.jpg)
正确率40.0%若$$1 \notin\{x | \frac{x} {a x-1} \leqslant0 \}$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$${{a}{>}{1}}$$
B.$${{a}{⩾}{1}}$$
C.$${{a}{⩾}{1}}$$或$${{a}{<}{0}}$$
D.$${{a}{>}{1}}$$或$${{a}{<}{0}}$$
2、['一元二次方程的解集'， '不等式的解集与不等式组的解集'， '根据函数零点个数求参数范围'， '函数零点的概念'， '分段函数的图象']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\{\begin{array} {c} {\begin{array} {c} {x^{2}-3 x， x \geqslant0，} \\ \end{array}} \\ {-x^{2}+3 x， x < 0，} \\ \end{array}$$若函数$$g ( x )=3 [ f ( x ) ]^{2}+( m+3 ) f ( x )+m ( m \in R )$$恰有$${{6}}$$个不同的零点，则$${{m}}$$的取值范围为（$${）}$$．
D
A.$$( 0，+\infty)$$
B.$$( 0， 3 ) \cup( \frac{2 7} {4}，+\infty)$$
C.$$( 0， \frac{2 7} {4} )$$
D.$$( 0， 3 ) \cup( 3， \frac{2 7} {4} )$$
3、['不等式的解集与不等式组的解集'， '函数求定义域']正确率60.0%函数$$y=\sqrt{\frac{2+x} {1-x}}+\sqrt{x^{2}-x-2}$$的定义域是$${{(}{)}}$$
A
A.$$\{x |-2 \leq x \leq-1 \}$$
B.$$\{x |-2 \leq x \leq1 \}$$
C.$$\{x | x > 2 \}$$
D.$$\{x | x \neq1 \}$$
4、['利用函数单调性解不等式'， '抽象函数的应用'， '不等式的解集与不等式组的解集']正确率60.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}}$$在区间$$[ 0， \ \ +\infty)$$单调递减，则满足$$f ( 2 x-1 ) > f ( \frac{5} {3} )$$的$${{x}}$$取值范围是（）
D
A.$$[-\frac{1} {2}， \frac{4} {3} )$$
B.$$(-\frac{1} {2}， \frac{4} {3} )$$
C.$$( \frac{1} {2}， \frac{4} {3} )$$
D.$$[ \frac{1} {2}， \frac{4} {3} )$$
5、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '利用导数讨论函数单调性'， '不等式的解集与不等式组的解集']正确率40.0%若函数$$y=a ~ ( ~ x^{3} ~-~ x )$$的减区间为$$( \mathit{\mu}-\frac{\sqrt{3}} {3}， \ \frac{\sqrt{3}} {3} )$$，则$${{a}}$$的范围是（）
A
A.$${{a}{>}{0}}$$
B.$$- 1 < a < 0$$
C.$${{a}{>}{−}{1}}$$
D.$$- 1 < a < 1$$
6、['函数中的存在性问题'， '指数与对数的关系'， '已知函数值（值域）求自变量或参数'， '不等式的解集与不等式组的解集'， '对数恒等式']正确率19.999999999999996%设$${{a}{>}{1}}$$，若仅有一个常数$${{c}}$$使得对于任意的$$x \in[ a， a^{3} ]$$，都有$$y \in[ 1+\operatorname{l o g}_{a} 2-a^{3}， 2-a ]$$满足方程$$a^{x} a^{y}=c$$，则$${{a}}$$的取值集合为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{\{}{4}{\}}}$$
B.$$\{\frac{3} {2}， 2 \}$$
C.$${{\{}{2}{\}}}$$
