是（）
A
A.甲日德$${、}$$乙法德$${、}$$丙英法$${、}$$丁英德
B.甲日英$${、}$$乙日德$${、}$$丙德法$${、}$$丁日英
C.甲日德$${、}$$乙法德$${、}$$丙英德$${、}$$丁英德
D.甲日法$${、}$$乙英德$${、}$$丙法德$${、}$$丁法英
6、['分析法']正确率60.0%命题$${{“}}$$若$${{x}{>}{y}}$$，则$$( \， x-y ) \; \; \; ( \， x^{3}+y^{3} \， ) \; \;=\; \; ( \， x^{2}-y^{2} \， ) \; \; \; ( \， x^{2}-x y+y^{2} \， ) \; "$$的证明过程：
$${{“}}$$要证明$$( \， x-y ) \， \， \， \， ( \， x^{3}+y^{3} ) \， \， \，=\， \， ( \， x^{2}-y^{2} ) \， \， \， \， ( \， x^{2}-x y+y^{2} )$$，
即证$$( \， x-y ) \， \， \， \， ( \， x^{3}+y^{3} ) \， \， \，=\， \， ( \， x-y ) \， \， \， \， ( \， x+y ) \， \， \， \， ( \， x^{2}-x y+y^{2} )$$．
因为$${{x}{>}{y}}$$，
即证$$x^{3}+y^{3}=\ ( \， x+y ) \ \ ( \， x^{2}-x y+y^{2} \， )$$，
即证$$x^{3}+y^{3}=x^{3}-x^{2} y+x y^{2}+x^{2} y-x y^{2}+y^{3}$$，
即证$$x^{3}+y^{3}=x^{3}+y^{3}$$，
因为上式成立，故原等式成立应用了（）
A
A.分析法
B.综合法
C.综合法与分析法结合使用
D.演绎法
7、['分析法'， '综合法']正确率40.0%命题$${{“}}$$对于任意角$$\theta， \operatorname{c o s}^{4} \theta-\operatorname{s i n}^{4} \theta=\operatorname{c o s} 2 \theta^{\prime\prime}$$的证明：$$` ` \mathrm{c o s}^{4} \theta-\mathrm{s i n}^{4} \theta=\left( \mathrm{c o s}^{2} \theta-s i n^{2} \theta\right) \left( \mathrm{c o s}^{2} \theta+\mathrm{s i n}^{2} \theta\right)=c o s^{2} \theta-s i n^{2} \theta=\mathrm{c o s} \， 2 \theta^{\prime\prime}$$过程应用了（）
B
A.分析法
B.综合法
C.综合法$${、}$$分析法结合使用
D.间接证法
8、['分析法']正确率60.0%要证明$$\sqrt3+\sqrt7 < 2 \sqrt5，$$可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（$${）}$$．
B
A.综合法
B.分析法
C.类比法
D.归纳法
9、['分析法'， '命题的真假性判断']正确率40.0%甲乙丙三个学生同时参加了若干门学科竞赛至少包含数学和物理，在每科竞赛中，甲乙丙三人中都有一个学生的分数为$${{x}}$$，另一个学生的分数为$${{y}}$$，第三个学生的分数为$${{z}}$$，其中$${{x}}$$，$${{y}}$$，$${{z}}$$是三个互不相等的正整数$${{.}}$$在完成所有学科竞赛后，甲的总分为$${{4}{7}}$$分，乙的总分为$${{2}{4}}$$分，丙的总分为$${{1}{6}}$$分，且在甲乙丙这三个学生中乙的数学竞赛成绩排名第一，则（）
D
A.甲乙丙三个学生至少参加了四门学科竞赛
B.$${{x}}$$，$${{y}}$$，$${{z}}$$这三个数中的最大值可以取到$${{2}{1}}$$
C.在甲乙丙这三个学生中，甲学生的物理竞赛成绩可能排名第二
D.在甲乙丙这三个学生中，丙学生的物理竞赛成绩一定排名第二
1. 比较 $$a=5$$, $$b=\sqrt{7}+\sqrt{2}$$, $$c=\sqrt{6}+\sqrt{3}$$ 的大小关系。
计算平方：$$b^2=7+2+2\sqrt{14}=9+2\sqrt{14}$$, $$c^2=6+3+2\sqrt{18}=9+2\sqrt{18}$$。
由于 $$\sqrt{18} > \sqrt{14}$$, 所以 $$c^2 > b^2$$, 即 $$c > b$$。
比较 $$a$$ 和 $$c$$: $$a=5$$, $$c=\sqrt{6}+\sqrt{3} \approx 2.449+1.732=4.181 < 5$$, 所以 $$a > c$$。
因此大小关系为：$$b < c < a$$, 对应选项 C。
2. 分析法证明 $$\sqrt{b^{2}-a c} < \sqrt{3} a$$, 索因应是。
