数学归纳法的应用-不等式的拓展与综合知识点教师选题进阶单选题自测题答案-陕西省等高一数学必修,平均正确率50.0%

1、['数学归纳法的应用'， '*数学归纳法'， '数列与不等式的综合问题']

正确率40.0%使$${{a}^{n}{>}{{n}^{2}}}$$对于任意正整数$${{n}}$$恒成立的最小正整数$${{a}}$$的值为（）

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{5}}$$

2、['数列的递推公式'， '数学归纳法的应用'， '数列与不等式的综合问题']

正确率19.999999999999996%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的首项$$a_{1}=-\frac{2} {3}$$，前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$．已知$$S_{n}+\frac{1} {S_{n}}+2=a_{n} ( n \geqslant2 )$$，则使$${{S}_{n}{⩾}{m}}$$恒成立的最大实数$${{m}{=}{（}}$$）

A.$${{−}{1}}$$

B.$$- \frac{8} {9}$$

C.$$- \frac{9} {8}$$

D.$$- \frac{7} {9}$$

3、['数学归纳法的应用']

正确率60.0%已知$$f ( n )=\frac{1} {1+n}+\frac{1} {2+n}+\cdots+\frac{1} {n+n}$$.用数学归纳法证明：对于任意的$$n \in N *， ~ f ( n ) < \frac{1 3} {1 4}$$，由$${{n}{=}{k}}$$的归纳假设证明$$n=k+1$$时，若$$f ( k+1 )=f ( k )+g ( k )$$，则$$g ( k )=\alpha$$）

A.$$\frac1 {2 k+2}$$

B.$$\frac{1} {2 k+1}+\frac{1} {2 k+2}$$

C.$$\frac1 {2 k+2}-\frac1 {k+1}$$

D.$$\frac1 {2 k+1}-\frac1 {2 k+2}$$

4、['数学归纳法的应用']

正确率60.0%用数学归纳法证明：$$1+\frac{1} {2^{2}}+\frac{1} {3^{2}}+\ldots+\frac{1} {\left( 2^{n}-1 \right)^{2}} < 2-\frac{1} {2^{n}-1} ( n \geqslant2 ) \left( n \in N^{*} \right)$$时第一步需要证明（）

A.$$1 < 2-\frac{1} {2-1}$$

B.$$1+\frac{1} {2^{2}} < 2-\frac{1} {2^{2}-1}$$

C.$$1+\frac{1} {2^{2}}+\frac{1} {3^{2}} < 2-\frac{1} {2^{2}-1}$$

D.$$1+\frac{1} {2^{2}}+\frac{1} {3^{2}}+\frac{1} {4^{2}} < 2-\frac{1} {2^{2}-1}$$

5、['数学归纳法的应用']

正确率60.0%

$$1-\frac{1} {2}+\frac{1} {3}-\frac{1} {4}+\cdots\frac{1} {2 n-1}-\frac{1} {2 n}=\frac{1} {n+1}+\frac{1} {n+2}+\cdots+\frac{1} {2 n} ( n \in\bf{N}^{*} )^{n}$$ ，在用数学归纳法证明上述恒等式的过程中，由 $$n=k \left( k \in\mathbf{N}^{*}， k \geqslant1 \right)$$ 推导到 $$n=k+1$$ 时，等式的右边增加的式子是（）

A.$$\frac{1} {2 \， ( k+1 )}$$

B.$$\frac{1} {2 k+1}+\frac{1} {2 k+2}$$

C.$$\frac{1} {2 \left( k+1 \right)}-\frac{1} {k+1}$$

D.$$\frac{1} {2 k+1}+\frac{1} {2 \， ( k+1 )}-\frac{1} {k+1}$$

6、['数学归纳法的应用']

正确率60.0%svg异常

A.svg异常

B.svg异常

C.svg异常

D.svg异常

7、['数学归纳法的应用']

