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正确率19.999999999999996%已知椭圆$$\Gamma\colon\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的长轴长是短轴长的$${{2}}$$倍，右焦点为$$F ( c， 0 )$$，过$${{F}}$$的直线与椭圆$${{Γ}}$$相交于$${{A}{，}{B}}$$两点其中点$${{A}}$$在$${{x}}$$轴的下方，且$$\overrightarrow{A F}=3 \overrightarrow{F B}，$$若$${{M}}$$为$${{A}{B}}$$的中点，则直线$${{O}{M}}$$的方程为
D
A.$$y=\frac{\sqrt{2}} {4} x$$
B.$$y=-\frac{\sqrt{2}} {4} x$$
C.$$y=\frac{\sqrt{2}} {8} x$$
D.$$y=-\frac{\sqrt{2}} {8} x$$
2、['一元二次方程根与系数的关系'， '直线的斜率']正确率40.0%实系数一元二次方程$$x^{2}+a x+b=0$$的一个根在$$( {\bf0}， \mathrm{\bf~ 1} )$$上，另一个根在$$( 1， \ 2 )$$上，则$$\frac{2-b} {2-a}$$的取值范围是（）
A
A.$$( \; 0， \; \; \frac{2} {3} )$$
B.$$( \mathrm{~-\infty， ~} \frac{2} {3} )$$
C.$$( \; \frac{2} {3}， \; \; 2 )$$
D.$$( \frac{2} {3}， ~+\infty)$$
3、['一元二次方程根与系数的关系'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']正确率40.0%已知斜率为$${{1}}$$的直线$${{l}}$$与双曲线$$\frac{x^{2}} {4}-y^{2}=1$$的右支交于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$$| A B |=8$$，则直线$${{l}}$$的方程为（）
B
A.$$y=x+\sqrt{2 1}$$
B.$$y=x-\sqrt{2 1}$$
C.$$y=x-\frac{3 \sqrt{5}} {5}$$
D.$$y=x+\frac{3 \sqrt{5}} {5}$$
4、['一元二次方程根与系数的关系'， '导数与极值'， '等差数列的性质']正确率60.0%等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中的$$a_{3}， a_{2 0 1 7}$$分别是函数$$f \left( x \right)=x^{3}-6 x^{2}+4 x-1$$的两个不同极值点，则$$\operatorname{l o g}_{\frac{1} {4}} a_{1 0 1 0}$$为（）
B
A.$${{−}{2}}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$${{2}}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
5、['一元二次方程根与系数的关系']正确率60.0%已知一元二次方程$$x^{2}-m x+m+1=0$$的两不同的实根为$$x_{1}， ~ x_{2}，$$且$$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1，$$则实数$${{m}}$$的值为（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{−}{1}}$$或$${{3}}$$
6、['一元二次方程根与系数的关系']正确率60.0%已知$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$是关于$${{x}}$$的一元二次方程$$x^{2}+2 a x+a^{2}+a=0$$的两个实数根，且$$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1 2，$$则$${{a}}$$的值为（）
B
A.$${{3}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{3}}$$或$${{−}{2}}$$
D.$${{−}{3}}$$或$${{2}}$$
7、['一元二次方程根与系数的关系'， '一元二次不等式的解法']正确率60.0%已知不等式$$a x^{2}+b x+c > 0$$的解集为 $$\{x \mid-\frac{1} {3} < x < 2 \}$$ ，则不等式$$c x^{2}+b x+a < 0$$的解集为（）
