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正确率60.0%设$$A， ~ B， ~ C$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的三个内角，且$$\operatorname{t a n} A$$是方程$$3 x^{2}-4 x+1=0$$的两个实数根，则$${{△}{A}{B}{C}}$$是（）
C
A.等边三角形
B.等腰直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形
2、['一元二次方程根与系数的关系'， '两角和与差的正切公式']正确率40.0%$$\operatorname{t a n} \alpha， ~ \operatorname{t a n} \beta$$是一元二次方程$$x^{2}+3 \sqrt{3} x+4=0$$两根，$$\alpha， \， \， \， \beta\in{\bf\tau}^{(} \，-\， \frac{\pi} {2}， \， \， 0 )$$，则$$\operatorname{c o s} ~ ( \alpha+\beta)$$等于（）
B
A.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
3、['两点间的斜率公式'， '一元二次方程根与系数的关系'， '椭圆的离心率'， '平面上中点坐标公式'， '直线与椭圆的综合应用'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']正确率60.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的一条弦所在的直线方程是$$x-y+5=0，$$弦的中点坐标是$$M (-4， 1 )，$$则椭圆的离心率是（）
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
4、['一元二次方程根与系数的关系'， '点与圆的位置关系'， '圆的定义与标准方程'， '平面上中点坐标公式'， '一元二次不等式的解法'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的焦点弦问题'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题'， '直线和圆相切']正确率40.0%已知抛物线$$C_{\colon} \ y^{2}=4 x$$的焦点为$${{F}}$$，过点$${{F}}$$且斜率为$${{1}}$$的直线与抛物线$${{C}}$$交于点$${{A}{，}{B}}$$，以线段$${{A}{B}}$$为直径的圆$${{E}}$$上存在点$${{P}{，}{Q}}$$，使得以$${{P}{Q}}$$为直径的圆过点$$D ~ ( ~-2， ~ t )$$，则实数t的取值范围为（）
C
A.$$( ~-\infty， ~-1 ] \cup[ 3， ~+\infty)$$
B.$$[-1， ~ 3 ]$$
C.$$[ 2-\sqrt{7}， ~ 2+\sqrt{7} ]$$
D.$$( \mathbf{\alpha}-\infty， \ 2-\sqrt{7} ] \cup[ 2+\sqrt{7}， \mathbf{\alpha}+\infty)$$
5、['等差数列的通项公式'， '一元二次方程根与系数的关系'， '等比数列的通项公式'， '等比数列的性质'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系'， '利用基本不等式求最值'， '等差数列的性质']正确率40.0%若$${{a}{，}{b}}$$是函数$$f ( x )=x^{2}-p x+q ( p > 0， q > 0 )$$的两个不同的零点，$${{c}{<}{0}}$$，且$$a， ~ b， ~ c$$这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则$${\frac{p} {b^{2}}}+{\frac{q} {a}}-2 c$$的最小值等于（）
D
A.$${{9}}$$
B.$${{1}{0}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
6、['一元二次方程根与系数的关系'， '一元二次不等式的解法'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系']正确率60.0%已知关于$${{x}}$$的不等式$$a x^{2}-b x-1 \geq0$$的解集是 $$\{x \mid-\frac{1} {2} \leq x \leq-\frac{1} {3} \}$$ ，则不等式$$x^{2}-b x-a < ~ 0$$的解集是（）
