倒数法则-不等关系与不等式知识点回顾进阶自测题答案-广西壮族自治区等高一数学必修,平均正确率55.99999999999999%

1、['数列的函数特征'， '倒数法则'， '函数的定义']

正确率19.999999999999996%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=\frac{x} {1+x} \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)$$，设$${{f}{（}{x}{）}}$$在点$$( n， ~ f ( n ) ~ ) ~ ( n \in N * )$$处的切线在$${{y}}$$轴上的截距为$${{b}_{n}}$$，数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足：$$a_{1}=\frac{1} {2}， \， \， a_{n+1}=f \， \， ( \， a_{n} ) \， \， \， \， ( \， n \in N^{*} \， )$$，在数列$$\{\frac{b_{n}} {a_{n}^{2}}+\frac{\lambda} {a_{n}} \}$$中，仅当$${{n}{=}{5}}$$时，$$\frac{b_{n}} {a_{n}^{2}}+\frac{\lambda} {a_{n}}$$取最小值，则$${{λ}}$$的取值范围是（）

A.$$( \emph{-1 1}， \emph{-9} )$$

B.$$( \mathrm{~-~ 5. 5， ~}-4. 5 )$$

C.$$( \， 4. 5， \， \， 5. 5 )$$

D.$$( 9， ~ 1 1 )$$

2、['倒数法则'， '不等式的性质']

正确率60.0%若$$a， b， c \in R， \， \， a > b$$，则下列不等式恒成立的是$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{1} {a} < \frac{1} {b}$$

B.$${{a}^{2}{>}{{b}^{2}}}$$

C.$$a \left| c \right| > b \left| c \right|$$

D.$$\frac{a} {c^{2}+1} > \frac{b} {c^{2}+1}$$

3、['倒数法则'， '不等式的性质']

正确率60.0%若$$a， b， c \in R$$，且$${{a}{>}{b}}$$，则下列不等式一定成立的是（）

A.$$\frac{1} {a} < \frac{1} {b}$$

B.$$\frac{a} {b} > 1$$

C.$$| a | > b$$

D.$$a \left| c \right| > b \left| c \right|$$

4、['倒数法则'， '不等式的性质']

正确率60.0%已知$$a， \， \， b， \， \， c， \， \， d \in R$$，且$$a > b， \， \， c > d$$，则下列不等式一定成立的是（）

A.$$\frac{c} {a} < \frac{d} {b}$$

B.$${{a}^{2}{>}{{b}^{2}}}$$

C.$$a c > b d$$

D.$$a-d > b-c$$

5、['充分、必要条件的判定'， '倒数法则'， '不等式的性质']

正确率60.0%已知$${{a}{∈}{R}}$$，则$$\protect a < 1 "$$是$$\protect` ` \frac{1} {a} > 1 "$$的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6、['倒数法则'， '利用函数单调性比较大小']

正确率60.0%已知实数$${{x}{，}{y}}$$满足$$( \frac{1} {2} )^{x} < ( \frac{1} {2} )^{y}$$，则下列关系式中恒成立的是（）

A.$$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{y^{2}}$$

B.$${{π}^{x}{>}{{π}^{y}}}$$

C.$$\frac{1} {x} < \frac{1} {y}$$

D.$$\sqrt{x} > \sqrt{y}$$

7、['倒数法则'， '不等式的性质']

正确率60.0%已知$${{a}{，}{b}}$$为非零实数，且$${{a}{<}{b}}$$，则下列不等式中一定成立的是（）

A.$${{a}^{2}{<}{{b}^{2}}}$$

B.$$\frac{1} {a} > \frac{1} {b}$$

C.$$\frac{1} {a b^{2}} < \frac{1} {a^{2} b}$$

D.$${{a}{b}{<}{{b}^{2}}}$$

8、['倒数法则'， '不等式比较大小'， '不等式的性质']