分析：由 $$a+b+c=0$$ 得 $$b=-(a+c)$$, 代入不等式：$$\sqrt{(a+c)^2 - a c} < \sqrt{3} a$$。
平方得：$$(a+c)^2 - a c < 3a^2$$, 即 $$a^2+2ac+c^2 - a c < 3a^2$$, 整理得 $$2ac + c^2 < 2a^2$$。
因式分解：$$(a-c)(2a+c) > 0$$, 由 $$a > b > c$$ 和 $$a+b+c=0$$ 知 $$a>0$$, $$c<0$$, 所以 $$a-c>0$$, $$2a+c=a+(a+c)=a-b>0$$, 因此 $$(a-c)(a-b) > 0$$, 即 $$(a-b)(a-c) > 0$$, 对应选项 A。
3. 不等式 $$\frac{a+m}{b+m} > \frac{a}{b}$$ 成立条件。
作差：$$\frac{a+m}{b+m} - \frac{a}{b} = \frac{b(a+m) - a(b+m)}{b(b+m)} = \frac{m(b-a)}{b(b+m)}$$。
由于 $$m>0$$, $$b>0$$, $$b+m>0$$, 所以符号取决于 $$b-a$$。
当 $$a < b$$ 时, $$b-a>0$$, 不等式成立；当 $$a > b$$ 时, $$b-a<0$$, 不等式不成立。
因此成立条件是 $$a < b$$, 对应选项 B。
4. 证明 $$\sqrt{8}-\sqrt{5} > \sqrt{10}-\sqrt{7}$$ 的最合理方法。
考虑函数 $$f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}$$, 分析单调性。
或者直接平方比较：$$(\sqrt{8}-\sqrt{5})^2=13-2\sqrt{40}$$, $$(\sqrt{10}-\sqrt{7})^2=17-2\sqrt{70}$$。
由于 $$2\sqrt{70} > 2\sqrt{40}$$, 所以 $$17-2\sqrt{70} < 13-2\sqrt{40}$$, 即右边更小，原不等式成立。
此过程为综合法，但最直接的是比较法（作差或作商），选项 C 比较法最合理。
5. 语言推理问题。
由条件①：甲是日本人，丁不会日语，但能自由交谈 → 甲和丁有共同语言（非日语）。
条件②：无人既懂日语又懂法语。
条件③：四人无共同语言。
条件④：乙不会英语，甲和丙交谈时乙能翻译 → 乙与甲、丙都有共同语言。
推理：甲会日语和另一种（设为德）。丁不会日语，会英和德（与甲共同德）。乙不会英语，会法和德（与甲共同德）。丙会英和法（与乙共同法）。验证所有条件满足。
因此甲：日、德；乙：法、德；丙：英、法；丁：英、德，对应选项 A。
6. 命题证明方法分析。
证明过程：从要证明的等式出发，逐步简化到已知成立的等式。
即执果索因，属于分析法，对应选项 A。
7. 命题 $$\cos^4 \theta - \sin^4 \theta = \cos 2\theta$$ 的证明方法。
证明：直接使用公式 $$\cos^4 \theta - \sin^4 \theta = (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \cos 2\theta$$。
此过程从已知公式和恒等式出发，直接推导出结论，属于综合法，对应选项 B。
8. 证明 $$\sqrt{3}+\sqrt{7} < 2\sqrt{5}$$ 的最合理方法。
平方两边：左边 $$(\sqrt{3}+\sqrt{7})^2=10+2\sqrt{21}$$, 右边 $$(2\sqrt{5})^2=20$$。
比较 $$10+2\sqrt{21}$$ 和 $$20$$: $$2\sqrt{21} \approx 9.165$$, $$10+9.165=19.165 < 20$$。
此过程为综合法，但分析法也可：假设成立，平方得 $$10+2\sqrt{21} < 20$$, 即 $$\sqrt{21} < 5$$, 显然成立。
最直接的是比较法（作差），但选项中有分析法，通常分析法更适用于不等式证明，选项 B 合理。
9. 竞赛分数问题。
设竞赛门数为 $$n$$, 每科分数分配为 $$x, y, z$$。
总分和：$$47+24+16=87$$, 所以 $$n(x+y+z)=87$$, 因此 $$n$$ 是87的约数，且 $$n \geq 2$$（至少数学和物理）。
87的约数：1,3,29,87。$$n=3$$ 或 $$n=29$$ 或 $$n=87$$, 但 $$n=29$$ 或 $$87$$ 不合理（分数太大或门数太多），所以 $$n=3$$, 即参加了3门竞赛。
因此 $$x+y+z=29$$。
乙总分24，乙的数学第一（即得最高分 $$x$$），设乙得 $$x$$ 的次数为 $$k$$, 则 $$k x + (3-k) z = 24$$（因为乙不可能得 $$y$$, 否则总分更高）。
类似，甲总分47，丙总分16。
分析选项：A错误（只有3门）；B: $$x$$ 最大值，例如 $$x=21$$, $$y=5$$, $$z=3$$, 可能；C: 甲物理排名第二可能；D: 丙物理一定第二不一定。
因此正确选项为 B 和 C。