一元二次方程的解集-2.1 等式性质与不等式性质知识点课后进阶自测题答案-辽宁省等高一数学必修,平均正确率50.0%

1. 集合 $$A = \{-3, 0, 1, 2, 4\}$$，集合 $$B = \{x \in \mathbf{R} \mid x^2 \leq 4\}$$，即 $$B = [-2, 2]$$。

交集 $$A \cap B$$ 是 A 中属于 B 的元素：$$-3 \notin [-2,2]$$，$$0,1,2 \in [-2,2]$$，$$4 \notin [-2,2]$$。

所以 $$A \cap B = \{0, 1, 2\}$$，对应选项 B。

2. 方程：$$\frac{2 \cos 2\theta}{\cos \theta - \sin \theta} = \sqrt{3} \sin 2\theta$$。

左边分子：$$2 \cos 2\theta = 2(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)$$，分母：$$\cos \theta - \sin \theta$$。

化简左边：$$\frac{2(\cos \theta - \sin \theta)(\cos \theta + \sin \theta)}{\cos \theta - \sin \theta} = 2(\cos \theta + \sin \theta)$$，当 $$\cos \theta \neq \sin \theta$$。

方程变为：$$2(\cos \theta + \sin \theta) = \sqrt{3} \sin 2\theta$$。

右边：$$\sqrt{3} \sin 2\theta = 2\sqrt{3} \sin \theta \cos \theta$$。

两边除以 2：$$\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta$$。

设 $$t = \sin \theta + \cos \theta$$，则 $$\sin \theta \cos \theta = \frac{t^2 - 1}{2}$$。

代入：$$t = \sqrt{3} \cdot \frac{t^2 - 1}{2}$$，即 $$2t = \sqrt{3}(t^2 - 1)$$。

整理：$$\sqrt{3} t^2 - 2t - \sqrt{3} = 0$$。

解方程：$$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2\sqrt{3}} = \frac{2 \pm 4}{2\sqrt{3}}$$，即 $$t = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}$$ 或 $$t = \frac{-2}{2\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$$。

$$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = t^2 - 1$$。

若 $$t = \sqrt{3}$$，则 $$\sin 2\theta = 3 - 1 = 2$$，但 $$\sin 2\theta \leq 1$$，舍去。

若 $$t = -\frac{1}{\sqrt{3}}$$，则 $$\sin 2\theta = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$$。

所以 $$\sin 2\theta = -\frac{2}{3}$$，对应选项 C。

3. 方程：$$\frac{\sin^2 \theta + 4}{\cos \theta + 1} = 2$$。

两边乘以 $$\cos \theta + 1$$：$$\sin^2 \theta + 4 = 2(\cos \theta + 1)$$。

利用 $$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$$：$$1 - \cos^2 \theta + 4 = 2 \cos \theta + 2$$。

整理：$$-\cos^2 \theta + 5 = 2 \cos \theta + 2$$，即 $$-\cos^2 \theta - 2 \cos \theta + 3 = 0$$。

乘以 -1：$$\cos^2 \theta + 2 \cos \theta - 3 = 0$$。

解方程：$$\cos \theta = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}$$，即 $$\cos \theta = 1$$ 或 $$\cos \theta = -3$$（舍去）。

所以 $$\cos \theta = 1$$，则 $$\sin \theta = 0$$。

计算：$$(\cos \theta + 1)(\sin \theta + 1) = (1 + 1)(0 + 1) = 2 \times 1 = 2$$。

对应选项 D。

4. 椭圆 $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$，焦点 $$F_1(-c,0)$$，$$F_2(c,0)$$，$$c = \sqrt{a^2 - b^2}$$，离心率 $$e = \frac{c}{a}$$。

点 P 满足 $$PF_2 \perp F_1F_2$$，即 P 在 $$x = c$$ 上，代入椭圆：$$\frac{c^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$，解得 $$y = \pm \frac{b^2}{a}$$。

取 $$P(c, \frac{b^2}{a})$$。

向量 $$\overrightarrow{F_1P} = (c + c, \frac{b^2}{a} - 0) = (2c, \frac{b^2}{a})$$。

点 Q 在线段 $$PF_1$$ 上，且 $$\overrightarrow{F_1Q} = 2 \overrightarrow{QP}$$，即 Q 分 $$F_1P$$ 为 2:1。

设 Q 坐标：$$Q = \frac{1 \cdot F_1 + 2 \cdot P}{3} = \frac{(-c,0) + 2(c, \frac{b^2}{a})}{3} = (\frac{c}{3}, \frac{2b^2}{3a})$$。

向量 $$\overrightarrow{F_2Q} = (\frac{c}{3} - c, \frac{2b^2}{3a} - 0) = (-\frac{2c}{3}, \frac{2b^2}{3a})$$。

已知 $$\overrightarrow{F_1P} \cdot \overrightarrow{F_2Q} = 0$$：$$(2c, \frac{b^2}{a}) \cdot (-\frac{2c}{3}, \frac{2b^2}{3a}) = 0$$。

