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正确率60.0%用数学归纳法证明不等式$$` ` \frac{1} {n+1}+\frac{1} {n+2}+\frac{1} {n+3}+\cdots+\frac{1} {2 n} < \frac{1 3} {1 4} " ( n \in N， n \geqslant2 )$$时，由$${{n}{=}{k}}$$递推到$$n=k+1$$时，不等式左边$${{(}{)}}$$
B
A.增加两项$$\frac{1} {2 k+1}， \frac{1} {2 k+2}$$
B.增加两项$$\frac1 {2 k+1}， \frac1 {2 k+2}，$$但减少一项$$\frac{1} {k+1}$$
C.增加一项$$\frac1 {2 k+2}$$
D.以上均不对
2、['数列的递推公式'， '数列的函数特征'， '归纳推理']正确率60.0%在数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{1}=-\frac{1} {4}， \， \， a_{n}=1-\frac{1} {a_{n}-1} ( n > 1 )$$，则$$a_{2 0 1 4}$$的值为（）
A
A.$$- \frac{1} {4}$$
B.$${{5}}$$
C.$$\frac{4} {5}$$
D.以上都不对
5、['不等式的解集与不等式组的解集'， '归纳推理'， '不等关系在实际生活中的体现']正确率60.0%$${{2}{0}{1}{8}}$$年$${{4}}$$月我市事业编招考笔试成绩公布后，甲$${、}$$乙$${、}$$丙$${、}$$丁四位同学同时报考了教育类的高中数学职位，他们的成绩有如下关系：甲$${、}$$乙的成绩之和与丙$${、}$$丁成绩之和相同，乙$${、}$$丁成绩之和大于甲$${、}$$丙成绩之和，甲的成绩大于乙$${、}$$丙成绩之和．那么四人的成绩最高的是（）
D
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
8、['归纳推理']正确率40.0%我国古代著名的数学著作有$${《}$$周髀算经$${》{、}{《}}$$九章算术$${》{、}{《}}$$孙子算经$${》{、}{《}}$$五曹算经$${》{、}{《}}$$夏侯阳算经$${》{、}{《}}$$孙丘建算经$${》{、}{《}}$$海岛算经$${》{、}{《}}$$五经算术$${》{、}{《}}$$缀术$${》{、}{《}}$$缉古算机$${》}$$等$${{1}{0}}$$部算书，被称为$${{“}}$$算经十书$${{”}}$$．某校数学兴趣小组甲$${、}$$乙$${、}$$丙$${、}$$丁四名同学对古代著名的数学著作产生浓厚的兴趣．一天，他们根据最近对这十部书的阅读本数情况说了这些话，甲：$${{“}}$$乙比丁少$${{”}}$$；乙：$${{“}}$$甲比丙多$${{”}}$$；丙：$${{“}}$$我比丁多$${{”}}$$；丁：$${{“}}$$丙比乙多$${{”}}$$，有趣的是，他们说的这些话中，只有一个人说的是真实的，而这个人正是他们四个人中读书本数最少的一个（他们四个人对这十部书阅读本数各不相同）．甲$${、}$$乙$${、}$$丙$${、}$$丁按各人读书本数由少到多的排列是（）
D
A.乙甲丙丁
B.甲丁乙丙
C.丙甲丁乙
D.甲丙乙丁
9、['归纳推理']正确率60.0%对大于$${{1}}$$的自然数$${{2}{×}{2}}$$的三次幂可用奇数进行以下方式的$${{“}}$$裂$${{”}}$$：
$$2^{3} \left\{\begin{array} {l} {3} \\ {5} \\ \end{array} \right.， \ 3^{3} \left\{\begin{array} {l} {7} \\ {9} \\ {1 1} \\ \end{array} \right.， \ 4^{3} \left\{\begin{array} {l} {1 3} \\ {1 5} \\ {1 7} \\ {1 9} \\ \end{array} \right.， \ldots$$若$${{m}^{3}}$$的$${{“}}$$分裂数$${{”}}$$中有一个是$${{3}{4}{5}}$$，则$${{m}}$$为（）