正确率60.0%若$$\frac{1} {a} < \frac{1} {b} < 0，$$则下列不等式：
$$\oplus a+b < a b ; \， \， \oplus\， | a | > | b | ; \， \， \oplus\， a < b ; \， \， \， \oplus\， a b < b^{2}$$< ab；②|a| >$$| b | ; ~ \oplus a < b ;$$中，正确的不等式有（）

A.$${①{②}}$$

B.$${②{③}}$$

C.$${①{④}}$$

D.$${③{④}}$$

9、['倒数法则'， '不等式的性质']

正确率60.0%已知$$a， ~ b， ~ c$$为实数，且$${{a}{>}{b}}$$，则下列不等式成立的是（）

A.$$\frac{1} {a} < \frac{1} {b}$$

B.$${{a}^{2}{>}{{b}^{2}}}$$

C.$$\frac{a} {c^{2}+1} > \frac{b} {c^{2}+1}$$

D.$$a | c | > b | c |$$

10、['倒数法则'， '不等式的性质']

正确率60.0%若$$a > b > 0$$，$$c < ~ d < ~ 0$$，则一定有（）

A.$$\frac{a} {d} > \frac{b} {c}$$

B.$$\frac{a} {d} < \frac{b} {c}$$

C.$$\frac{a} {c} > \frac{b} {d}$$

D.$$\frac{a} {c} < \frac{b} {d}$$

### 第一题解析

首先，题目给出的函数形式为：

$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=\frac{x} {1+x} \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)$$

可以简化为标量函数：

$$f(x) = \frac{x}{1+x}$$

接下来，求函数在点 $$(n, f(n))$$ 处的切线方程。先求导数：

$$f'(x) = \frac{(1+x) \cdot 1 - x \cdot 1}{(1+x)^2} = \frac{1}{(1+x)^2}$$

切线方程为：

$$y - f(n) = f'(n)(x - n)$$

整理得：

$$y = \frac{1}{(1+n)^2}x + \frac{n}{1+n} - \frac{n}{(1+n)^2}$$

在 $$y$$ 轴上的截距 $$b_n$$ 为 $$x = 0$$ 时的 $$y$$ 值：

$$b_n = \frac{n}{1+n} - \frac{n}{(1+n)^2} = \frac{n(1+n) - n}{(1+n)^2} = \frac{n^2}{(1+n)^2}$$

数列 $$\{a_n\}$$ 满足递推关系：

$$a_{n+1} = f(a_n) = \frac{a_n}{1 + a_n}$$

已知 $$a_1 = \frac{1}{2}$$，可以递推计算前几项：

$$a_2 = \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{1}{3}$$

$$a_3 = \frac{\frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{4}$$

$$a_4 = \frac{\frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{5}$$

$$a_5 = \frac{\frac{1}{5}}{1 + \frac{1}{5}} = \frac{1}{6}$$

$$a_6 = \frac{\frac{1}{6}}{1 + \frac{1}{6}} = \frac{1}{7}$$

观察规律，可以猜测 $$a_n = \frac{1}{n+1}$$，验证成立。

因此，$$b_n = \frac{n^2}{(1+n)^2}$$，而 $$a_n = \frac{1}{n+1}$$。

题目要求 $$\frac{b_n}{a_n^2} + \frac{\lambda}{a_n}$$ 的最小值仅在 $$n=5$$ 时取得。将表达式化简：

$$\frac{b_n}{a_n^2} + \frac{\lambda}{a_n} = \frac{\frac{n^2}{(1+n)^2}}{\left(\frac{1}{n+1}\right)^2} + \lambda \cdot (n+1) = n^2 + \lambda(n+1)$$

记 $$g(n) = n^2 + \lambda(n+1)$$，要求 $$g(n)$$ 在 $$n=5$$ 时取得最小值。

由于 $$g(n)$$ 是二次函数，其最小值可能在整数点 $$n=5$$ 处取得。因此需要满足：

$$g(4) > g(5)$$ 且 $$g(6) > g(5)$$

计算不等式：

$$4^2 + \lambda(4+1) > 5^2 + \lambda(5+1) \Rightarrow 16 + 5\lambda > 25 + 6\lambda \Rightarrow -\lambda > 9 \Rightarrow \lambda < -9$$

$$6^2 + \lambda(6+1) > 5^2 + \lambda(5+1) \Rightarrow 36 + 7\lambda > 25 + 6\lambda \Rightarrow \lambda > -11$$

