不等式性质的综合应用-不等式的拓展与综合知识点回顾进阶单选题自测题答案-浙江省等高一数学必修,平均正确率54.0%

1. 已知函数$$f(x)=\left\{\begin{array}{l} \frac{2x^{3}}{x+1}, \ x \in\left( \frac{1}{2}, 1 \right] \\ -\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}, \ x \in\left[ 0, \frac{1}{2} \right] \end{array} \right.$$，函数$$g(x)=a \sin \left( \frac{\pi}{6} x \right)-2a+2 \ (a>0)$$，若存在$$x_{1}, x_{2} \in[0,1]$$，使得$$f(x_{1})=g(x_{2})$$成立，则实数$$a$$的取值范围是（）。

解析：先求$$f(x)$$的值域。当$$x \in \left[0, \frac{1}{2}\right]$$时，$$f(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}$$为减函数，$$f(0)=\frac{1}{6}$$，$$f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=0$$，值域为$$[0, \frac{1}{6}]$$。当$$x \in \left(\frac{1}{2}, 1\right]$$时，$$f(x)=\frac{2x^{3}}{x+1}$$，求导得$$f'(x)=\frac{6x^{2}(x+1)-2x^{3}}{(x+1)^{2}}=\frac{4x^{3}+6x^{2}}{(x+1)^{2}}>0$$，为增函数，$$f\left(\frac{1}{2}^{+}\right)=\frac{2 \times \frac{1}{8}}{\frac{3}{2}}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{6}$$，$$f(1)=\frac{2}{2}=1$$，值域为$$(\frac{1}{6}, 1]$$。综上，$$f(x)$$值域为$$[0,1]$$。

再求$$g(x)$$的值域。$$g(x)=a \sin \left( \frac{\pi}{6} x \right)-2a+2$$，$$x \in [0,1]$$时，$$\frac{\pi}{6}x \in [0, \frac{\pi}{6}]$$，$$\sin \left( \frac{\pi}{6} x \right) \in [0, \frac{1}{2}]$$，故$$g(x) \in [-2a+2, -\frac{3}{2}a+2]$$。

存在$$x_{1}, x_{2}$$使$$f(x_{1})=g(x_{2})$$，即两值域有交集，故需$$[-2a+2, -\frac{3}{2}a+2] \cap [0,1] \neq \emptyset$$。由$$a>0$$，$$-2a+2<-\frac{3}{2}a+2$$，且$$-2a+2 \leq 1$$恒成立（因$$a>0$$）。交集非空要求：$$-2a+2 \leq 1$$（已满足）且$$-\frac{3}{2}a+2 \geq 0$$，即$$a \leq \frac{4}{3}$$；同时，$$-2a+2 \leq -\frac{3}{2}a+2$$恒成立。还需考虑$$g(x)$$最大值$$-\frac{3}{2}a+2 \geq 0$$（即$$a \leq \frac{4}{3}$$）且最小值$$-2a+2 \leq 1$$（即$$a \geq \frac{1}{2}$$）。故$$a \in \left[\frac{1}{2}, \frac{4}{3}\right]$$，对应选项C。

3. 对任意$$x \in \{x \mid x>1\}$$，不等式$$2x+m+\frac{2}{x-1}>0$$恒成立，则实数$$m$$的取值范围是（）。

解析：令$$t=x-1>0$$，则$$x=t+1$$，不等式化为$$2(t+1)+m+\frac{2}{t}>0$$，即$$2t+2+m+\frac{2}{t}>0$$，整理得$$m>-2t-\frac{2}{t}-2$$。需$$m$$大于右边函数的最大值。由$$t>0$$，$$-2t-\frac{2}{t}-2$$为负，求其最大值（即最小绝对值）。由均值不等式，$$2t+\frac{2}{t} \geq 2 \sqrt{2t \cdot \frac{2}{t}}=4$$，当$$2t=\frac{2}{t}$$即$$t=1$$时取等，故$$-2t-\frac{2}{t}-2 \leq -4-2=-6$$。因此$$m>-6$$，即$$m \in (-6, +\infty)$$，对应选项D。

