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正确率60.0%已知$${{s}{i}{n}{α}{，}{{c}{o}{s}}{α}}$$是关于$${{x}}$$的方程$${{x}^{2}{+}{a}{x}{−}{a}{=}{0}{(}{a}{∈}{R}{)}}$$的两个实根，则$${{a}}$$的值是（）
C
A.$${{−}{1}{±}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{1}{±}{\sqrt {2}}}$$
C.$${\sqrt {2}{−}{1}}$$
D.$${{1}{−}{\sqrt {2}}}$$
3、['两点间的斜率公式'， '一元二次方程根与系数的关系'， '平面上中点坐标公式'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与抛物线的交点个数'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知抛物线$${{C}{：}{{y}^{2}}{=}{2}{p}{x}{，}{p}{>}{0}}$$的焦点为$${{F}}$$，过焦点的直线$${{l}}$$交抛物线$${{C}}$$与$${{M}{，}{N}}$$两点，设$${{M}{N}}$$的中点为$${{G}}$$，则直线$${{O}{G}}$$的斜率的最大值为（）
A
A.$${{\frac^{\sqrt {2}}{2}}}$$
B.$${{\frac{1}{2}}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
4、['一元二次方程根与系数的关系'， '等差数列的基本量'， '等差数列的性质']正确率60.0%已知关于$${{x}}$$的方程$${{(}{{x}^{2}}{−}{2}{x}{+}{m}{)}{(}{{x}^{2}}{−}{2}{x}{+}{n}{)}{=}{0}}$$的四个根组成一个首项为$${{\frac{1}{4}}}$$的等差数列，则$${{|}{m}{−}{n}{|}{=}}$$（）
A
A.$${{\frac{1}{2}}}$$
B.$${{\frac{3}{8}}}$$
C.$${{\frac{3}{4}}}$$
D.$${{1}}$$
5、['一元二次方程根与系数的关系'， '导数与极值'， '等比数列的性质'， '对数的运算性质']正确率40.0%正项等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中的$${{a}_{1}{，}{{a}{{4}{0}{3}{7}}}}$$是函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{\frac{1}{3}}}{{x}^{3}}{−}{4}{{x}^{2}}{+}{6}{x}{−}{3}}$$的极值点，则$${{l}{o}{g}{\sqrt {6}^{{a}{{2}{0}{1}{9}}}}{=}{(}{)}}$$
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
6、['一元二次方程根与系数的关系'， '等差数列的性质']正确率60.0%已知$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为等差数列，若$${{\frac{1}_{{a}_{1}}}{，}{{\frac{1}_{{a}{{2}{0}{1}{9}}}}}}$$为方程$${{x}^{2}{−}{{1}{0}}{x}{+}{{1}{6}}{=}{0}}$$的两根，则$${{a}_{2}{+}{{a}{{1}{0}{1}{0}}}{+}{{a}{{2}{0}{1}{8}}}}$$的值为（）
B
A.$${{\frac^{{1}{5}}{8}}}$$
B.$${{\frac^{{1}{5}}_{{1}{6}}}}$$
C.$${{1}{5}}$$
D.$${{3}{0}}$$
7、['一元二次方程根与系数的关系'， '等比数列的性质']正确率60.0%已知等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$${{a}_{1}{，}{{a}{{9}{9}}}}$$为方程$${{x}^{2}{−}{{1}{0}}{x}{+}{4}{=}{0}}$$的两根，则$${{a}{{2}{0}}{⋅}{{a}{{5}{0}}}{⋅}{{a}{{8}{0}}}}$$的值为（）
C
A.$${{8}}$$
B.$${{−}{8}}$$
C.$${{±}{8}}$$
D.$${{±}{{6}{4}}}$$
9、['一元二次方程根与系数的关系'， '一元二次不等式的解法'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系']正确率40.0%已知不等式$${{a}{{x}^{2}}{+}{b}{x}{+}{c}{>}{0}}$$的解集是$${{\{}{x}{|}{α}{<}{x}{<}{β}{\}}{(}{α}{>}{0}{)}{，}}$$< x < beta }(alpha >$${{0}{)}}$$，则不等式$${{c}{{x}^{2}}{+}{b}{x}{+}{a}{<}{0}}$$的解集是$${{(}{)}}$$
B
A.$${{(}{{\frac{1}{β}}}{，}{{\frac{1}{α}}}{)}}$$
B.$${{(}{−}{∞}{，}{{\frac{1}{β}}}{)}{∪}{(}{{\frac{1}{α}}}{，}{+}{∞}{)}}$$
C.$${{\{}{x}{|}{α}{<}{x}{<}{β}{\}}}$$
D.$${{(}{−}{∞}{，}{α}{)}{∪}{(}{β}{，}{+}{∞}{)}}$$
10、['一元二次方程根与系数的关系'， '导数与极值']正确率60.0%若函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{x}^{3}}{+}{3}{a}{{x}^{2}}{+}{3}{(}{a}{+}{2}{)}{x}{+}{1}}$$有极大值和极小值，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
D
A.$${{a}{>}{2}}$$
B.$${{1}{<}{a}{<}{2}}$$
C.$${{a}{<}{−}{1}}$$
D.$${{a}{<}{−}{1}}$$或$${{a}{>}{2}}$$
1. 由题意，$$sinα$$ 和 $$cosα$$ 是方程 $$x^2 + ax - a = 0$$ 的两个实根。根据韦达定理：
$$sinα + cosα = -a$$
$$sinα \cdot cosα = -a$$
利用三角恒等式 $$(sinα + cosα)^2 = sin^2α + cos^2α + 2sinαcosα$$，代入得：
$$a^2 = 1 + 2(-a)$$
