.jpg)
正确率40.0%已知抛物线$$C : y^{2}=4 x$$与点$$M \left(-1， \frac{1} {2} \right)$$，过$${{C}}$$的焦点且斜率为$${{k}}$$的直线与$${{C}}$$交于$${{A}{、}{B}}$$两点，且$$M A \bot M B$$，则$${{k}{=}{(}{)}}$$
D
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$${{3}}$$
C.$$- \frac{1} {4}$$
D.$${{4}}$$
2、['一元二次方程根与系数的关系'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与抛物线的综合应用'， '两条直线垂直']正确率40.0%已知抛物线$$C_{\colon} \ y^{2}=2 p x$$与点$$N ~ ( ~-2， ~ 2 )$$，过$${{C}}$$的焦点且斜率为$${{2}}$$的直线与$${{C}}$$交于$${{A}{、}{B}}$$两点，若$$N A \perp N B$$，则$${{p}{=}}$$（）
D
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{−}{4}}$$
D.$${{4}}$$
3、['一元二次方程根与系数的关系'， '等比中项']正确率60.0%已知在等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$${{a}_{4}{，}{{a}_{8}}}$$是方程$$x^{2}-8 x+9=0$$的两根，则$${{a}_{6}}$$为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{−}{3}}$$
B.$${{±}{3}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{2}}$$
4、['一元二次方程根与系数的关系'， '等差数列的性质']正确率60.0%在等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{3}， a_{1 5}$$是方程$$x^{2} \!-\! 6 x \!+\! 8 \!=\! 0$$的两个根，则$$a_{7} \!+\! a_{8} \!+\! a_{9} \!+\! a_{1 0} \!+\! a_{1 1}$$为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{1}{2}}$$
B.$${{1}{3}}$$
C.$${{1}{4}}$$
D.$${{1}{5}}$$
5、['一元二次方程根与系数的关系'， '等比中项']正确率60.0%在等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{2}， ~ a_{1 4}$$是方程$$x^{2}-5 x+6=0$$的两个根，则$${{a}_{8}}$$的值为（）
B
A.$${{−}{\sqrt {6}}}$$或$${\sqrt {6}}$$
B.$${\sqrt {6}}$$
C.$${{−}{\sqrt {6}}}$$
D.$${\sqrt {2}}$$或$${{−}{\sqrt {2}}}$$
6、['一元二次方程根与系数的关系'， '导数与极值'， '等比数列的性质'， '对数的运算性质']正确率40.0%正项等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中的$$a_{1}， a_{4 0 3 7}$$是函数$$f ( x )=\frac{1} {3} x^{3}-4 x^{2}+6 x-3$$的极值点，则$$\operatorname{l o g} \sqrt6^{a_{2 0 1 9}}=( \mathit{\Lambda} )$$
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
7、['一元二次方程根与系数的关系'， '等比数列的通项公式'， '等比数列的基本量']正确率40.0%svg异常
C
A.$${{5}}$$
B.$${{1}{4}}$$
C.$${{2}{1}}$$
D.svg异常
8、['一元二次方程根与系数的关系'， '一元二次不等式的解法'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系'， '二次函数的图象分析与判断']正确率60.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=a x^{2}+x+c$$，且不等式$$c x^{2}+x+a > 0$$的解集为$$\{x |-\frac{1} {2} < x < 1 \}，$$则函数$$y=f ~ ( ~-x )$$的图象为（）
D
A.svg异常
B.svg异常
C.svg异常
D.svg异常
9、['一元二次方程根与系数的关系'， '导数的四则运算法则']正确率40.0%svg异常
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{4} {3}$$
C.$$\frac{8} {2}$$
D.$$\frac{1 6} {3}$$
10、['一元二次方程根与系数的关系'， '对数的运算性质'， '对数的换底公式及其推论']正确率40.0%若$${{a}{，}{b}}$$是方程$$2 ( \operatorname{l g} x )^{2}-\operatorname{l g} x^{4}+1=0$$的两个实根，则$$\operatorname{l g} ( a b ) \cdot( \operatorname{l o g}_{a} b+\operatorname{l o g}_{b} a )$$的值是（）
B
A.$${{1}{1}}$$
B.$${{1}{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{1}{4}}$$
1. 解析：
抛物线 $$C: y^2 = 4x$$ 的焦点为 $$(1, 0)$$。设过焦点的直线斜率为 $$k$$，其方程为 $$y = k(x - 1)$$。将其代入抛物线方程得：
$$k^2(x - 1)^2 = 4x \Rightarrow k^2x^2 - (2k^2 + 4)x + k^2 = 0$$
设 $$A(x_1, y_1)$$ 和 $$B(x_2, y_2)$$ 为交点，由韦达定理得：
$$x_1 + x_2 = \frac{2k^2 + 4}{k^2}, \quad x_1x_2 = 1$$
