一元二次方程根与系数的关系-2.1 等式性质与不等式性质知识点课后进阶单选题自测题解析-广西壮族自治区等高一数学必修,平均正确率52.0%

1、['一元二次方程根与系数的关系'， '向量的模'， '平面向量加法、减法的坐标运算'， '直线与椭圆的综合应用']

正确率40.0%椭圆$$\frac{x^{2}} {4}+y^{2}=1$$上存在两点$${{A}{，}{B}}$$关于直线$$4 x-2 y-3=0$$对称，若$${{O}}$$为坐标原点，则$$| \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B} |=$$（）

A.$${{1}}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$${\sqrt {5}}$$

D.$${\sqrt {7}}$$

2、['两点间的斜率公式'， '一元二次方程根与系数的关系'， '平面向量数乘的坐标运算'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程'， '直线与抛物线的综合应用']

正确率19.999999999999996%已知抛物线$$E_{\colon} ~ y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$，直线$${{l}}$$过$${{E}}$$的焦点，交$${{E}}$$于$${{A}{，}{B}}$$两点，且$${{A}}$$在$${{x}}$$轴上方，$${{M}}$$是$${{E}}$$的准线上一点，$${{A}{M}}$$平行于$${{x}}$$轴，$${{O}}$$为坐标原点，若$$\frac{| O M |} {| O B |}=4，$$则$${{l}}$$的斜率为（）

A.$$- \frac{4} {3}$$

B.$$- \frac{3} {4}$$

C.$$\frac{3} {4}$$

D.$$\frac{4} {3}$$

3、['一元二次方程根与系数的关系'， '直线的点斜式方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的定义']

正确率40.0%已知抛物线$$y^{2}=4 x$$，过焦点$${{F}}$$作直线与抛物线交于点$${{A}{，}{B}}$$，设$$| A F |=m， | B F |=n$$，则$${{m}{+}{n}}$$的最小值为（）

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${\sqrt {3}}$$

D.$${{4}}$$

4、['一元二次方程根与系数的关系'， '等比数列的性质']

正确率60.0%在各项均为正值的等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，已知$$a_{5}， a_{1 3}$$，分别是方程$$2 x^{2}-m x+2 e^{4}=0$$的两根，则$$a_{7} \， a_{9} \， a_{1 1}$$的值为（）

A.$${{e}^{6}}$$

B.$${\sqrt {{e}^{5}}}$$

C.$${{e}^{7}}$$

D.$${{e}^{5}}$$

5、['一元二次方程根与系数的关系'， '等差数列的性质']

正确率40.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足：公差$$d > 0， \， \， a_{3} a_{1 8}=-2 5$$，则$${{S}_{3}}$$的取值范围是

A.$$(-\infty，-8 ]$$

B.$$[-8， 0 )$$

C.$$(-\infty，-6 ]$$

D.$$[-6， 0 )$$

6、['一元二次方程根与系数的关系'， '利用基本不等式求最值']

正确率40.0%已知$${{−}{2}}$$与$${{1}}$$是方程$$a x^{2}+b x+c=0$$的两个根，且$${{a}{<}{0}}$$，则$$\frac{a^{2}+b^{2} c^{2}} {a b^{2}}$$的最大值为（）

A.$${{−}{2}}$$

B.$${{−}{4}}$$

C.$${{−}{6}}$$

D.$${{−}{8}}$$

7、['一元二次方程根与系数的关系'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系']

正确率60.0%已知一元二次不等式$$x^{2}-a x-b < 0$$的解集为$$\{x | 2 < x < 3 \}，$$则$${{a}{+}{b}}$$为$${{(}{)}}$$

A.$${{1}{1}}$$

B.$${{−}{{1}{1}}}$$

C.$${{1}}$$

D.$${{−}{1}}$$

9、['一元二次方程根与系数的关系']

正确率60.0%若$${{α}{、}{β}}$$是一元二次方程$$x^{2}+2 x-6=0$$的两根，则$$\frac{1} {\alpha}+\frac{1} {\beta}$$的值是$${{(}{)}}$$

A.$$- \frac{1} {3}$$

B.$$\frac{1} {3}$$

C.$${{−}{3}}$$

D.$${{3}}$$

10、['一元二次方程根与系数的关系'， '一元二次不等式的解法'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系']

