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正确率40.0%设$$m， ~ n， ~ t$$是互不相等的正数，则$$m+\frac{4} {n}， ~ n+\frac{4} {t}， ~ t+\frac{4} {m}$$三个数（）
C
A.都不等于$${{4}}$$
B.至少有一个小于$${{4}}$$
C.至少有一个大于$${{4}}$$
D.至多有一个不大于$${{4}}$$
2、['反证法']正确率60.0%用反证法证明命题$${{“}}$$自然数$$a， ~ b， ~ c$$中至多有一个偶数$${{”}}$$时，需假设原命题不成立，下列假设正确的是（）
D
A.$$a， ~ b， ~ c$$都是奇数
B.$$a， ~ b， ~ c$$都是偶数
C.$$a， ~ b， ~ c$$都是奇数或至少有两个偶数
D.$$a， ~ b， ~ c$$至少有两个偶数
3、['反证法']正确率60.0%用反证法证明命题$${{“}}$$若实数$${{a}{，}{b}}$$满足$$a+b=1$$，则$${{a}{，}{b}}$$中至少有一个不小于$$\frac{1} {2}.，$$的第一步假设为（）
A
A.$$a < \frac{1} {2}$$且$$b < \frac{1} {2}$$
B.$$a < \frac{1} {2}$$或$$b < \frac{1} {2}$$
C.$$a > \frac{1} {2}$$且$$b > \frac{1} {2}$$
D.$$a > \frac{1} {2}$$或$$b > \frac{1} {2}$$
4、['反证法']正确率60.0%设$$a， ~ b， ~ c$$大于$${{0}}$$，则$${{3}}$$个数$$\frac{a} {b}， ~ \frac{b} {c}， ~ \frac{c} {a}$$的值（）
C
A.至多有一个不大于$${{1}}$$
B.都大于$${{1}}$$
C.至少有一个不大于$${{1}}$$
D.都小于$${{1}}$$
5、['反证法']正确率60.0%用反证法证明$${{“}}$$三角形的三个内角中至少有一个不大于$${{6}{0}^{∘}{”}}$$时的假设为$${{(}{ }{ }{)}}$$
A
A.三个内角都大于$${{6}{0}^{∘}}$$
B.三个内角中至少有两个不大于$${{6}{0}^{∘}}$$
C.三个内角都不大于$${{6}{0}^{∘}}$$
D.三个内角中至多有一个不大于$${{6}{0}^{∘}}$$
6、['反证法']正确率40.0%用反证法证明$${{“}}$$平面四边形中至少有一个内角不超过$${{9}{0}{^{∘}}{”}}$$，下列假设中正确的是（）
D
A.假设有两个内角超过$${{9}{0}{^{∘}}}$$
B.假设有三个内角超过$${{9}{0}{^{∘}}}$$
C.假设至多有两个内角超过$${{9}{0}{^{∘}}}$$
D.假设四个内角均超过$${{9}{0}{^{∘}}}$$
7、['反证法']正确率40.0%用反证法证明命题：$${{“}}$$已知$$\mathbf{x}， \mathbf{y} \in\mathbf{N}^{*}$$，若$$\mathbf{x+y \geqslant3}$$，则$${{x}{，}{y}}$$中至少有一个不小于$${{2}{”}}$$时，假设正确的是$${{(}{)}}$$
C
A.$${{x}{，}{y}}$$都不小于$${{2}}$$
B.$${{x}{，}{y}}$$都大于$${{2}}$$
C.$${{x}{，}{y}}$$都小于$${{2}}$$
D.$${{x}{，}{y}}$$都不大于$${{2}}$$
9、['反证法'， '充分、必要条件的判定']正确率60.0%设$$a， b \in R$$，现给出下列五个条件：
$$\odot a+b=2 ; \oplus a+b > 2 ; \odot a+b >-2 ; \oplus a b > 1 ; \oplus\operatorname{l o g}_{a} b < 0$$，
其中能推出：$${{“}{a}{，}{b}}$$中至少有一个大于$${{1}{”}}$$的条件为$${{(}{)}}$$
D
A.$${②{③}{④}}$$
B.$${②{③}{④}{⑤}}$$
C.$${①{②}{③}{⑤}}$$
D.$${②{⑤}}$$
10、['反证法'， '归纳推理']正确率60.0%在一项田径比赛中，甲$${、}$$乙$${、}$$丙三人的夺冠呼声最高．观众$$A. ~ B. ~ C$$做了一项预测：
$${{A}}$$说：$${{“}}$$我认为冠军不会是甲，也不会是乙$${{”}}$$．
$${{B}}$$说：$${{“}}$$我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙$${{”}}$$．
$${{C}}$$说：$${{“}}$$我认为冠军不会是丙，而是甲$${{”}}$$．
比赛结果出来后，发现$$A. ~ B. ~ C$$三人中有一人的两个判断都对，一人的两个判断都错，还有一人的两个判断一对一错，根据以上情况可判断冠军是（）
A
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