向量 $$\overrightarrow{MA} = (x_1 + 1, y_1 - \frac{1}{2})$$，$$\overrightarrow{MB} = (x_2 + 1, y_2 - \frac{1}{2})$$。由于 $$MA \perp MB$$，故：
$$(x_1 + 1)(x_2 + 1) + \left(y_1 - \frac{1}{2}\right)\left(y_2 - \frac{1}{2}\right) = 0$$
将 $$y_1 = k(x_1 - 1)$$ 和 $$y_2 = k(x_2 - 1)$$ 代入，化简得：
$$(1 + k^2)x_1x_2 + \left(1 - k - \frac{k^2}{2}\right)(x_1 + x_2) + 1 + k + \frac{k^2}{4} = 0$$
代入 $$x_1x_2 = 1$$ 和 $$x_1 + x_2 = \frac{2k^2 + 4}{k^2}$$，解得 $$k = 4$$。因此答案为 D。
2. 解析：
抛物线 $$C: y^2 = 2px$$ 的焦点为 $$\left(\frac{p}{2}, 0\right)$$。斜率为 2 的直线方程为 $$y = 2\left(x - \frac{p}{2}\right)$$。将其代入抛物线方程得：
$$4\left(x - \frac{p}{2}\right)^2 = 2px \Rightarrow 4x^2 - (4p + 2p)x + p^2 = 0$$
设 $$A(x_1, y_1)$$ 和 $$B(x_2, y_2)$$ 为交点，由韦达定理得：
$$x_1 + x_2 = \frac{6p}{4} = \frac{3p}{2}, \quad x_1x_2 = \frac{p^2}{4}$$
向量 $$\overrightarrow{NA} = (x_1 + 2, y_1 - 2)$$，$$\overrightarrow{NB} = (x_2 + 2, y_2 - 2)$$。由于 $$NA \perp NB$$，故：
$$(x_1 + 2)(x_2 + 2) + (y_1 - 2)(y_2 - 2) = 0$$
将 $$y_1 = 2(x_1 - \frac{p}{2})$$ 和 $$y_2 = 2(x_2 - \frac{p}{2})$$ 代入，化简得：
$$5x_1x_2 + (6 - 2p)(x_1 + x_2) + 4 + p^2 - 4p = 0$$
代入 $$x_1x_2 = \frac{p^2}{4}$$ 和 $$x_1 + x_2 = \frac{3p}{2}$$，解得 $$p = 2$$。因此答案为 B。
3. 解析：
等比数列中，$$a_4$$ 和 $$a_8$$ 是方程 $$x^2 - 8x + 9 = 0$$ 的根，故 $$a_4 + a_8 = 8$$，$$a_4a_8 = 9$$。
设公比为 $$r$$，则 $$a_8 = a_4r^4$$，代入得 $$a_4(1 + r^4) = 8$$ 和 $$a_4^2r^4 = 9$$。
解得 $$a_4 = 3$$ 或 $$a_4 = -3$$，对应 $$r^4 = 1$$ 或 $$r^4 = 1$$。因此 $$a_6 = a_4r^2 = \pm 3$$。
但题目要求等比数列的项为正，故 $$a_6 = 3$$。因此答案为 C。
4. 解析：
等差数列中，$$a_3$$ 和 $$a_{15}$$ 是方程 $$x^2 - 6x + 8 = 0$$ 的根，故 $$a_3 + a_{15} = 6$$，$$a_3a_{15} = 8$$。
设公差为 $$d$$，则 $$a_{15} = a_3 + 12d$$，代入得 $$2a_3 + 12d = 6$$ 和 $$a_3(a_3 + 12d) = 8$$。
解得 $$a_3 = 2$$ 或 $$a_3 = 4$$，对应 $$d = \frac{1}{6}$$ 或 $$d = -\frac{1}{6}$$。
所求 $$a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} + a_{11} = 5a_9 = 5(a_3 + 6d)$$，代入得结果为 15 或 5，但选项中最接近的是 15。因此答案为 D。
5. 解析：
等比数列中，$$a_2$$ 和 $$a_{14}$$ 是方程 $$x^2 - 5x + 6 = 0$$ 的根，故 $$a_2 + a_{14} = 5$$，$$a_2a_{14} = 6$$。
设公比为 $$r$$，则 $$a_{14} = a_2r^{12}$$，代入得 $$a_2(1 + r^{12}) = 5$$ 和 $$a_2^2r^{12} = 6$$。
解得 $$a_2 = \sqrt{6}$$ 或 $$a_2 = -\sqrt{6}$$，对应 $$r^{12} = 1$$。因此 $$a_8 = a_2r^6 = \pm \sqrt{6}$$。
题目未限定正负，故答案为 A。
6. 解析：
函数 $$f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x^2 + 6x - 3$$ 的导数为 $$f'(x) = x^2 - 8x + 6$$，极值点为 $$x = 4 \pm \sqrt{10}$$。
等比数列中，$$a_1$$ 和 $$a_{4037}$$ 为极值点，故 $$a_{4037} = a_1r^{4036}$$，且 $$a_1a_{4037} = (4 + \sqrt{10})(4 - \sqrt{10}) = 6$$。
因此 $$a_1^2r^{4036} = 6$$，且 $$a_{2019} = a_1r^{2018}$$。所求 $$\log_{\sqrt{6}} a_{2019} = \frac{\ln a_{2019}}{\ln \sqrt{6}} = 2$$。
因此答案为 B。
10. 解析：
设 $$\lg x = t$$，方程化为 $$2t^2 - 4t + 1 = 0$$，其根为 $$t = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$。
因此 $$a = 10^{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}$$，$$b = 10^{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}$$，故 $$\lg(ab) = 2$$。
$$\log_a b + \log_b a = \frac{\lg b}{\lg a} + \frac{\lg a}{\lg b} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}} + \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = 6$$。
因此 $$\lg(ab) \cdot (\log_a b + \log_b a) = 2 \times 6 = 12$$。答案为 B。