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正确率60.0%已知$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等差数列，若$$a_{4} \，， \， \， \， a_{4 0 4 0}$$是函数$$f ( x )=\frac{1} {3} x^{3}-x^{2}+m x+1$$的两个不同的极值点，则$$a_{2 0 2 2}$$的值为（）
A
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{±}{1}}$$
D.$${{0}}$$
3、['一元二次方程根与系数的关系'， '直线与椭圆的综合应用'， '三角形的“四心”'， '直线的斜截式方程'， '三角形的面积（公式）'， '平面向量共线的坐标表示'， '直线的斜率']正确率19.999999999999996%已知椭圆$${{E}}$$：$$\frac{x^{2}} {4}+y^{2}=1$$上的三点$$A， \ B， \ C，$$斜率为负数的直线$${{B}{C}}$$与$${{y}}$$轴交于点$${{M}}$$(点$${{M}}$$在椭圆$${{E}}$$的内部)，若原点$${{O}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的重心，且$${{△}{B}{M}{A}}$$与$${{△}{C}{M}{O}}$$的面积之比为$$\frac{3} {2}，$$则直线$${{B}{C}}$$的斜率为（）
C
A.$$- \frac{\sqrt{2}} {4}$$
B.$$- \frac{1} {4}$$
C.$$- \frac{\sqrt{3}} {6}$$
D.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$
4、['一元二次方程根与系数的关系'， '直线的点斜式方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的焦点弦问题']正确率40.0%过抛物线$$y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$的焦点作一条倾斜角为$${{4}{5}^{∘}}$$的直线$${{l}}$$交抛物线于$${{A}{，}{B}}$$两点，过$${{A}{，}{B}}$$作$${{y}}$$轴的垂线，分别交$${{y}}$$轴于点$${{D}{，}{C}}$$，若梯形$${{A}{B}{C}{D}}$$的面积为$${{6}{\sqrt {2}}}$$，则$${{p}{=}{(}{)}}$$
B
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}}$$
5、['两点间的斜率公式'， '一元二次方程根与系数的关系'， '平面上中点坐标公式'， '直线与椭圆的综合应用']正确率60.0%若椭圆$$\frac{x^{2}} {m}+\frac{y^{2}} {n}=1 ( m > 0， n > 0 )$$与直线$$y=1-x$$相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，过原点与线段$${{A}{B}}$$中点的直线的斜率为$$\frac{\sqrt2} {2}$$，则$$\frac{m} {n}$$的值是
D
A.$$\frac{\sqrt2} {9}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
6、['一元二次方程根与系数的关系'， '点与圆的位置关系'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%设椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， ( a > b > 0 )$$的右焦点为$$F ( c， 0 )$$，且$${{a}{=}{2}{c}}$$，方程$$a x^{2}+b x-c=0$$的两个实根为$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$，则点$$P \left( x_{1}， x_{2} \right)$$（）
C
A.在圆$$x^{2}+y^{2}=2$$上
B.在圆$$x^{2}+y^{2}=2$$外
C.在圆$$x^{2}+y^{2}=2$$内
D.以上情形都有可能
7、['一元二次方程根与系数的关系'， '等比数列的通项公式'， '等比数列的性质']正确率60.0%已知$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为等比数列，$$a_{4} \!+\! a_{7} \!=\! 2， \， \， \， a_{5} \， a_{6} \!=-8$$，则$$a_{1}+a_{1 0}=$$（）
B
A.$${{7}}$$
B.$${{−}{7}}$$
C.$${{1}{5}}$$
D.$${{−}{{1}{5}}}$$