正确率60.0%在利用数学归纳法证明不等式$$\frac1 {n+1}+\frac1 {n+2}+\cdots+\frac1 {3 n} > \frac5 6 ( n \geqslant2$$且$$n \in N * )$$时，第一步即证下面哪个不等式成立（）

A.$$\frac1 3+\frac1 4+\frac1 5+\frac1 6 > \frac5 6$$

B.$$\frac{1} {3}+\frac{1} {4} > \frac{5} {6}$$

C.$$\frac{1} {3}+\frac{1} {4}+\frac{1} {5} > \frac{5} {6}$$

D.$$\frac{1} {3}+\frac{1} {4}+\frac{1} {6} > \frac{5} {6}$$

8、['数学归纳法的应用'， '函数的新定义问题']

正确率60.0%用数学归纳法证明$$f ( n )=\frac{1} {n+1}+\frac{1} {n+2}+\dots\frac{1} {3 n+1} > \frac{2 5} {2 4} ~ ( n \in N_{+} )$$过程中，设计$$n=k ~ ( \ k \in N_{+} )$$时，不等式$$f ( k ) > \frac{2 5} {2 4}$$成立，则需证当$$n=k+1$$时，$$f ( k+1 ) > \frac{2 5} {2 4}$$也成立，则$$f \left( \star k+1 \right) ~-f \left( \star k \right) ~=~ ($$）

A.$$\frac{1} {3 k+4}$$

B.$$\frac{1} {3 k+4}-\frac{1} {k+1}$$

C.$$\frac{1} {3 k+2}+\frac{1} {3 k+4}-\frac{2} {3 k+3}$$

D.$$\frac{1} {3 k+2}+\frac{1} {3 k+3}+\frac{1} {3 k+4}$$

9、['数学归纳法的应用']

正确率40.0%用数学归纳法证明不等式$$\frac1 {n+1}+\frac1 {n+2}+\ldots+\frac1 {n+n} > \frac{1 3} {2 4}$$的过程中，由$${{n}{=}{k}}$$到$$n=k+1$$时，不等式左边的变化情况为$${{(}{)}}$$

A.增加了一项$$\frac{1} {2 ( {\bf k}+1 )}$$

B.增加了两项$$\frac{1} {2 k+1}+\frac{1} {2 ( k+1 )}$$

C.增加了一项$$\frac{1} {2 ( {\bf k}+{\bf1} )}，$$又减少了一项$$\frac{1} {{\bf k}+1}$$

D.增加了两项$$\frac{\mathbf{1}} {\mathbf{2 k+1}}+\frac{\mathbf{1}} {\mathbf{2 ( k+1 )}}，$$又减少了一项$$\frac{1} {{\bf k}+1}$$

10、['数学归纳法的应用']

正确率40.0%利用数学归纳法证明不等式$$1+\frac{1} {2}+\frac{1} {3}+\cdots+\frac{1} {2^{n}-1} {<} f ( n )， ( n > 2， n \in N^{+} )$$的过程中，由$${{n}{=}{k}}$$变成$$n=k+1$$时，左边增加了$${{(}{)}}$$

A.$${{1}}$$项

B.$${{k}}$$项

C.$$2^{k-1}$$项

D.$${{2}^{k}}$$项

1. 题目要求找到最小的正整数 $$a$$ 使得 $$a^n > n^2$$ 对所有正整数 $$n$$ 成立。我们逐一验证选项：

- 对于 $$a = 2$$，当 $$n = 3$$ 时，$$2^3 = 8$$ 而 $$3^2 = 9$$，不满足 $$8 > 9$$，排除 A。 - 对于 $$a = 3$$，验证 $$n = 1$$ 到 $$n = 4$$： - $$3^1 = 3 > 1^2 = 1$$ - $$3^2 = 9 > 2^2 = 4$$ - $$3^3 = 27 > 3^2 = 9$$ - $$3^4 = 81 > 4^2 = 16$$ 且对于更大的 $$n$$，$$3^n$$ 增长远快于 $$n^2$$，因此 $$a = 3$$ 满足条件。 - 更高的 $$a$$ 值（如 4 或 5）也满足，但不是最小。