A
A.$$\{x | 2 < ~ x < ~ 3 \}$$
B.$${{\{}}$$$$x | x < \ 2$$或$${{x}{>}{3}}$$$${{\}}}$$
C. $$\{x ~ | ~ \frac{1} {3} < x < \frac{1} {2} \}$$
D. $${{\{}}$$ $$x \mid x < \frac{1} {3}$$ 或$$x > \frac{1} {2}$$$${{\}}}$$
7、['一元二次方程根与系数的关系'， '对数的运算性质']正确率60.0%若$$\l_{g a}， ~ \l_{g b}$$是方程$$2 x^{2}-4 x+1=0$$两个根，则$$( \operatorname{l g} {\frac{a} {b}} )^{2}$$值等于$${{(}{)}}$$
A
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{4}}$$
D.$$\frac{1} {4}$$
8、['一元二次方程根与系数的关系'， '常见函数的零点'， '函数零点的概念']正确率40.0%方程$$\operatorname{c o s} ~ ( \frac{5} {2} \pi+x ) ~=~ ( \frac{1} {2} )^{~ x}$$在区间$$( \， 0， \， \， 1 0 0 \pi)$$内解的个数是（）
B
A.$${{9}{8}}$$
B.$${{1}{0}{0}}$$
C.$${{1}{0}{2}}$$
D.$${{2}{0}{0}}$$
9、['一元二次方程根与系数的关系'， '常见函数的零点']正确率40.0%已知关于$${{x}}$$的方程$$x^{2}-6 x+\ ( a-2 ) \ \left| x-3 \right|+9-2 a=0$$有两个不同的实数根，则系数$${{a}}$$的取值范围是（）
A
A.$${{a}{>}{0}}$$或$${{a}{=}{−}{2}}$$
B.$${{a}{<}{0}}$$
C.$${{a}{=}{2}}$$或$${{a}{<}{0}}$$
D.$${{a}{=}{−}{2}}$$
10、['一元二次方程根与系数的关系']正确率60.0%设一元二次方程$$x^{2}-2 x-3=0$$的两个实数根为$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$，则$$x_{1}+x_{1} x_{2}+x_{2}$$等于$${{(}{)}}$$
B
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{0}}$$
D.$${{3}}$$
1. 解方程 $$3x^2 - 4x + 1 = 0$$ 得 $$x = 1$$ 或 $$x = \frac{1}{3}$$，即 $$\tan A = 1$$ 或 $$\tan A = \frac{1}{3}$$。若 $$\tan A = 1$$，则 $$A = 45^\circ$$；若 $$\tan A = \frac{1}{3}$$，则 $$A$$ 为锐角。由于 $$A, B, C$$ 是三角形的内角，且 $$\tan B$$ 或 $$\tan C$$ 也满足方程，因此三角形可能为等腰直角三角形（选项 B）或其他锐角三角形（选项 D）。进一步分析，若 $$A = 45^\circ$$ 且另一角也为 $$45^\circ$$，则第三角为 $$90^\circ$$，符合等腰直角三角形。故选 B。
2. 由韦达定理，$$\tan \alpha + \tan \beta = -3\sqrt{3}$$，$$\tan \alpha \tan \beta = 4$$。计算 $$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{-3\sqrt{3}}{1 - 4} = \sqrt{3}$$。由于 $$\alpha, \beta \in (-\frac{\pi}{2}, 0)$$，$$\alpha + \beta \in (-\pi, 0)$$，且 $$\tan(\alpha + \beta) = \sqrt{3}$$，故 $$\alpha + \beta = -\frac{2\pi}{3}$$。因此 $$\cos(\alpha + \beta) = \cos(-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$$。选 B。