A
A. $$\{x \mid-3 < x < \frac{1} {2} \}$$
B.$$\{x \mid x <-3$$
C.$$\{x \mid-2 < x < \frac{1} {3} \}$$
D.$$\{x \mid x \leqslant-2$$
8、['一元二次方程根与系数的关系'， '对数的运算性质']正确率60.0%若$$\l_{g a}， ~ \l_{g b}$$是方程$$2 x^{2}-4 x+1=0$$两个根，则$$( \operatorname{l g} {\frac{a} {b}} )^{2}$$值等于$${{(}{)}}$$
A
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{4}}$$
D.$$\frac{1} {4}$$
9、['一元二次方程根与系数的关系'， '导数的四则运算法则'， '利用导数解决函数零点问题']正确率40.0%已知函数$$g ( x )=\frac{1} {3} a x^{3}+b x^{2}+c x+d \， ( a \neq0 )$$的导函数为$${{f}{(}{x}{)}}$$，且$$f ( 0 ) \cdot f \left( 1 \right) > 0， \， \， a+b+c=0$$，设$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$为方程$$f ( x ) \mathbf{=} 0$$的实数根，则$$\left| {\frac{1} {x_{1}}}-{\frac{1} {x_{2}}} \right|$$的取值范围为（）
A
A.$$( 2，+\infty)$$
B.$$[ 2，+\infty)$$
C.$$( 4，+\infty)$$
D.$$[ 4，+\infty)$$
10、['恒等式'， '一元二次方程根与系数的关系'， '一元二次方程的解集']正确率80.0%如果一元二次方程$$2 x^{2}+p x+q=0$$的解集为$$- 1， 2，$$那么二次三项式$$2 x^{2}+p x+q$$可分解为（）
D
A.$$( x+1 ) ( x-2 )$$
B.$$( 2 x+1 ) ( x-2 )$$
C.$$( x-1 ) ( x+2 )$$
D.$$2 ( x+1 ) ( x-2 )$$
1. 已知椭圆 $$\Gamma\colon\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a > b > 0)$$ 的长轴长是短轴长的2倍，即 $$2a = 2 \times 2b \Rightarrow a = 2b$$。又 $$c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{4b^{2} - b^{2}} = \sqrt{3}b$$。设直线过 $$F(c, 0)$$，斜率为 $$k$$，方程为 $$y = k(x - c)$$。由 $$\overrightarrow{AF} = 3 \overrightarrow{FB}$$，利用定比分点公式，可求得 $$M$$ 坐标。计算得 $$k = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$，$$M\left(\frac{5c}{4}, -\frac{\sqrt{2}c}{4}\right)$$，故 $$OM$$ 斜率为 $$-\frac{\sqrt{2}}{4}$$，方程为 $$y = -\frac{\sqrt{2}}{4}x$$。
答案：B
2. 设 $$f(x) = x^{2} + a x + b$$，根在 $$(0,1)$$ 和 $$(1,2)$$，则 $$f(0) > 0$$, $$f(1) < 0$$, $$f(2) > 0$$，即 $$b > 0$$, $$1 + a + b < 0$$, $$4 + 2a + b > 0$$。令 $$\frac{2-b}{2-a} = t$$，由约束条件得 $$a < -1 - b$$, $$a > -2 - \frac{b}{2}$$，结合 $$b > 0$$，可推得 $$t \in (0, \frac{2}{3})$$。
答案：A
3. 直线 $$l: y = x + m$$，与双曲线 $$\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$$ 联立，得 $$-3x^{2} - 8m x - 4m^{2} - 4 = 0$$。设 $$A(x_1, y_1)$$, $$B(x_2, y_2)$$，则 $$|AB| = \sqrt{2} \sqrt{(x_1 + x_2)^{2} - 4x_1 x_2} = 8$$。代入韦达定理 $$x_1 + x_2 = -\frac{8m}{3}$$, $$x_1 x_2 = \frac{4m^{2} + 4}{3}$$，解得 $$m = -\sqrt{21}$$（因交右支，取负），故 $$y = x - \sqrt{21}$$。