答案：$$B$$

2. 给定数列递推关系 $$S_n + \frac{1}{S_n} + 2 = a_n$$（$$n \geq 2$$），且首项 $$a_1 = -\frac{2}{3}$$。通过递推计算：

- $$S_1 = a_1 = -\frac{2}{3}$$。 - 对于 $$n = 2$$，$$S_2 + \frac{1}{S_2} + 2 = a_2 = S_2 - S_1$$，解得 $$S_2 = -\frac{3}{4}$$。 - 对于 $$n = 3$$，类似解得 $$S_3 = -\frac{4}{5}$$。 - 观察规律，猜想 $$S_n = -\frac{n+1}{n+2}$$，验证成立。 - 要求 $$S_n \geq m$$ 恒成立，即 $$-\frac{n+1}{n+2} \geq m$$ 对所有 $$n$$ 成立。当 $$n \to \infty$$，$$S_n \to -1$$，因此 $$m \leq -1$$，最大 $$m$$ 为 $$-1$$。

答案：$$A$$

3. 题目给出 $$f(k+1) = f(k) + g(k)$$，需确定 $$g(k)$$ 的表达式。观察 $$f(n)$$ 的定义：

- $$f(k) = \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2} + \cdots + \frac{1}{2k}$$。 - $$f(k+1) = \frac{1}{k+2} + \frac{1}{k+3} + \cdots + \frac{1}{2k+2}$$。 - 两者相减得 $$g(k) = \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} - \frac{1}{k+1}$$。

答案：$$D$$

4. 数学归纳法证明不等式 $$1 + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{(2^n - 1)^2} < 2 - \frac{1}{2^n - 1}$$ 的第一步是验证 $$n = 2$$：

- 当 $$n = 2$$ 时，左边为 $$1 + \frac{1}{4}$$，右边为 $$2 - \frac{1}{3}$$，即 $$1.25 < 1.\overline{6}$$，成立。

答案：$$B$$

5. 在数学归纳法中，等式右边从 $$n = k$$ 到 $$n = k + 1$$ 的变化为：

- $$n = k$$ 时右边为 $$\frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2} + \cdots + \frac{1}{2k}$$。 - $$n = k + 1$$ 时右边为 $$\frac{1}{k+2} + \frac{1}{k+3} + \cdots + \frac{1}{2k+2}$$。 - 增加的项为 $$\frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} - \frac{1}{k+1}$$。

答案：$$D$$

7. 数学归纳法证明不等式 $$\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{3n} > \frac{5}{6}$$ 的第一步是验证 $$n = 2$$：

- 左边为 $$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}$$，计算得 $$\approx 1.033 > \frac{5}{6} \approx 0.833$$。

答案：$$A$$

8. 数学归纳法中，$$f(k+1) - f(k)$$ 的表达式为：

- $$f(k) = \frac{1}{k+1} + \cdots + \frac{1}{3k+1}$$。 - $$f(k+1) = \frac{1}{k+2} + \cdots + \frac{1}{3k+4}$$。 - 相减得 $$\frac{1}{3k+2} + \frac{1}{3k+3} + \frac{1}{3k+4} - \frac{1}{k+1}$$。

答案：$$D$$

9. 数学归纳法中，不等式左边从 $$n = k$$ 到 $$n = k + 1$$ 的变化为：

- 增加两项 $$\frac{1}{2k+1}$$ 和 $$\frac{1}{2k+2}$$，同时减少一项 $$\frac{1}{k+1}$$。

答案：$$D$$

10. 数学归纳法中，左边从 $$n = k$$ 到 $$n = k + 1$$ 增加的项数为：

- $$n = k$$ 时项数为 $$2^k - 1$$。 - $$n = k + 1$$ 时项数为 $$2^{k+1} - 1$$。 - 增加了 $$2^{k+1} - 1 - (2^k - 1) = 2^k$$ 项。

答案：$$D$$

_{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}