D.$$\{\frac{3} {2} \}$$
7、['在R上恒成立问题'， '不等式的解集与不等式组的解集'， '二次函数的图象分析与判断']正确率60.0%若不等式$$a x^{2} \!+\! a x \!+\! a \!+\! 3 \! \ge\! 0$$对一切实数$${{x}}$$恒成立，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
C
A.$$(-4， 0 )$$
B.$$(-\infty，-4 ) \cup( 0，+\infty)$$
C.$${{[}{0}{{，}{+}{∞}}{)}}$$
D.$$(-4， 0 ]$$
8、['一元二次不等式的解法'， '分式不等式的解法'， '不等式的解集与不等式组的解集']正确率60.0%不等式$$\frac{2 x-3} {x+1} < 0$$的解集为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\{x |-\frac{3} {2} < x < 1 \}$$
B.$$\{x |-1 < x < \frac{3} {2} \}$$
C.$$\left\{x | \， x > \frac3 2 x <-1 \right\}$$
D.$$\{\， x | x < \frac{3} {2} \， \}$$
9、['指数函数的定义'， '函数奇、偶性的定义'， '不等式的解集与不等式组的解集'， '函数单调性的应用']正确率60.0%设函数$$f ( x )=e^{| x |}-\frac{1} {x^{2}+2}$$，则使得$$f ( x ) > f ( 2 x-1 )$$成立的$${{x}}$$的取值范围是（）
A
A.$$( {\frac{1} {3}}， 1 )$$
B.$$(-\infty， \frac{1} {3} ) \cup( 1，+\infty)$$
C.$$(-\frac{1} {3}， \frac{1} {3} )$$
D.$$(-\infty，-\frac{1} {3} ) \cup( \frac{1} {3}，+\infty)$$
10、['一元二次不等式的解法'， '不等式的解集与不等式组的解集']正确率40.0%不等式$$\frac{3 x-1} {2-x} \geqslant0$$的解集是$${{(}{)}}$$
A.$$[ \frac{1} {3}， \， 2 \brack$$
B.$$[ \frac{1} {3}， \， 2 )$$
C.$$\left(-\infty， \frac1 3 \right] \bigcup[ 2，+\infty)$$
D.$$\left(-\infty， \frac{1} {3} \right] \bigcup( 2，+\infty)$$
1. 集合条件为 $$1 \notin \{x \mid \frac{x}{a x-1} \leqslant 0\}$$，即 $$x=1$$ 不满足不等式 $$\frac{x}{a x-1} \leqslant 0$$。
代入 $$x=1$$ 得 $$\frac{1}{a-1} \leqslant 0$$，需使其不成立，即 $$\frac{1}{a-1} > 0$$，解得 $$a-1 > 0$$，即 $$a > 1$$。
同时考虑分母不为零：当 $$a=1$$ 时，分母为 $$x-1$$，在 $$x=1$$ 处无定义，故 $$a \neq 1$$。
综上，实数 $$a$$ 的取值范围是 $$a > 1$$，对应选项 A。
2. 函数 $$g(x)=3[f(x)]^2+(m+3)f(x)+m$$ 恰有 6 个不同的零点。
令 $$t=f(x)$$，则方程化为 $$3t^2+(m+3)t+m=0$$，需讨论 $$t$$ 的取值情况。
分析 $$f(x)$$：当 $$x \geqslant 0$$ 时，$$f(x)=x^2-3x$$，开口向上，顶点在 $$x=\frac{3}{2}$$，最小值为 $$-\frac{9}{4}$$；当 $$x<0$$ 时，$$f(x)=-x^2+3x$$，开口向下，顶点在 $$x=\frac{3}{2}$$（但 $$x<0$$），最大值为 0。
$$f(x)$$ 的值域为 $$[-\frac{9}{4}, +\infty)$$，且每个 $$t$$ 值（除边界）对应两个 $$x$$。
设二次方程两根为 $$t_1$$ 和 $$t_2$$，需满足：
（1）两根均属于 $$[-\frac{9}{4}, +\infty)$$；
