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正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \alpha， ~ \operatorname{c o s} \alpha$$是关于$${{x}}$$的方程$$3 x^{2}+a x-1=0$$的两根，则实数$${{a}{=}{（}}$$）
D
A.$${{3}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{±}{\sqrt {3}}}$$
2、['一元二次方程根与系数的关系'， '向量坐标与向量的数量积'， '直线与抛物线的综合应用']正确率40.0%已知直线$$y=x-1$$与抛物线$$y^{2}=4 x$$交于$${{A}}$$，$${{B}}$$两点$${{.}}$$若点$$C (-1， m )$$满足$$\angle A C B=9 0^{\circ}$$，则$${{m}{=}}$$（）
C
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
3、['一元二次方程根与系数的关系'， '共线向量基本定理'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义'， '直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的焦点弦问题']正确率40.0%已知抛物线$$C_{\colon} \ x^{2}=8 y$$的焦点为$${{F}}$$，过点$$( 0，-2 )$$作斜率为$$k ( k > 0 )$$的直线$${{l}}$$与抛物线$${{C}}$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，直线$$A F， ~ B F$$分别交抛物线$${{C}}$$与$${{M}{，}{N}}$$两点，若$${\frac{| A F |} {| M F |}}+{\frac{| B F |} {| N F |}}=1 0，$$则$${{k}{=}}$$（）
D
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
4、['一元二次方程根与系数的关系'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的定义'， '抛物线的焦点弦问题'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']正确率40.0%过抛物线$$y^{2}=4 x$$的焦点且斜率为$${{1}}$$的直线交抛物线于点$${{A}}$$和$${{B}}$$，则线段$${{A}{B}}$$的长度是（）
A
A.$${{8}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{7}}$$
5、['一元二次方程根与系数的关系'， '直线与圆的位置关系及其判定']正确率60.0%已知$${{a}{、}{b}}$$是关于$${{x}}$$的方程$$x^{2}-p x+p^{3}+p^{2}=0 \gets P$$为常数）的两个不相等的实根，则过两点$$M ~ ( \textit{a}， \textit{a}^{3} ) \textit{，} N ~ ( \textit{b}， \textit{b}^{2} )$$的直线与圆$$( \boldsymbol{x}-p^{2} )^{\textbf{\textit{2}}}+\textbf{\textit{( y}}-1 )^{\textbf{\textit{2}}}=1$$的位置关系为（）
C
A.相交
B.相切
C.相离
D.相切或相离
6、['一元二次方程根与系数的关系'， '等比数列的性质']正确率60.0%在等比数列｛$${{a}_{n}}$$｝中$${{，}{{a}_{3}}{，}{{a}_{9}}}$$是方程$$3 x^{2}-1 1 x+9=0$$的两个根，则$${{a}_{6}}$$等于（）
C
A.$${{3}}$$
B.$$\frac{1 1} {6}$$
C.$${{±}{\sqrt {3}}}$$
D.以上皆不是
7、['一元二次方程根与系数的关系']正确率80.0%已知关于$${{x}}$$的方程$$x^{2}+x-a=0$$的一个根为$${{2}}$$，则另一个根是（）
A
A.$${{−}{3}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{6}}$$
8、['一元二次方程根与系数的关系']正确率80.0%一元二次方程$$( 1-k ) x^{2}-2 x-1=0$$有两个不相等的实数根，则$${{k}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$${{k}{>}{2}}$$
B.$${{k}{<}{2}}$$，且$${{k}{≠}{1}}$$
C.$${{k}{<}{2}}$$
D.$${{k}{>}{2}}$$，且$${{k}{≠}{1}}$$
9、['一元二次方程根与系数的关系'， '一元二次不等式的解法']正确率60.0%设一元二次不等式$$a x^{2}+b x+1 > 0$$的解集为$$\{x |-1 < x < 3 \}，$$则$${{a}{⋅}{b}}$$的值为（）
C
A.$$- \frac{1} {3}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$$- \frac{2} {9}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {9}} \\ \end{array}$$
10、['一元二次方程根与系数的关系'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知不等式$$x^{2}-a x+a-2 > 0$$的解集为
，其中$$x_{1} < 0 < x_{2}$$
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
B.$${{0}}$$
C.$${{2}}$$
D.$$- \frac2 3$$
1. 已知$$\sin \alpha$$和$$\cos \alpha$$是方程$$3x^2 + a x - 1 = 0$$的两根。根据韦达定理，有： $$\sin \alpha + \cos \alpha = -\frac{a}{3},$$ $$\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{1}{3}.$$ 利用恒等式$$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha$$，代入已知条件： $$\left(-\frac{a}{3}\right)^2 = 1 + 2 \left(-\frac{1}{3}\right),$$ 解得$$a^2 = 3$$，即$$a = \pm \sqrt{3}$$。但题目中$$\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{1}{3} < 0$$，说明$$\alpha$$在第二或第四象限，此时$$a$$的符号需进一步分析。由于$$\sin \alpha + \cos \alpha$$的符号不确定，无法直接排除某一解，因此答案为$$D$$。
3. 抛物线$$x^2 = 8y$$的焦点为$$F(0, 2)$$。直线$$l$$过点$$(0, -2)$$，斜率为$$k$$，方程为$$y = kx - 2$$。联立抛物线方程，解得$$A$$和$$B$$的坐标。利用抛物线的性质，$$|AF| = y_A + 2$$，$$|BF| = y_B + 2$$。直线$$AF$$和$$BF$$分别与抛物线交于$$M$$和$$N$$，通过计算可得$$\frac{|AF|}{|MF|} + \frac{|BF|}{|NF|} = 10$$，解得$$k = \sqrt{3}$$，答案为$$D$$。
5. 方程$$x^2 - p x + p^3 + p^2 = 0$$的两根为$$a$$和$$b$$，根据韦达定理： $$a + b = p,$$ $$ab = p^3 + p^2.$$ 直线$$MN$$的斜率为$$\frac{b^3 - a^3}{b - a} = a^2 + ab + b^2$$。计算圆心$$(p^2, 1)$$到直线的距离，判断与圆的位置关系。化简后可得距离大于圆的半径，因此直线与圆相离，答案为$$C$$。
7. 方程$$x^2 + x - a = 0$$的一个根为$$2$$，代入得$$a = 6$$。根据韦达定理，另一根为$$-1 - 2 = -3$$，答案为$$A$$。
9. 不等式$$ax^2 + bx + 1 > 0$$的解集为$$-1 < x < 3$$，说明$$a < 0$$且方程$$ax^2 + bx + 1 = 0$$的根为$$-1$$和$$3$$。根据韦达定理： $$-1 + 3 = -\frac{b}{a},$$ $$-1 \times 3 = \frac{1}{a}.$$ 解得$$a = -\frac{1}{3}$$，$$b = \frac{2}{3}$$，故$$a \cdot b = -\frac{2}{9}$$，答案为$$C$$。