综上，$$\lambda$$ 的取值范围是 $$(-11, -9)$$，对应选项 A。

### 第二题解析

题目要求判断在 $$a > b$$ 的条件下，哪个不等式恒成立。

选项分析：

A: $$\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$$ 不成立，例如 $$a=1, b=-1$$ 时，$$\frac{1}{1} > \frac{1}{-1}$$。
B: $$a^2 > b^2$$ 不成立，例如 $$a=1, b=0$$ 时成立，但 $$a=0, b=-1$$ 时不成立。
C: $$a|c| > b|c|$$ 不成立，当 $$c=0$$ 时不等式无意义。
D: $$\frac{a}{c^2+1} > \frac{b}{c^2+1}$$ 恒成立，因为 $$c^2+1 > 0$$，且 $$a > b$$。

因此，正确答案是 D。

### 第三题解析

题目要求判断在 $$a > b$$ 的条件下，哪个不等式一定成立。

选项分析：

A: $$\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$$ 不成立，例如 $$a=1, b=-1$$ 时，$$\frac{1}{1} > \frac{1}{-1}$$。
B: $$\frac{a}{b} > 1$$ 不成立，例如 $$a=-1, b=-2$$ 时，$$\frac{-1}{-2} = 0.5 < 1$$。
C: $$|a| > b$$ 不成立，例如 $$a=-1, b=-2$$ 时，$$|-1| = 1 > -2$$ 成立，但 $$a=1, b=2$$ 时，$$|1| = 1 < 2$$ 不成立。
D: $$a|c| > b|c|$$ 不成立，当 $$c=0$$ 时不等式无意义。

题目可能存在问题，但最接近成立的选项是 A，但实际不成立。可能需要重新审视题目。

### 第四题解析

题目要求判断在 $$a > b, c > d$$ 的条件下，哪个不等式一定成立。

选项分析：

A: $$\frac{c}{a} < \frac{d}{b}$$ 不成立，例如 $$a=2, b=1, c=1, d=0.5$$ 时，$$\frac{1}{2} = \frac{0.5}{1}$$。
B: $$a^2 > b^2$$ 不成立，例如 $$a=-1, b=-2$$ 时，$$(-1)^2 < (-2)^2$$。
C: $$ac > bd$$ 不成立，例如 $$a=1, b=0, c=-1, d=-2$$ 时，$$1 \cdot (-1) < 0 \cdot (-2)$$。
D: $$a - d > b - c$$ 成立，因为 $$a > b$$ 且 $$-d > -c$$（因为 $$c > d$$），相加得 $$a - d > b - c$$。

因此，正确答案是 D。

### 第五题解析

题目要求判断 $$a < 1$$ 是否是 $$\frac{1}{a} > 1$$ 的充分条件或必要条件。

分析：

若 $$\frac{1}{a} > 1$$，则 $$0 < a < 1$$，此时 $$a < 1$$ 成立，但 $$a < 1$$ 不一定保证 $$\frac{1}{a} > 1$$（例如 $$a=-1$$ 时 $$\frac{1}{a} = -1 < 1$$）。
因此，$$a < 1$$ 是 $$\frac{1}{a} > 1$$ 的必要条件，但不是充分条件。

正确答案是 B。

### 第六题解析

题目给出 $$\left(\frac{1}{2}\right)^x < \left(\frac{1}{2}\right)^y$$，由于 $$\frac{1}{2} < 1$$，指数函数递减，因此 $$x > y$$。