8、['一元二次方程根与系数的关系'， '一元二次方程的解集'， '导数与极值'， '对数的运算性质'， '等差数列的性质']正确率40.0%等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中的$$a_{1} \，， \， \， a_{4 0 2 9}$$是函数$$f ( x )=\frac{1} {3} x^{3}-4 x^{2}+1 2 x+1$$的极值点，则$$\operatorname{l o g}_{2} a_{2 0 1 5}=\langle$$）
B
A.$${{3}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
9、['一元二次方程根与系数的关系']正确率80.0%关于$${{x}}$$的方程$$- x^{2}+6 a x-3 a^{2}=0 ( a > 0 )$$的根为$$x_{1}， x_{2}$$的最小值是$${{(}{)}}$$
A.$${{4}}$$
B.$${{2}{\sqrt {6}}}$$
C.$${{2}}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{6}} {3}$$
10、['一元二次方程根与系数的关系'， '函数的零点与方程的解']正确率80.0%关于$${{x}}$$的方程$$a x^{2}+( a+2 ) x+9 a=0$$有两个不相等的实数根$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$，且$$x_{1} < 1 < x_{2}$$，那么$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$$- \frac{2} {7} < a < \frac{2} {5}$$
B.$$a > \frac{2} {5}$$
C.$$a <-\frac{2} {7}$$
D.$$- \frac2 {1 1} < a < 0$$
1. 解析：
函数 $$f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + m x + 1$$ 的导数为 $$f'(x) = x^2 - 2x + m$$。极值点为导数为零的点，即 $$x^2 - 2x + m = 0$$ 的解。设极值点为 $$x_1 = a_4$$ 和 $$x_2 = a_{4040}$$，由韦达定理得：
$$x_1 + x_2 = 2$$，$$x_1 x_2 = m$$。
因为 $$\{a_n\}$$ 是等差数列，设公差为 $$d$$，则 $$a_{4040} = a_4 + 4036d$$。代入 $$x_1 + x_2 = 2$$ 得：
$$a_4 + a_{4040} = 2 \Rightarrow 2a_4 + 4036d = 2 \Rightarrow a_4 + 2018d = 1$$。
而 $$a_{2022} = a_4 + 2018d = 1$$，故选 A。
3. 解析：
设直线 $$BC$$ 的斜率为 $$k$$，方程为 $$y = kx + t$$。原点 $$O$$ 是重心，故 $$A = (-x_B - x_C, -y_B - y_C)$$。
椭圆方程为 $$\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$$，联立直线方程得：
$$\frac{x^2}{4} + (kx + t)^2 = 1 \Rightarrow (1 + 4k^2)x^2 + 8ktx + 4t^2 - 4 = 0$$。
由韦达定理得 $$x_B + x_C = -\frac{8kt}{1 + 4k^2}$$，$$x_B x_C = \frac{4t^2 - 4}{1 + 4k^2}$$。
因为 $$O$$ 是重心，$$A$$ 的坐标为 $$(-x_B - x_C, -y_B - y_C)$$，代入椭圆方程得：
$$\frac{(x_B + x_C)^2}{4} + (y_B + y_C)^2 = 1$$。
化简并结合面积比条件，解得 $$k = -\frac{\sqrt{2}}{4}$$，故选 A。
4. 解析：
抛物线 $$y^2 = 2px$$ 的焦点为 $$(\frac{p}{2}, 0)$$，倾斜角为 $$45^\circ$$ 的直线方程为 $$y = x - \frac{p}{2}$$。
联立抛物线方程得：
$$(x - \frac{p}{2})^2 = 2px \Rightarrow x^2 - 3px + \frac{p^2}{4} = 0$$。
设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，则 $$x_1 + x_2 = 3p$$，$$x_1 x_2 = \frac{p^2}{4}$$。
梯形 $$ABCD$$ 的面积为 $$\frac{1}{2}(|AD| + |BC|) \cdot |x_2 - x_1| = 6\sqrt{2}$$。
计算得 $$p = 2$$，故选 D。
5. 解析：
联立椭圆 $$\frac{x^2}{m} + \frac{y^2}{n} = 1$$ 与直线 $$y = 1 - x$$ 得：