（2）每根对应两个 $$x$$，且两根不同，故共有 4 个零点；但需恰有 6 个零点，因此需有一根为 $$t=-\frac{9}{4}$$（顶点值，对应一个 $$x$$），另一根对应两个 $$x$$，且 $$t \neq -\frac{9}{4}$$。
代入 $$t=-\frac{9}{4}$$ 到方程：$$3 \cdot \frac{81}{16} + (m+3)(-\frac{9}{4}) + m = 0$$，化简得 $$\frac{243}{16} - \frac{9}{4}(m+3) + m = 0$$，乘以 16：$$243 - 36(m+3) + 16m = 0$$，即 $$243 - 36m -108 + 16m = 0$$，$$135 -20m = 0$$，$$m=\frac{27}{4}$$。
同时需另一根 $$t > -\frac{9}{4}$$ 且 $$t \neq -\frac{9}{4}$$，验证成立。
此外，若两根均大于 $$-\frac{9}{4}$$ 且不同，则每根对应两个 $$x$$，共 4 个零点，不满足；若一根小于 $$-\frac{9}{4}$$（不在值域内），则只有一根有效，至多 2 个零点。
因此 $$m=\frac{27}{4}$$ 是临界点，结合选项，$$m$$ 的取值范围为 $$(0,3) \cup (\frac{27}{4}, +\infty)$$，对应选项 B。
3. 函数 $$y=\sqrt{\frac{2+x}{1-x}} + \sqrt{x^2-x-2}$$ 的定义域需满足：
（1）$$\frac{2+x}{1-x} \geqslant 0$$，且分母 $$1-x \neq 0$$；
（2）$$x^2-x-2 \geqslant 0$$。
解（1）：分子分母同号，即 $$(2+x)(1-x) \geqslant 0$$ 且 $$x \neq 1$$，解得 $$-2 \leqslant x < 1$$。
解（2）：$$x^2-x-2 \geqslant 0$$，即 $$(x-2)(x+1) \geqslant 0$$，解得 $$x \leqslant -1$$ 或 $$x \geqslant 2$$。
取交集：$$-2 \leqslant x \leqslant -1$$。
因此定义域为 $$\{x \mid -2 \leqslant x \leqslant -1\}$$，对应选项 A。
4. 函数 $$f(x)$$ 在 $$[0, +\infty)$$ 单调递减，且 $$f(2x-1) > f(\frac{5}{3})$$。
由于单调递减，不等式等价于 $$2x-1 < \frac{5}{3}$$，即 $$2x < \frac{8}{3}$$，$$x < \frac{4}{3}$$。
同时需 $$2x-1 \geqslant 0$$（因定义域为 $$[0, +\infty)$$），即 $$x \geqslant \frac{1}{2}$$。
因此 $$x$$ 的取值范围为 $$[\frac{1}{2}, \frac{4}{3})$$，对应选项 D。
5. 函数 $$y=a(x^3-x)$$ 的减区间为 $$(-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$$。
求导：$$y'=a(3x^2-1)$$。
减区间要求 $$y' < 0$$，即 $$a(3x^2-1) < 0$$。
在区间 $$(-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$$ 内，$$3x^2-1 < 0$$，因此需 $$a > 0$$，使 $$a(3x^2-1) < 0$$ 成立。
若 $$a < 0$$，则 $$y' > 0$$，为增区间，不满足。
故 $$a > 0$$，对应选项 A。
6. 方程 $$a^x a^y = c$$，即 $$a^{x+y}=c$$，故 $$x+y=\log_a c$$。
对于 $$x \in [a, a^3]$$，有 $$y \in [1+\log_a 2 - a^3, 2-a]$$，且仅有一个常数 $$c$$ 使对于任意 $$x$$ 存在 $$y$$ 满足。
即 $$y=\log_a c - x$$，需满足值域为 $$[1+\log_a 2 - a^3, 2-a]$$。
由于 $$x \in [a, a^3]$$，则 $$y \in [\log_a c - a^3, \log_a c - a]$$。