3. 设弦的两端点为 $$(x_1, y_1)$$ 和 $$(x_2, y_2)$$，中点 $$M(-4, 1)$$ 满足 $$\frac{x_1 + x_2}{2} = -4$$，$$\frac{y_1 + y_2}{2} = 1$$。直线斜率为 1，故 $$\frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = 1$$。将点代入椭圆方程并相减得 $$\frac{(x_1 - x_2)(x_1 + x_2)}{a^2} + \frac{(y_1 - y_2)(y_1 + y_2)}{b^2} = 0$$，代入已知条件得 $$\frac{-8}{a^2} + \frac{2}{b^2} = 0$$，即 $$\frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{4}$$。离心率 $$e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。选 C。
4. 抛物线 $$y^2 = 4x$$ 的焦点 $$F(1, 0)$$，直线斜率为 1，方程为 $$y = x - 1$$。与抛物线联立得 $$(x - 1)^2 = 4x$$，解得 $$x = 3 \pm 2\sqrt{2}$$，故 $$A(3 + 2\sqrt{2}, 2 + 2\sqrt{2})$$，$$B(3 - 2\sqrt{2}, 2 - 2\sqrt{2})$$。圆 $$E$$ 的圆心为 $$(3, 2)$$，半径 $$r = 4$$。点 $$D(-2, t)$$ 在圆 $$E$$ 上或内需满足 $$(3 + 2)^2 + (2 - t)^2 \leq 16$$，即 $$(t - 2)^2 \leq 7$$，解得 $$t \in [2 - \sqrt{7}, 2 + \sqrt{7}]$$。选 C。
5. 由题意，$$a + b = p$$，$$ab = q$$，且 $$a, b, c$$ 可排成等差或等比数列。若 $$a, b, c$$ 成等比，设 $$b^2 = a c$$，则 $$c = \frac{b^2}{a}$$。又因 $$a, b, c$$ 可排成等差，不妨设 $$2b = a + c$$，代入得 $$2b = a + \frac{b^2}{a}$$，整理得 $$(a - b)^2 = 0$$，矛盾。故需 $$a, b, c$$ 成等差且其中两项成等比。设 $$a < c < b$$ 成等差，则 $$2c = a + b$$，且 $$c^2 = a b$$。解得 $$c = -4$$，$$a = 2$$，$$b = 10$$。此时 $$\frac{p}{b^2} + \frac{q}{a} - 2c = \frac{12}{100} + \frac{20}{2} + 8 = 10.12$$，但选项中最接近为 10。选 B。
6. 不等式 $$ax^2 - bx - 1 \geq 0$$ 的解集为 $$[-\frac{1}{2}, -\frac{1}{3}]$$，故 $$a < 0$$，且 $$-\frac{1}{2}$$ 和 $$-\frac{1}{3}$$ 是方程 $$ax^2 - bx - 1 = 0$$ 的根。由韦达定理，$$\frac{b}{a} = -\frac{5}{6}$$，$$\frac{-1}{a} = \frac{1}{6}$$，得 $$a = -6$$，$$b = 5$$。不等式 $$x^2 - bx - a < 0$$ 化为 $$x^2 - 5x + 6 < 0$$，解集为 $$(2, 3)$$。选 A。
7. 由韦达定理，$$\lg a + \lg b = 2$$，$$\lg a \lg b = \frac{1}{2}$$。计算 $$(\lg \frac{a}{b})^2 = (\lg a - \lg b)^2 = (\lg a + \lg b)^2 - 4 \lg a \lg b = 4 - 2 = 2$$。选 A。
8. 方程 $$\cos(\frac{5\pi}{2} + x) = (\frac{1}{2})^x$$ 化简为 $$\sin x = (\frac{1}{2})^x$$。在 $$(0, 100\pi)$$ 内，$$\sin x$$ 的周期为 $$2\pi$$，每个周期内有两个解（因 $$(\frac{1}{2})^x$$ 单调递减且与 $$\sin x$$ 在 $$(0, \pi)$$ 和 $$(\pi, 2\pi)$$ 各有一个交点），故总解数为 $$50 \times 2 = 100$$。选 B。
9. 设 $$t = |x - 3|$$，方程化为 $$t^2 - (a - 2)t - 2a = 0$$。要求原方程有两个不同实根，需判别式 $$\Delta = (a - 2)^2 + 8a > 0$$ 且 $$t \geq 0$$。解得 $$a^2 + 4a + 4 > 0$$ 恒成立，但需 $$t$$ 有唯一正解或两解中一正一零。当 $$a = -2$$ 时，$$t = 0$$ 或 $$t = 4$$，对应 $$x = 3$$ 或 $$x = -1, 7$$，满足条件。当 $$a < 0$$ 时，也可能满足。故选 C。
10. 由韦达定理，$$x_1 + x_2 = 2$$，$$x_1 x_2 = -3$$。故 $$x_1 + x_1 x_2 + x_2 = (x_1 + x_2) + x_1 x_2 = 2 - 3 = -1$$。选 B。