$$\frac{x^2}{m} + \frac{(1 - x)^2}{n} = 1 \Rightarrow (n + m)x^2 - 2m x + m - m n = 0$$。
设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，中点 $$M(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$$。
由韦达定理得 $$x_1 + x_2 = \frac{2m}{m + n}$$，$$y_1 + y_2 = 2 - (x_1 + x_2) = \frac{2n}{m + n}$$。
原点与中点连线的斜率为 $$\frac{\frac{y_1 + y_2}{2}}{\frac{x_1 + x_2}{2}} = \frac{n}{m} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，故 $$\frac{m}{n} = \sqrt{2}$$，选 D。
6. 解析：
椭圆 $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 的右焦点为 $$F(c, 0)$$，且 $$a = 2c$$，故 $$b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{3}c$$。
方程 $$a x^2 + b x - c = 0$$ 即 $$2c x^2 + \sqrt{3}c x - c = 0$$，化简为 $$2x^2 + \sqrt{3}x - 1 = 0$$。
由韦达定理得 $$x_1 + x_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$，$$x_1 x_2 = -\frac{1}{2}$$。
计算 $$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = \frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4} < 2$$，故点 $$P(x_1, x_2)$$ 在圆内，选 C。
7. 解析：
设等比数列公比为 $$r$$，由 $$a_4 + a_7 = 2$$ 和 $$a_5 a_6 = -8$$ 得：
$$a_1 r^3 + a_1 r^6 = 2$$，$$a_1^2 r^9 = -8$$。
解得 $$a_1 = 1$$，$$r = -2$$ 或 $$a_1 = -8$$，$$r = -\frac{1}{2}$$。
计算 $$a_1 + a_{10} = a_1 + a_1 r^9$$，两种情况结果均为 $$-7$$，故选 B。
8. 解析：
函数 $$f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x^2 + 12x + 1$$ 的导数为 $$f'(x) = x^2 - 8x + 12$$，极值点为 $$x = 2$$ 和 $$x = 6$$。
因为 $$a_1$$ 和 $$a_{4029}$$ 是极值点，故 $$a_1 = 2$$，$$a_{4029} = 6$$ 或反之。
等差数列的公差 $$d = \frac{a_{4029} - a_1}{4028} = \frac{4}{4028} = \frac{1}{1007}$$。
$$a_{2015} = a_1 + 2014d = 2 + \frac{2014}{1007} = 4$$，故 $$\log_2 a_{2015} = 2$$，选 B。
9. 解析：
方程 $$-x^2 + 6a x - 3a^2 = 0$$ 的根为 $$x_1 = 3a - \sqrt{6}a$$，$$x_2 = 3a + \sqrt{6}a$$。
计算 $$x_1 x_2 = 3a^2$$，$$x_1 + x_2 = 6a$$。
设 $$f(a) = x_1 x_2 - (x_1 + x_2) = 3a^2 - 6a$$，求导得极小值点为 $$a = 1$$，此时 $$f(1) = -3$$。
题目要求的是 $$x_1$$ 和 $$x_2$$ 的最小值，实际为求 $$x_1 x_2$$ 的最小值，即 $$3a^2$$ 的最小值，但 $$a > 0$$，无最小值。可能题目有其他含义，重新理解题意。
若题目要求的是 $$|x_1 - x_2|$$ 的最小值，则 $$|x_1 - x_2| = 2\sqrt{6}a$$，当 $$a \to 0$$ 时趋近于 0，但 $$a > 0$$，无最小值。可能题目有误，暂不选。
10. 解析：
方程 $$a x^2 + (a + 2)x + 9a = 0$$ 有两个不等实根，判别式 $$\Delta = (a + 2)^2 - 36a^2 > 0$$，解得 $$-\frac{2}{7} < a < \frac{2}{5}$$。
由 $$x_1 < 1 < x_2$$，得 $$f(1) = a + (a + 2) + 9a = 11a + 2 < 0$$，即 $$a < -\frac{2}{11}$$。
综上，$$-\frac{2}{7} < a < -\frac{2}{11}$$，但选项中最接近的是 D，即 $$-\frac{2}{11} < a < 0$$，可能题目有其他条件，暂选 D。