选项分析：

A: $$\sqrt{x^2} > \sqrt{y^2}$$ 即 $$|x| > |y|$$，不成立，例如 $$x=-1, y=-2$$ 时，$$|-1| < |-2|$$。
B: $$\pi^x > \pi^y$$，因为 $$\pi > 1$$，指数函数递增，$$x > y$$ 时成立。
C: $$\frac{1}{x} < \frac{1}{y}$$ 不成立，例如 $$x=1, y=0.5$$ 时，$$1 > 2$$。
D: $$\sqrt{x} > \sqrt{y}$$ 不成立，例如 $$x=-1, y=-2$$ 时无定义。

因此，正确答案是 B。

### 第七题解析

题目要求判断在 $$a < b$$ 且 $$a, b$$ 为非零实数时，哪个不等式一定成立。

选项分析：

A: $$a^2 < b^2$$ 不成立，例如 $$a=-2, b=1$$ 时，$$4 > 1$$。
B: $$\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$$ 不成立，例如 $$a=1, b=2$$ 时，$$1 > 0.5$$ 不成立。
C: $$\frac{1}{ab^2} < \frac{1}{a^2b}$$ 化简为 $$a^2b < ab^2$$，即 $$ab(a - b) < 0$$。由于 $$a < b$$，若 $$ab > 0$$ 则成立，但若 $$ab < 0$$ 则不成立。
D: $$ab < b^2$$ 化简为 $$b(a - b) < 0$$，由于 $$a < b$$，若 $$b > 0$$ 则成立，但若 $$b < 0$$ 则不成立。

题目可能存在问题，但最接近成立的选项是 C，但实际不恒成立。

### 第八题解析

题目给出 $$\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0$$，可以推出 $$b < a < 0$$。

选项分析：

① $$a + b < ab$$：因为 $$b < a < 0$$，可以化简为 $$1/a + 1/b > 1$$，由条件 $$\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0$$ 可知成立。
② $$|a| > |b|$$：因为 $$b < a < 0$$，且 $$a$$ 更接近 0，所以 $$|a| < |b|$$，不成立。
③ $$a < b$$：与条件矛盾，不成立。
④ $$ab < b^2$$：因为 $$b < 0$$，两边除以 $$b$$ 得 $$a > b$$，成立。

因此，正确的选项是 C（①④）。

### 第九题解析

题目要求判断在 $$a > b$$ 的条件下，哪个不等式成立。

选项分析：

A: $$\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$$ 不成立，例如 $$a=1, b=-1$$ 时，$$\frac{1}{1} > \frac{1}{-1}$$。
B: $$a^2 > b^2$$ 不成立，例如 $$a=-1, b=-2$$ 时，$$1 < 4$$。
C: $$\frac{a}{c^2+1} > \frac{b}{c^2+1}$$ 成立，因为 $$c^2+1 > 0$$ 且 $$a > b$$。
D: $$a|c| > b|c|$$ 不成立，当 $$c=0$$ 时不等式无意义。

因此，正确答案是 C。

### 第十题解析

题目给出 $$a > b > 0$$ 和 $$c < d < 0$$，要求判断哪个不等式一定成立。

选项分析：

A: $$\frac{a}{d} > \frac{b}{c}$$ 不一定成立，例如 $$a=2, b=1, c=-2, d=-1$$ 时，$$\frac{2}{-1} = -2 > \frac{1}{-2} = -0.5$$ 不成立。
B: $$\frac{a}{d} < \frac{b}{c}$$ 不一定成立，同上例。
C: $$\frac{a}{c} > \frac{b}{d}$$ 成立，因为 $$a > b > 0$$ 且 $$c < d < 0$$，所以 $$\frac{a}{c} < \frac{b}{d}$$（注意负号），但题目要求的是 $$\frac{a}{c} > \frac{b}{d}$$，实际不成立。
D: $$\frac{a}{c} < \frac{b}{d}$$ 成立，因为 $$a > b > 0$$ 且 $$c < d < 0$$，所以 $$\frac{a}{c} < \frac{b}{d}$$（因为 $$a/c$$ 和 $$b/d$$ 均为负数，且 $$a/c$$ 更小）。

因此，正确答案是 D。

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