不等式比较大小-不等关系与不等式知识点教师选题基础选择题自测题解析-天津市等高一数学必修,平均正确率60.0%

1、['不等式比较大小']

正确率40.0%已知$$a， ~ b， ~ c$$为三角形的三边长，若$$S=a^{2}+b^{2}+c^{2}， \， \， \， P=a b+b c+c a，$$则（）

A.$${{S}{⩾}{2}{P}}$$

B.$$P < ~ S < ~ 2 P$$

C.$${{S}{>}{P}}$$

D.$$P \leqslant S < \ 2 P$$

2、['不等式比较大小'， '不等式的性质']

正确率60.0%若$$a > b， c \in R$$，则下列不等式恒成立的是

A.$$a c > b c$$

B.$$\frac{a} {c} > \frac{b} {c}$$

C.$$a^{2}+c > b^{2}+c$$

D.$$a^{3}+c > b^{3}+c$$

3、['利用导数讨论函数单调性'， '导数中的函数构造问题'， '不等式比较大小']

正确率40.0%已知$${{f}{（}{x}{）}}$$为定义在$${{R}}$$行的可导函数，且$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) < f^{\prime} \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)$$对于$${{x}{∈}{R}}$$恒成立，且$${{e}}$$为自然对数的底数，则下面正确的是（）

A.$$f ~ ( 1 ) ~ > e f ~ ( 0 ) ~， ~ f ~ ( 2 0 1 6 ) ~ > e^{2 0 1 6} f ~ ( 0 )$$

B.$$f ~ ( 1 ) ~ < e f ~ ( 0 ) ~， ~ f ~ ( 2 0 1 6 ) ~ > e^{2 0 1 6} f ~ ( 0 )$$

C.$$f ~ ( 1 ) ~ > e f ~ ( 0 ) ~， ~ f ~ ( 2 0 1 6 ) ~ < e^{2 0 1 6} f ~ ( 0 )$$

D.$$f ~ ( 1 ) ~ < e f ~ ( 0 ) ~， ~ f ~ ( 2 0 1 6 ) ~ > e 2^{0 1 6} f ~ ( 0 )$$

4、['不等式比较大小'， '不等式的性质']

正确率60.0%若$$a < b < 0$$，则（）

A.$$\frac{1} {a} < \frac{1} {b}$$

B.$$a-3 \! > \! b-3$$

C.$${{a}{b}{>}{{b}^{2}}}$$

D.$${{a}^{2}{<}{{b}^{2}}}$$

5、['指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性'， '不等式比较大小']

正确率60.0%令$$a=0. 2^{0. 1}， \， \， \， b=\operatorname{l o g}_{0. 2} \， 0. 1$$，则有$${{(}{)}}$$

A.$$b > 1 > a$$

B.$$a > 1 > b$$

C.$$a > b > 1$$

D.$$1 > b > a$$

6、['对数式的大小的比较'， '指数式的大小的比较'， '不等式比较大小'， '利用函数单调性比较大小'， '不等式的性质']

正确率60.0%已知$$0 < x < y， ~ z > 1$$，则下列结论正确的是（）

A.$$z^{\operatorname{l g} x} > z^{\operatorname{l g} y}$$

B.$$\frac{z-1} {x} < \frac{z-1} {y}$$

C.$$\operatorname{l o g}_{x} z < \operatorname{l o g}_{y} z$$

D.$$\operatorname{l o g}_{z} x < \operatorname{l o g}_{z} y$$

7、['不等式比较大小'， '不等式的性质']

正确率60.0%已知$$a > 0， ~-1 < b < 0$$，那么下列不等式成立的是（）

A.$$a < a b < a b^{2}$$

B.$$a b < a < a b^{2}$$

C.$$a b < a b^{2} < a$$

D.$$a b^{2} < a < a b$$

9、['指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性'， '不等式比较大小']

正确率60.0%若$$x > 0， ~ y < 0$$，则下列不等式一定成立的是（）

A.$$2^{x}-2^{y} > x^{2}$$

B.$$2^{x}-2^{y} > \operatorname{l o g}_{\frac1 2} ( x+1 )$$

C.$$2^{y}-2^{x} > x^{2}$$

D.$$2^{y}-2^{x} > \operatorname{l o g}_{\frac1 2} ( x+1 )$$

10、['用不等式组表示不等关系'， '不等式比较大小'， '不等式的性质']