4. 下列命题是真命题的是（）。

解析：A. 若$$ac>bc$$，则$$a>b$$；反例：$$c<0$$时不等号反向，假命题。

B. 若$$a^{2}>b^{2}$$，则$$a>b$$；反例：$$a=-3, b=2$$，$$9>4$$但$$-3<2$$，假命题。

C. 若$$a>b$$，则$$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$$；反例：$$a=1, b=-1$$，$$1>-1$$但$$\frac{1}{1}=1 > -1=\frac{1}{-1}$$，假命题。

D. 若$$c>d$$，$$a>b$$，则$$a-d>b-c$$；移项得$$a+b>c+d$$，不一定成立，反例：$$a=2,b=1,c=3,d=0$$，$$2-0=2$$，$$1-3=-2$$，$$2>-2$$成立，但$$a=1,b=0,c=2,d=-1$$，$$1-(-1)=2$$，$$0-2=-2$$，$$2>-2$$也成立，但一般性不成立，如$$a=1,b=0,c=100,d=0$$，$$1-0=1$$，$$0-100=-100$$，$$1>-100$$成立，然而$$a+b=1$$，$$c+d=100$$，$$1<100$$，故命题不恒真，假命题。

无正确选项？但D在特定条件下成立，非普遍真。检查原题可能D为$$a-d>b-c$$，即$$a+c>b+d$$，由$$a>b$$和$$c>d$$相加得$$a+c>b+d$$，真命题。故D正确。

5. 元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2枝玫瑰与1枝康乃馨所需费用大于8元，而购买4枝玫瑰与5枝康乃馨所需费用小于22元。设购买2枝玫瑰所需费用为A元，购买3枝康乃馨所需费用为B元，则A、B的大小关系是（）。

解析：设玫瑰单价为$$r$$元/枝，康乃馨单价为$$c$$元/枝。由题意：$$2r+c>8$$，$$4r+5c<22$$。A=2r，B=3c。需比较A和B即2r和3c。由$$2r+c>8$$得$$2r>8-c$$，由$$4r+5c<22$$得$$4r<22-5c$$即$$2r<11-\frac{5}{2}c$$。故$$8-c < 2r < 11-\frac{5}{2}c$$，即$$8-c < 11-\frac{5}{2}c$$，化简得$$-c < 3-\frac{5}{2}c$$，$$\frac{3}{2}c < 3$$，$$c<2$$。又$$2r>8-c>8-2=6$$，故$$A=2r>6$$，$$B=3c<6$$，所以$$A>B$$，选项A。

6. 若实数x、y满足不等式组$$\left\{\begin{matrix} x-y+2 \geqslant 0, \\ x+y-4 \geqslant 0, \\ 2x-y-2 \leqslant 0. \end{matrix} \right.$$则$$z=|3x+y|$$的最大值为（）。

解析：先解约束区域。边界线：$$L1: x-y+2=0$$，$$L2: x+y-4=0$$，$$L3: 2x-y-2=0$$。求交点：L1与L2联立解得$$x=1, y=3$$；L1与L3联立解得$$x=4, y=6$$；L2与L3联立解得$$x=2, y=2$$。区域为三角形，顶点(1,3)、(4,6)、(2,2)。计算$$z=3x+y$$在各顶点值：在(1,3)处，$$z=3+3=6$$；在(4,6)处，$$z=12+6=18$$；在(2,2)处，$$z=6+2=8$$。故$$z=3x+y$$最大值为18，最小值为6（均正），所以$$|3x+y|$$最大值为18，选项B。

7. 下列命题正确的是（）。

解析：A. 若$$a>b$$，则$$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$$；反例：a=1,b=-1，假。