整理为 $$a^2 + 2a - 1 = 0$$，解得 $$a = -1 \pm \sqrt{2}$$。
但需满足判别式 $$a^2 + 4a \geq 0$$，验证 $$a = -1 + \sqrt{2}$$ 和 $$a = -1 - \sqrt{2}$$ 均满足。故选 A。
3. 抛物线 $$y^2 = 2px$$ 的焦点为 $$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$$。设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，其方程为 $$y = k\left(x - \frac{p}{2}\right)$$。
联立抛物线方程，得 $$k^2x^2 - (k^2p + 2p)x + \frac{k^2p^2}{4} = 0$$。
设 $$M(x_1, y_1)$$ 和 $$N(x_2, y_2)$$，中点 $$G\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$。
由韦达定理，$$x_1 + x_2 = p + \frac{2p}{k^2}$$，$$y_1 + y_2 = k\left(x_1 + x_2 - p\right) = \frac{2p}{k}$$。
因此，$$G\left(\frac{p}{2} + \frac{p}{k^2}, \frac{p}{k}\right)$$，直线 $$OG$$ 的斜率 $$k_{OG} = \frac{\frac{p}{k}}{\frac{p}{2} + \frac{p}{k^2}} = \frac{2k}{k^2 + 2}$$。
求 $$k_{OG}$$ 的最大值，令 $$f(k) = \frac{2k}{k^2 + 2}$$，求导得极值点为 $$k = \sqrt{2}$$，此时 $$k_{OG} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。故选 A。
4. 设方程 $$(x^2 - 2x + m)(x^2 - 2x + n) = 0$$ 的四个根为 $$x_1, x_2, x_3, x_4$$，且首项为 $$\frac{1}{4}$$。
由韦达定理，$$x_1 + x_2 = 2$$，$$x_3 + x_4 = 2$$，且四个根成等差数列。设公差为 $$d$$，则四个根为 $$\frac{1}{4}, \frac{1}{4} + d, \frac{1}{4} + 2d, \frac{1}{4} + 3d$$。
由 $$x_1 + x_4 = x_2 + x_3 = 2$$，解得 $$d = \frac{1}{2}$$，故四个根为 $$\frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4}$$。
因此，$$m = x_1x_2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{7}{4} = \frac{7}{16}$$，$$n = x_3x_4 = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4} = \frac{15}{16}$$。
$$|m - n| = \frac{1}{2}$$。故选 A。
5. 函数 $$f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x^2 + 6x - 3$$ 的导数为 $$f'(x) = x^2 - 8x + 6$$。
极值点为 $$x^2 - 8x + 6 = 0$$ 的根，设为 $$x_1$$ 和 $$x_2$$，则 $$x_1x_2 = 6$$。
等比数列 $$\{a_n\}$$ 中，$$a_1 \cdot a_{4037} = x_1x_2 = 6$$，且 $$a_{2019}^2 = a_1 \cdot a_{4037} = 6$$。
因此，$$\log_{\sqrt{6}} a_{2019} = \log_{\sqrt{6}} \sqrt{6} = 1$$。故选 A。
6. 方程 $$x^2 - 10x + 16 = 0$$ 的两根为 $$2$$ 和 $$8$$，故 $$\frac{1}{a_1} = 2$$，$$\frac{1}{a_{2019}} = 8$$，即 $$a_1 = \frac{1}{2}$$，$$a_{2019} = \frac{1}{8}$$。
等差数列中，$$a_1 + a_{2019} = 2a_{1010}$$，解得 $$a_{1010} = \frac{5}{16}$$。
因此，$$a_2 + a_{1010} + a_{2018} = 3a_{1010} = \frac{15}{16}$$。故选 B。
7. 等比数列 $$\{a_n\}$$ 中，$$a_1 \cdot a_{99} = 4$$，且 $$a_{20} \cdot a_{80} = a_{50}^2$$。
因此，$$a_{20} \cdot a_{50} \cdot a_{80} = a_{50}^3$$。
由 $$a_1 \cdot a_{99} = a_{50}^2 = 4$$，得 $$a_{50} = \pm 2$$，故 $$a_{20} \cdot a_{50} \cdot a_{80} = \pm 8$$。
根据题意，两根为正，故 $$a_{50} = 2$$，结果为 $$8$$。故选 A。
9. 不等式 $$ax^2 + bx + c > 0$$ 的解集为 $$(α, β)$$，说明 $$a < 0$$ 且 $$α, β$$ 为方程 $$ax^2 + bx + c = 0$$ 的两根。
由韦达定理，$$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$$，$$\alpha \beta = \frac{c}{a}$$。
不等式 $$cx^2 + bx + a < 0$$ 可化为 $$\frac{c}{a}x^2 + \frac{b}{a}x + 1 > 0$$，即 $$\alpha \beta x^2 - (\alpha + \beta)x + 1 > 0$$。
因式分解为 $$(\alpha x - 1)(\beta x - 1) > 0$$，解集为 $$x < \frac{1}{\beta}$$ 或 $$x > \frac{1}{\alpha}$$。故选 B。
10. 函数 $$f(x) = x^3 + 3ax^2 + 3(a + 2)x + 1$$ 的导数为 $$f'(x) = 3x^2 + 6ax + 3(a + 2)$$。
要求 $$f(x)$$ 有极大值和极小值，需判别式 $$(6a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3(a + 2) > 0$$，即 $$36a^2 - 36(a + 2) > 0$$。
化简为 $$a^2 - a - 2 > 0$$，解得 $$a < -1$$ 或 $$a > 2$$。故选 D。