D
A.$${{1}{6}}$$
B.$${{1}{7}}$$
C.$${{1}{8}}$$
D.$${{1}{9}}$$
1. 题目要求用数学归纳法证明不等式，分析从 $$n=k$$ 到 $$n=k+1$$ 时左边的变化情况。
当 $$n=k$$ 时，左边为 $$\frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2} + \cdots + \frac{1}{2k}$$。
当 $$n=k+1$$ 时，左边为 $$\frac{1}{k+2} + \frac{1}{k+3} + \cdots + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2}$$。
对比发现，增加了两项 $$\frac{1}{2k+1}$$ 和 $$\frac{1}{2k+2}$$，同时减少了 $$\frac{1}{k+1}$$。因此，正确答案是 B。
2. 题目给出递推数列 $$a_n = 1 - \frac{1}{a_{n-1}}$$，并给出 $$a_1 = -\frac{1}{4}$$。
计算前几项：
$$a_2 = 1 - \frac{1}{a_1} = 1 - \frac{1}{-1/4} = 5$$
$$a_3 = 1 - \frac{1}{a_2} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$$
$$a_4 = 1 - \frac{1}{a_3} = 1 - \frac{5}{4} = -\frac{1}{4}$$
发现数列周期为 3，即 $$a_{n+3} = a_n$$。
计算 $$2014 \mod 3 = 1$$，因此 $$a_{2014} = a_1 = -\frac{1}{4}$$。正确答案是 A。
5. 题目给出四个人的成绩关系：
(1) 甲 + 乙 = 丙 + 丁
(2) 乙 + 丁 > 甲 + 丙
(3) 甲 > 乙 + 丙
由 (1) 和 (2) 可得：乙 + 丁 > 甲 + 丙 ⇒ 乙 + 丁 > (甲 + 乙) ⇒ 丁 > 甲
由 (3) 甲 > 乙 + 丙，且成绩均为正数，故甲 > 乙 且 甲 > 丙。
结合 (1) 甲 + 乙 = 丙 + 丁，且丁 > 甲 > 乙, 甲 > 丙，可以推出丁为最高。正确答案是 D。
8. 题目给出四个人关于读书本数的陈述，且只有一个人说真话，且这个人是读书最少的。
假设甲说真话（乙 < 丁），则甲读书最少。验证其他人的陈述：
- 乙说“甲 > 丙”必须为假 ⇒ 甲 ≤ 丙
- 丙说“丙 > 丁”必须为假 ⇒ 丙 ≤ 丁
- 丁说“丙 > 乙”必须为假 ⇒ 丙 ≤ 乙
但甲是最少的，且甲 ≤ 丙 ≤ 乙，同时乙 < 丁，因此顺序为 甲 ≤ 丙 ≤ 乙 < 丁，符合唯一真话且甲最少。正确答案是 D。
9. 题目给出数字分裂规律：$$m^3$$ 分裂为 $$m$$ 个连续奇数，且其中一个数为 345。
观察分裂规律：
$$2^3$$ 分裂为 3, 5
$$3^3$$ 分裂为 7, 9, 11
$$4^3$$ 分裂为 13, 15, 17, 19
分裂的起始数为 $$m^2 - m + 1$$，共 $$m$$ 个连续奇数。
设 345 是 $$m^3$$ 的分裂数之一，则存在 $$k$$ 使得：
$$345 = m^2 - m + 1 + 2(k-1)$$，其中 $$1 \leq k \leq m$$
解得 $$m^2 - m + 1 \leq 345 \leq m^2 + m - 1$$
试 $$m=18$$：$$18^2 - 18 + 1 = 307$$，$$18^2 + 18 - 1 = 341$$，不包含 345。
试 $$m=19$$：$$19^2 - 19 + 1 = 343$$，$$19^2 + 19 - 1 = 379$$，分裂数为 343, 345, ..., 379，包含 345。因此正确答案是 D。