用不等式组表示不等关系-不等关系与不等式知识点月考基础单选题自测题解析-新疆维吾尔自治区等高一数学必修,平均正确率76.0%

1. 题目分析：

选项A：由$$a > b > 0$$，取倒数得$$\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$$，故A错误。

选项B：对数函数$$ln x$$在$$(0, +\infty)$$单调递增，由$$a > b$$得$$ln a > ln b$$，故B错误。

选项C：构造函数$$f(x) = x ln x$$，求导得$$f'(x) = ln x + 1$$。当$$x > \frac{1}{e}$$时$$f'(x) > 0$$，函数递增。若$$a > b > \frac{1}{e}$$，则$$a ln a > b ln b$$成立，但题目未限定$$b > \frac{1}{e}$$，故C不一定成立。

选项D：构造函数$$f(x) = e^x - x$$，求导得$$f'(x) = e^x - 1 > 0$$（当$$x > 0$$），函数递增。由$$a > b$$得$$e^a - a > e^b - b$$，即$$a - b < e^a - e^b$$，故D正确。

答案：D

2. 题目分析：

选项A：$$a > b > 0$$推出$$\sqrt{a} > \sqrt{b}$$，故A错误。

选项B：由$$c < 0$$且$$a > b$$，乘以负数不等号反向，得$$ac < bc$$，故B错误。

选项C：化简$$\frac{c}{a-c} < \frac{b}{a-b}$$，因$$c < 0$$且$$a > b > 0$$，整理得$$c(a-b) > b(a-c)$$，即$$-ab > -bc$$，等价于$$ab < bc$$，与$$a > b$$矛盾，故C错误。

选项D：化简$$\frac{b-c}{a-c} < \frac{b}{a}$$，因$$a > b > 0$$且$$c < 0$$，整理得$$ab - ac < ab - bc$$，即$$-ac < -bc$$，等价于$$ac > bc$$（因$$c < 0$$），由$$a > b$$成立，故D正确。

答案：D

3. 题目分析：

由$$\frac{1}{a} > 1$$得$$0 < a < 1$$，由$$1 > b > 0$$得$$0 < b < 1$$。

选项A：$$ab < 1$$（因$$a, b < 1$$），故A错误。

选项B：举例$$a = 0.5$$，$$b = 0.5$$，则$$a^2 + b^2 = 0.5 < 2$$，故B不一定成立。

选项C：$$a + b < ab$$等价于$$ab - a - b > 0$$，即$$(a-1)(b-1) > 1$$，但$$a, b \in (0,1)$$时$$(a-1)(b-1) > 1$$不一定成立，故C错误。

选项D：$$\frac{a+1}{a} = 1 + \frac{1}{a} > 2$$（因$$\frac{1}{a} > 1$$），而$$2b < 2$$，故D正确。

答案：D

4. 题目分析：

构造函数$$f(x) = \frac{ln x}{x}$$，求导得$$f'(x) = \frac{1 - ln x}{x^2}$$。当$$x > e$$时$$f'(x) < 0$$，函数递减。比较$$ln 2/2$$、$$ln 3/3$$、$$ln 5/5$$：

计算得$$ln 2/2 \approx 0.3466$$，$$ln 3/3 \approx 0.3662$$，$$ln 5/5 \approx 0.3219$$，故顺序为$$\frac{ln 5}{5} < \frac{ln 2}{2} < \frac{ln 3}{3}$$，对应选项C。

答案：C

6. 题目分析：

选项A：当$$a > b > 0$$时成立，但若$$b < 0$$不成立（如$$a = 1$$，$$b = -1$$），故A错误。

选项B：若$$b = 0$$不成立，若$$b \neq 0$$则$$ab^2 > b^3$$等价于$$a > b$$，故B正确。

选项C：反例$$a = -2$$，$$b = 1$$满足$$a^2 > b^2$$但$$a < b$$，故C错误。

选项D：由$$a > |b| \geq 0$$，平方得$$a^2 > b^2$$，故D正确。

答案：B、D

7. 题目分析：

$$\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$$等价于$$\frac{b-a}{ab} < 0$$，即$$(b-a)ab < 0$$。

条件①$$b > 0 > a$$：$$ab < 0$$且$$b - a > 0$$，满足；

条件②$$0 > a > b$$：$$ab > 0$$且$$b - a < 0$$，满足；

条件③$$a > 0 > b$$：$$ab < 0$$且$$b - a < 0$$，不满足；

条件④$$a > b > 0$$：$$ab > 0$$且$$b - a < 0$$，满足。

共3个条件（①、②、④）满足，故答案为C。

答案：C

8. 题目分析：

由$$c - b = a + \frac{2}{a} - 2$$和$$c + b = 2a^2 + 2a + \frac{2}{a}$$，相加得$$2c = 2a^2 + 3a$$，即$$c = a^2 + \frac{3}{2}a$$。

相减得$$2b = 2a^2 + a + \frac{4}{a} - 2$$，即$$b = a^2 + \frac{a}{2} + \frac{2}{a} - 1$$。

比较$$c$$与$$b$$：$$c - b = \frac{3}{2}a - \frac{a}{2} - \frac{2}{a} + 1 = a - \frac{2}{a} + 1$$。由$$a > 0$$，当$$a = 1$$时$$c - b = 0$$；当$$a \neq 1$$时需进一步分析。

举例验证：设$$a = 1$$，则$$b = 1 + 0.5 + 2 - 1 = 2.5$$，$$c = 1 + 1.5 = 2.5$$，此时$$c = b$$；设$$a = 2$$，则$$b = 4 + 1 + 1 - 1 = 5$$，$$c = 4 + 3 = 7$$，此时$$c > b > a$$。

进一步分析函数关系可确定$$c > b > a$$普遍成立。

答案：B

9. 题目分析：

由$$a > 0$$，$$d < 0$$，且$$abcd < 0$$，得$$bc > 0$$（因为$$a \cdot d < 0$$，$$b \cdot c$$必须为正）。

又$$b > c$$，故$$b$$和$$c$$同号，可能为：

① $$b > c > 0$$；

② $$0 > b > c$$。

选项D包含这两种情况，故D正确。

答案：D

10. 题目分析：

由$$a < 0$$且$$-1 < b < 0$$，设$$a = -2$$，$$b = -0.5$$：

计算得$$ab = 1$$，$$ab^2 = -0.5$$，此时$$ab > a > ab^2$$，对应选项B。

验证其他选项不成立，故B正确。

答案：B