正确率60.0%已知非零实数$${{a}}$$，$${{b}}$$满足$${{a}{>}{b}}$$，则下列不等式一定成立的是（）

A.$$a+b > 0$$

B.$${{a}^{2}{>}{{b}^{2}}}$$

C.$$\frac{1} {a} < \frac{1} {b}$$

D.$$a^{2}+b^{2} > 2 a b$$

1. 对于三角形三边长 $$a, b, c$$，由三角形不等式可知 $$a + b > c$$，$$b + c > a$$，$$a + c > b$$。将这三个不等式平方后相加，得到： $$(a + b)^2 + (b + c)^2 + (a + c)^2 > a^2 + b^2 + c^2 + a^2 + b^2 + c^2$$ 展开整理得： $$2(a^2 + b^2 + c^2) + 2(ab + bc + ca) > 2(a^2 + b^2 + c^2)$$ 即 $$P = ab + bc + ca < a^2 + b^2 + c^2 = S$$。另一方面，由 $$(a - b)^2 + (b - c)^2 + (a - c)^2 \geq 0$$ 可得： $$2S - 2P \geq 0$$，即 $$S \geq P$$。综上，$$P < S < 2P$$，故选 B。

2. 对于选项 D，由于 $$a > b$$，且 $$f(x) = x^3$$ 是严格单调递增函数，故 $$a^3 > b^3$$，进而 $$a^3 + c > b^3 + c$$ 恒成立。其他选项： A 错误，当 $$c \leq 0$$ 时 $$a c \leq b c$$； B 错误，当 $$c < 0$$ 时 $$\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$$； C 错误，例如 $$a = 1, b = -2, c = 0$$ 时 $$a^2 + c = 1 < b^2 + c = 4$$。故选 D。

3. 由题意 $$f(x) < f'(x)$$，可构造 $$g(x) = \frac{f(x)}{e^x}$$，求导得： $$g'(x) = \frac{f'(x) - f(x)}{e^x} > 0$$，故 $$g(x)$$ 单调递增。因此 $$g(1) > g(0)$$ 即 $$\frac{f(1)}{e} > f(0)$$，即 $$f(1) > e f(0)$$；同理 $$g(2016) > g(0)$$ 即 $$f(2016) > e^{2016} f(0)$$。故选 A。

4. 由 $$a < b < 0$$ 可知： A 正确，因为 $$a < b$$ 取倒数后不等号反向； B 正确，$$a - 3 < b - 3$$ 不成立，实际应为 $$a - 3 < b - 3$$； C 错误，$$ab < b^2$$（因 $$b < 0$$，乘以 $$a > b$$ 后不等号反向）； D 错误，$$a^2 > b^2$$（例如 $$a = -2, b = -1$$ 时 $$4 > 1$$）。故选 A 和 B，但题目为单选题，可能存在争议。

5. 计算得 $$a = 0.2^{0.1} \in (0, 1)$$，而 $$b = \log_{0.2} 0.1 = \frac{\ln 0.1}{\ln 0.2} \approx \frac{-2.3026}{-1.6094} \approx 1.43 > 1$$。因此 $$b > 1 > a$$，故选 A。

6. 由 $$0 < x < y$$ 且 $$z > 1$$ 分析： A 错误，因 $$\lg x < \lg y$$，而 $$z > 1$$ 时 $$z^{\lg x} < z^{\lg y}$$； B 错误，$$\frac{z-1}{x} > \frac{z-1}{y}$$（分母越小值越大）； C 不一定，例如 $$x = 1, y = 10, z = 100$$ 时 $$\log_1 100$$ 无意义； D 正确，因 $$\log_z x$$ 随 $$x$$ 增大而增大。故选 D。

7. 由 $$a > 0$$ 且 $$-1 < b < 0$$ 可知： $$ab < 0$$，$$ab^2 > 0$$，且 $$b^2 < |b|$$，故 $$ab^2 < a|b| < a$$。因此 $$ab < ab^2 < a$$，故选 C。

9. 由 $$x > 0$$ 且 $$y < 0$$ 分析： A 不一定，例如 $$x = 1, y = -1$$ 时 $$2^1 - 2^{-1} = 1.5 > 1^2$$ 成立，但 $$x = 0.5, y = -0.5$$ 时 $$2^{0.5} - 2^{-0.5} \approx 0.828 < 0.25$$ 不成立； B 中 $$\log_{\frac{1}{2}}(x+1) = -\log_2(x+1)$$，当 $$x$$ 较大时 $$2^x$$ 远大于 $$-2^y$$； D 中 $$2^y - 2^x < 0$$，而 $$\log_{\frac{1}{2}}(x+1) < 0$$，但大小关系不确定；无绝对成立的选项，可能题目有误或遗漏条件。

10. 由 $$a > b$$ 且 $$a, b$$ 非零分析： A 不一定（如 $$a = 1, b = -2$$）； B 不一定（如 $$a = -1, b = -2$$ 时 $$a^2 < b^2$$）； C 不一定（如 $$a = 1, b = -1$$ 时 $$\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$$）； D 正确，因 $$a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2 > 0$$（$$a \neq b$$）。故选 D。

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