正确率60.0%若关于$${{x}}$$的不等式$$a x^{2}+b x+2 < 0$$的解集为$$\{x | x <-\frac{1} {2}$$或$$x > \frac{1} {3} \}，$$则$$\frac{a-b} {a}$$的值为（）

A.$$\frac{1} {6}$$

B.$$- \frac{1} {6}$$

C.$$\frac{5} {6}$$

D.$$- \frac{5} {6}$$

1. 解析：

设椭圆上的两点 $$A(x_1, y_1)$$ 和 $$B(x_2, y_2)$$ 关于直线 $$4x - 2y - 3 = 0$$ 对称。首先，对称条件要求 $$AB$$ 的中点在直线上，且 $$AB$$ 的斜率与直线的斜率垂直。直线的斜率为 $$2$$，因此 $$AB$$ 的斜率为 $$-\frac{1}{2}$$。设 $$AB$$ 的方程为 $$y = -\frac{1}{2}x + c$$，将其代入椭圆方程，联立解得中点坐标满足直线方程。进一步计算可得 $$|\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}| = \sqrt{5}$$，故选 C。

2. 解析：

抛物线 $$E: y^2 = 2px$$ 的焦点为 $$(\frac{p}{2}, 0)$$。设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，方程为 $$y = k(x - \frac{p}{2})$$。与抛物线联立得 $$A$$ 和 $$B$$ 的坐标。由条件 $$AM$$ 平行于 $$x$$ 轴，且 $$\frac{|OM|}{|OB|} = 4$$，通过几何关系和坐标计算可得 $$k = \frac{4}{3}$$，故选 D。

3. 解析：

抛物线 $$y^2 = 4x$$ 的焦点为 $$(1, 0)$$。设直线 $$AB$$ 的斜率为 $$k$$，方程为 $$y = k(x - 1)$$。与抛物线联立得 $$A$$ 和 $$B$$ 的坐标。利用抛物线性质 $$m + n = \frac{4}{\sin^2 \theta}$$，其中 $$\theta$$ 为倾斜角。最小值为 $$4$$，故选 D。

4. 解析：

等比数列 $$\{a_n\}$$ 中，$$a_5$$ 和 $$a_{13}$$ 是方程 $$2x^2 - mx + 2e^4 = 0$$ 的根，由韦达定理得 $$a_5 a_{13} = e^4$$。利用等比数列性质 $$a_7 a_{11} = a_9^2$$，进一步计算得 $$a_7 a_9 a_{11} = e^6$$，故选 A。

5. 解析：

等差数列 $$\{a_n\}$$ 满足 $$a_3 a_{18} = -25$$，设首项为 $$a_1$$，公差为 $$d$$，则 $$(a_1 + 2d)(a_1 + 17d) = -25$$。通过不等式分析 $$S_3 = 3a_1 + 3d$$ 的取值范围为 $$(-\infty, -6]$$，故选 C。

6. 解析：

方程 $$ax^2 + bx + c = 0$$ 的根为 $$-2$$ 和 $$1$$，由韦达定理得 $$b = a$$，$$c = -2a$$。将表达式 $$\frac{a^2 + b^2 c^2}{a b^2}$$ 化简为 $$\frac{1 + 4a}{a}$$，求导得最大值在 $$a = -1$$ 时为 $$-6$$，故选 C。

7. 解析：

不等式 $$x^2 - a x - b < 0$$ 的解集为 $$(2, 3)$$，说明 $$2$$ 和 $$3$$ 是方程的根，由韦达定理得 $$a = 5$$，$$b = -6$$。因此 $$a + b = -1$$，故选 D。

9. 解析：

方程 $$x^2 + 2x - 6 = 0$$ 的根为 $$\alpha$$ 和 $$\beta$$，由韦达定理得 $$\alpha + \beta = -2$$，$$\alpha \beta = -6$$。因此 $$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = \frac{1}{3}$$，故选 B。

10. 解析：

不等式 $$a x^2 + b x + 2 < 0$$ 的解集为 $$x < -\frac{1}{2}$$ 或 $$x > \frac{1}{3}$$，说明 $$a < 0$$ 且根为 $$-\frac{1}{2}$$ 和 $$\frac{1}{3}$$。由韦达定理得 $$a = -12$$，$$b = -2$$。因此 $$\frac{a - b}{a} = \frac{5}{6}$$，故选 C。

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