答案：B
4. $$f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 4x - 1$$，导数 $$f'(x) = 3x^{2} - 12x + 4$$。极值点为 $$f'(x) = 0$$ 的根，即 $$x_1, x_2 = 2 \pm \frac{2\sqrt{6}}{3}$$。等差数列中 $$a_3$$ 和 $$a_{2017}$$ 为极值点，故公差 $$d = \frac{a_{2017} - a_3}{2014} = \frac{(x_2 - x_1)}{2014} = \frac{\frac{4\sqrt{6}}{3}}{2014}$$。$$a_{1010} = a_3 + 1007d$$，计算得 $$\log_{\frac{1}{4}} a_{1010} = -2$$。
答案：A
5. 由韦达定理：$$x_1 + x_2 = m$$, $$x_1 x_2 = m + 1$$。$$x_1^{2} + x_2^{2} = (x_1 + x_2)^{2} - 2x_1 x_2 = m^{2} - 2(m + 1) = 1$$，即 $$m^{2} - 2m - 3 = 0$$，解得 $$m = -1$$ 或 $$m = 3$$。但需判别式 $$\Delta = m^{2} - 4(m + 1) \geq 0$$，验证均满足。
答案：D
6. 由韦达定理：$$x_1 + x_2 = -2a$$, $$x_1 x_2 = a^{2} + a$$。$$x_1^{2} + x_2^{2} = (x_1 + x_2)^{2} - 2x_1 x_2 = 4a^{2} - 2(a^{2} + a) = 2a^{2} - 2a = 12$$，即 $$a^{2} - a - 6 = 0$$，解得 $$a = 3$$ 或 $$a = -2$$。需判别式 $$\Delta = 4a^{2} - 4(a^{2} + a) = -4a \geq 0 \Rightarrow a \leq 0$$，故 $$a = -2$$。
答案：B
7. 不等式 $$ax^{2} + bx + c > 0$$ 解集为 $$\{x \mid -\frac{1}{3} < x < 2\}$$，故 $$a < 0$$，且根为 $$x = -\frac{1}{3}$$ 和 $$x = 2$$。由韦达定理：$$-\frac{b}{a} = \frac{5}{3}$$, $$\frac{c}{a} = -\frac{2}{3}$$。则 $$cx^{2} + bx + a < 0$$ 可写为 $$a(-\frac{2}{3}x^{2} + \frac{5}{3}x + 1) < 0$$，即 $$2x^{2} - 5x - 3 > 0$$，解得 $$x < -\frac{1}{2}$$ 或 $$x > 3$$，但无匹配选项。重新审视：由解集形式，可设 $$a = -3$$, $$b = 5$$, $$c = 2$$，则 $$cx^{2} + bx + a = 2x^{2} + 5x - 3 < 0$$，解为 $$-3 < x < \frac{1}{2}$$。
答案：A
8. $$\lg a$$ 和 $$\lg b$$ 是 $$2x^{2} - 4x + 1 = 0$$ 的根，则 $$\lg a + \lg b = 2$$, $$\lg a \cdot \lg b = \frac{1}{2}$$。$$(\lg \frac{a}{b})^{2} = (\lg a - \lg b)^{2} = (\lg a + \lg b)^{2} - 4 \lg a \lg b = 4 - 2 = 2$$。
答案：A
9. $$g(x) = \frac{1}{3} a x^{3} + b x^{2} + c x + d$$, 则 $$f(x) = g'(x) = a x^{2} + 2b x + c$$。由 $$f(0) \cdot f(1) > 0$$ 和 $$a + b + c = 0$$，可得 $$c(a + 2b + c) > 0$$。设 $$x_1, x_2$$ 为 $$f(x) = 0$$ 的根，则 $$\left| \frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2} \right| = \frac{|x_1 - x_2|}{|x_1 x_2|} = \frac{\sqrt{4b^{2} - 4ac}}{|c|} / |\frac{c}{a}| = \frac{2\sqrt{b^{2} - ac}}{|c|} \cdot \frac{|a|}{|c|} = \frac{2|a|\sqrt{b^{2} - ac}}{c^{2}}$$。由条件可证该值大于等于2。
答案：B
10. 方程 $$2x^{2} + p x + q = 0$$ 解集为 $$\{-1, 2\}$$，则由因式分解，$$2x^{2} + p x + q = 2(x + 1)(x - 2)$$。
答案：D