B. 若$$a>b>0, c>d$$，则$$a \cdot c > b \cdot d$$；反例：a=3,b=2,c=1,d=0.5，3*1=3，2*0.5=1，3>1成立，但c,d不一定正，如c=-1,d=-2，则ac=-3，bd=-4，-3>-4成立，但若a=2,b=1,c=-1,d=-3，ac=-2，bd=-3，-2>-3成立，然而若c,d负且|d|>|c|可能不成立，但由a>b>0和c>d，无正数条件，不一定成立，假命题。

C. 若$$a>b$$，则$$a \cdot c^{2} > b \cdot c^{2}$$；c=0时不成立，假。

D. 若$$a \cdot c^{2} > b \cdot c^{2}$$，则$$a>b$$；∵c^2≥0，若c≠0则c^2>0，不等式两边除c^2得a>b；若c=0，则0>0不成立，故前提已隐含c≠0，真命题。

8. 若$$a x - \ln x + b \geq 0$$恒成立，则$$2a+b$$的最小值为（）。

解析：需$$\forall x>0$$，$$a x + b \geq \ln x$$。考虑函数$$h(x)=a x+b-\ln x$$的最小值≥0。求导：$$h'(x)=a-\frac{1}{x}$$，令为0得$$x=\frac{1}{a}$$（a>0）。最小值$$h\left(\frac{1}{a}\right)=a \cdot \frac{1}{a}+b-\ln \frac{1}{a}=1+b+\ln a \geq 0$$，即$$b \geq -1-\ln a$$。故$$2a+b \geq 2a -1-\ln a$$。令$$k(a)=2a-1-\ln a$$，求导$$k'(a)=2-\frac{1}{a}$$，令为0得$$a=\frac{1}{2}$$，二阶导正，最小值$$k\left(\frac{1}{2}\right)=1-1-\ln \frac{1}{2}=\ln 2$$。故$$2a+b$$最小值为$$\ln 2$$，选项D。

9. 实数x、y满足$$x>0$$，$$y>0$$，则下列不等式成立的是（）。

解析：A. $$x+y>2\sqrt{xy}$$；当x≠y时成立，但x=y时取等，不严格成立，故不一定。

B. $$\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} \geq \sqrt{xy}$$；左边为调和平均$$\frac{2xy}{x+y}$$，右边为几何平均，由均值不等式$$\frac{2xy}{x+y} \leq \sqrt{xy}$$（因为$$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$$），故反向，不成立。

C. $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \leq \frac{4}{x+y}$$；即$$\frac{x+y}{xy} \leq \frac{4}{x+y}$$，$$(x+y)^2 \leq 4xy$$，$$x^2+2xy+y^2 \leq 4xy$$，$$x^2-2xy+y^2 \leq 0$$，$$(x-y)^2 \leq 0$$，仅x=y时取等，不恒成立。

D. $$\sqrt{|x-y|} \geq \sqrt{x}-\sqrt{y}$$；假设x≥y，则$$\sqrt{x-y} \geq \sqrt{x}-\sqrt{y}$$，平方得$$x-y \geq x+y-2\sqrt{xy}$$，即$$-y \geq y-2\sqrt{xy}$$，$$2\sqrt{xy} \geq 2y$$，$$\sqrt{x} \geq \sqrt{y}$$，成立。同理x

10. 下列结论正确的是（）。

解析：A. 若$$a>b>0, a>c$$，则$$a^{2}>bc$$；反例：a=3,b=2,c=4，9>8成立，但c可大于a，如a=3,b=2,c=5，9<10，不成立。

B. 若$$a>b>c$$，则$$\frac{a}{c}>\frac{b}{c}$$；若c<0则反向，假。

C. 若$$a>b, n \in \mathbb{N}^{*}$$，则$$a^{n}>b^{n}$$；需a,b>0，否则反例，假。

D. $$a>b>0$$，则$$\ln a < \ln b$$；由对数函数增，应$$\ln a > \ln b$$，假。

无正确？但A在附加条件下或成立，但一般否。可能题目有误，或需其他分析。