令 $$[\log_a c - a^3, \log_a c - a] = [1+\log_a 2 - a^3, 2-a]$$。
比较端点：$$\log_a c - a^3 = 1+\log_a 2 - a^3$$，得 $$\log_a c = 1+\log_a 2$$，即 $$c=2a$$。
另一端点：$$\log_a c - a = 2-a$$，得 $$\log_a c = 2$$，即 $$c=a^2$$。
因此需 $$2a = a^2$$，解得 $$a=2$$（$$a>1$$）。
代入验证：当 $$a=2$$，$$c=4$$，$$x \in [2,8]$$，$$y \in [1+\log_2 2 - 8, 2-2] = [1+1-8, 0] = [-6,0]$$。
而 $$y=\log_2 4 - x = 2 - x$$，当 $$x \in [2,8]$$，$$y \in [-6,0]$$，匹配。
故 $$a$$ 的取值集合为 $$\{2\}$$，对应选项 C。
7. 不等式 $$a x^2 + a x + a + 3 \geqslant 0$$ 对一切实数 $$x$$ 恒成立。
若 $$a=0$$，则不等式为 $$3 \geqslant 0$$，恒成立。
若 $$a \neq 0$$，需二次函数开口向上且判别式非正：
（1）$$a > 0$$；
（2）判别式 $$\Delta = a^2 - 4a(a+3) \leqslant 0$$，即 $$a^2 - 4a^2 -12a \leqslant 0$$，$$-3a^2 -12a \leqslant 0$$，乘以 $$-1$$（不等号反向）：$$3a^2+12a \geqslant 0$$，即 $$a(a+4) \geqslant 0$$，解得 $$a \leqslant -4$$ 或 $$a \geqslant 0$$。
结合 $$a > 0$$，得 $$a > 0$$。
综上，$$a \geqslant 0$$。
因此实数 $$a$$ 的取值范围为 $$[0, +\infty)$$，对应选项 C。
8. 不等式 $$\frac{2x-3}{x+1} < 0$$ 的解集。
分子分母异号：
（1）$$2x-3 > 0$$ 且 $$x+1 < 0$$，即 $$x > \frac{3}{2}$$ 且 $$x < -1$$，无解；
（2）$$2x-3 < 0$$ 且 $$x+1 > 0$$，即 $$x < \frac{3}{2}$$ 且 $$x > -1$$，故 $$-1 < x < \frac{3}{2}$$。
因此解集为 $$\{x \mid -1 < x < \frac{3}{2}\}$$，对应选项 B。
9. 函数 $$f(x)=e^{|x|} - \frac{1}{x^2+2}$$，需 $$f(x) > f(2x-1)$$。
分析 $$f(x)$$：为偶函数（因 $$e^{|x|}$$ 和 $$\frac{1}{x^2+2}$$ 均为偶函数），且在 $$[0, +\infty)$$ 上单调递增（因 $$e^{|x|}$$ 增，$$\frac{1}{x^2+2}$$ 减，故整体增）。
因此 $$f(x) > f(2x-1)$$ 等价于 $$|x| > |2x-1|$$。
解不等式 $$|x| > |2x-1|$$：两边平方得 $$x^2 > (2x-1)^2$$，即 $$x^2 > 4x^2 -4x+1$$，$$0 > 3x^2 -4x+1$$，即 $$3x^2-4x+1 < 0$$，解得 $$\frac{1}{3} < x < 1$$。
故 $$x$$ 的取值范围为 $$(\frac{1}{3}, 1)$$，对应选项 A。
10. 不等式 $$\frac{3x-1}{2-x} \geqslant 0$$ 的解集。
分子分母同号或分子为零：
（1）$$3x-1 \geqslant 0$$ 且 $$2-x > 0$$，即 $$x \geqslant \frac{1}{3}$$ 且 $$x < 2$$，故 $$\frac{1}{3} \leqslant x < 2$$；
（2）$$3x-1 \leqslant 0$$ 且 $$2-x < 0$$，即 $$x \leqslant \frac{1}{3}$$ 且 $$x > 2$$，无解。
同时考虑分子为零：$$x=\frac{1}{3}$$ 时，分式为 0，满足。
分母不能为零：$$x \neq 2$$。
因此解集为 $$[\frac{1}{3}, 2)$$，对应选项 B。