第一题：设$$m, n, t$$是互不相等的正数，则$$m+\frac{4}{n}, n+\frac{4}{t}, t+\frac{4}{m}$$三个数（ ）。
分析：假设三个数都小于等于4，即$$m+\frac{4}{n} \leq 4, n+\frac{4}{t} \leq 4, t+\frac{4}{m} \leq 4$$
整理得：$$m \leq 4-\frac{4}{n}, n \leq 4-\frac{4}{t}, t \leq 4-\frac{4}{m}$$
相乘得：$$mnt \leq (4-\frac{4}{n})(4-\frac{4}{t})(4-\frac{4}{m})$$
展开右边：$$(4-\frac{4}{n})(4-\frac{4}{t})(4-\frac{4}{m}) = \frac{4(n-1)}{n} \times \frac{4(t-1)}{t} \times \frac{4(m-1)}{m} = \frac{64(m-1)(n-1)(t-1)}{mnt}$$
代入得：$$mnt \leq \frac{64(m-1)(n-1)(t-1)}{mnt}$$
整理：$$(mnt)^2 \leq 64(m-1)(n-1)(t-1)$$
由均值不等式：$$m = (m-1)+1 \geq 2\sqrt{m-1}$$，等号成立当$$m-1=1$$即$$m=2$$
同理：$$n \geq 2\sqrt{n-1}, t \geq 2\sqrt{t-1}$$
相乘：$$mnt \geq 8\sqrt{(m-1)(n-1)(t-1)}$$
平方：$$(mnt)^2 \geq 64(m-1)(n-1)(t-1)$$
等号成立当$$m=n=t=2$$，但$$m,n,t$$互不相等，故等号不成立
因此假设不成立，即至少有一个大于4
答案：C
第二题：用反证法证明命题"自然数$$a, b, c$$中至多有一个偶数"时，需假设原命题不成立，下列假设正确的是（ ）。
分析："至多有一个偶数"的否定是"至少有两个偶数"
选项分析：
A. 都是奇数 → 这是"没有偶数"的情况，不是否定
B. 都是偶数 → 这是"三个偶数"的情况，包含在"至少两个偶数"中
C. 都是奇数或至少有两个偶数 → 包含了"没有偶数"的情况，不是准确的否定
D. 至少有两个偶数 → 这是准确的否定
答案：D
第三题：用反证法证明命题"若实数$$a,b$$满足$$a+b=1$$，则$$a,b$$中至少有一个不小于$$\frac{1}{2}$$"的第一步假设为（ ）。
分析："至少有一个不小于$$\frac{1}{2}$$"的否定是"两个都小于$$\frac{1}{2}$$"
即$$a < \frac{1}{2}$$且$$b < \frac{1}{2}$$
答案：A
第四题：设$$a, b, c$$大于0，则3个数$$\frac{a}{b}, \frac{b}{c}, \frac{c}{a}$$的值（ ）。
分析：三个数的乘积：$$\frac{a}{b} \times \frac{b}{c} \times \frac{c}{a} = 1$$
如果三个数都大于1，则乘积大于1，矛盾
如果三个数都小于1，则乘积小于1，矛盾
因此至少有一个不大于1
答案：C
第五题：用反证法证明"三角形的三个内角中至少有一个不大于60°"时的假设为（ ）。
分析："至少有一个不大于60°"的否定是"三个都大于60°"
答案：A
第六题：用反证法证明"平面四边形中至少有一个内角不超过90°"，下列假设中正确的是（ ）。
分析："至少有一个内角不超过90°"的否定是"所有内角都超过90°"
即四个内角均超过90°
答案：D
第七题：用反证法证明命题："已知$$x,y \in N^{*}$$，若$$x+y \geq 3$$，则$$x,y$$中至少有一个不小于2"时，假设正确的是（ ）。
分析："至少有一个不小于2"的否定是"两个都小于2"
由于$$x,y$$是正整数，小于2就是等于1
即$$x < 2$$且$$y < 2$$，即$$x=1$$且$$y=1$$
答案：C
第九题：设$$a,b \in R$$，给出的五个条件中能推出"$$a,b$$中至少有一个大于1"的条件为（ ）。
分析各条件：
① $$a+b=2$$ → 不能推出，如$$a=0,b=2$$或$$a=1,b=1$$
② $$a+b > 2$$ → 能推出，如果都小于等于1，则$$a+b \leq 2$$，矛盾
③ $$a+b > -2$$ → 不能推出，如$$a=-10,b=-10$$
④ $$ab > 1$$ → 能推出，如果都小于等于1，则$$ab \leq 1$$，矛盾
⑤ $$\log_a b < 0$$ → 能推出，由对数性质知$$a,b$$一个大于1一个在0到1之间
因此②④⑤能推出
答案：D
第十题：田径比赛预测问题
A说：冠军不会是甲，也不会是乙 → 冠军是丙
B说：冠军不会是甲，冠军会是丙 → 冠军是丙
C说：冠军不会是丙，而是甲 → 冠军是甲
分析：如果冠军是甲，则：
A：两个判断都错（冠军是甲）
B：一对一错（不是甲对，是丙错）
C：两个判断都对（不是丙对，是甲对）
符合条件：一人全对，一人全错，一人一对一错
如果冠军是乙，则：
A：两个判断都错（冠军是乙）
B：一对一错（不是甲对，是丙错）
C：两个判断都错（不是丙错，是甲错）
不符合条件（两人全错）
如果冠军是丙，则：
A：两个判断都对（不是甲对，不是乙对）
B：两个判断都对（不是甲对，是丙对）
C：两个判断都错（不是丙错，是甲错）
不符合条件（两人全对）
答案：A