计算：$$2c \cdot (-\frac{2c}{3}) + \frac{b^2}{a} \cdot \frac{2b^2}{3a} = -\frac{4c^2}{3} + \frac{2b^4}{3a^2} = 0$$。

乘以 3：$$-4c^2 + \frac{2b^4}{a^2} = 0$$，即 $$\frac{2b^4}{a^2} = 4c^2$$，所以 $$b^4 = 2a^2 c^2$$。

代入 $$c^2 = a^2 - b^2$$：$$b^4 = 2a^2 (a^2 - b^2) = 2a^4 - 2a^2 b^2$$。

整理：$$b^4 + 2a^2 b^2 - 2a^4 = 0$$。

除以 $$a^4$$：$$\left(\frac{b^2}{a^2}\right)^2 + 2 \frac{b^2}{a^2} - 2 = 0$$。

设 $$t = \frac{b^2}{a^2}$$，则 $$t^2 + 2t - 2 = 0$$，解得 $$t = -1 \pm \sqrt{3}$$，取正 $$t = \sqrt{3} - 1$$。

$$e^2 = \frac{c^2}{a^2} = 1 - \frac{b^2}{a^2} = 1 - (\sqrt{3} - 1) = 2 - \sqrt{3}$$。

对应选项 C。

5. 抛物线 $$y^2 = 2px$$，焦点 $$F(\frac{p}{2}, 0)$$，准线 $$l: x = -\frac{p}{2}$$。

点 A 在抛物线上，设 $$A(x_1, y_1)$$，满足 $$y_1^2 = 2p x_1$$。

点 B 在准线上，设 $$B(-\frac{p}{2}, y_2)$$。

三角形 ABF 是等腰三角形，且 $$\angle BAF = 120^\circ$$。

由对称性，不妨设 A 在第一象限，且 AF = AB（等腰边）。

计算距离：$$AF = \sqrt{(x_1 - \frac{p}{2})^2 + y_1^2}$$，$$AB = \sqrt{(x_1 + \frac{p}{2})^2 + (y_1 - y_2)^2}$$。

利用抛物线性质：A 到焦点距离等于到准线距离，即 $$AF = x_1 + \frac{p}{2}$$。

设 AF = AB = d，则 $$d = x_1 + \frac{p}{2}$$。

在三角形 ABF 中，由余弦定理：$$BF^2 = AF^2 + AB^2 - 2 AF \cdot AB \cos 120^\circ = 2d^2 - 2d^2 (-\frac{1}{2}) = 3d^2$$。

所以 $$BF = \sqrt{3} d$$。

又 $$BF = \sqrt{(\frac{p}{2} + \frac{p}{2})^2 + (0 - y_2)^2} = \sqrt{p^2 + y_2^2}$$。

联立：$$\sqrt{p^2 + y_2^2} = \sqrt{3} d$$。

由 A 坐标和 d：$$x_1 = d - \frac{p}{2}$$，代入抛物线：$$y_1^2 = 2p(d - \frac{p}{2}) = 2pd - p^2$$。

又由 AB = d：$$(x_1 + \frac{p}{2})^2 + (y_1 - y_2)^2 = d^2$$，即 $$d^2 + (y_1 - y_2)^2 = d^2$$，所以 $$y_1 = y_2$$。

代入 BF：$$\sqrt{p^2 + y_1^2} = \sqrt{3} d$$。

平方：$$p^2 + y_1^2 = 3d^2$$。

但 $$y_1^2 = 2pd - p^2$$，代入：$$p^2 + 2pd - p^2 = 3d^2$$，即 $$2pd = 3d^2$$，所以 $$2p = 3d$$（d ≠ 0），即 $$d = \frac{2p}{3}$$。

面积：$$S = \frac{1}{2} AF \cdot AB \sin 120^\circ = \frac{1}{2} d^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} d^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{4p^2}{9} = \frac{\sqrt{3} p^2}{9}$$。

对应选项 C。

6. 集合 $$A = \{x \mid x(x-1)=0\} = \{0, 1\}$$。

A. $$1 \in A$$ 正确。

B. $$0 \notin A$$ 错误。

C. $$\{1\} \in A$$ 错误，因为 \{1\} 是集合，不是元素。

D. $$\{1,0\} \in A$$ 错误，同理。

所以只有 A 正确。

7. 集合 $$A = \{x \mid x^2 - 8x + 15 = 0\} = \{3, 5\}$$。

集合 $$B = \{x \mid ax - 1 = 0\}$$。

若 $$B \subseteq A$$，则 B 可能是空集或单元素集。

当 $$a = 0$$，方程无解，$$B = \emptyset$$，空集是任何集合的子集，成立。

当 $$a \neq 0$$，$$B = \{\frac{1}{a}\}$$，要 $$\frac{1}{a} \in A$$，即 $$\frac{1}{a} = 3$$ 或 $$\frac{1}{a} = 5$$，所以 $$a = \frac{1}{3}$$ 或 $$a = \frac{1}{5}$$。

综上，$$a = 0$$ 或 $$\frac{1}{3}$$ 或 $$\frac{1}{5}$$。

对应选项 D。

8. 集合 $$P = \{x \in N \mid 1 \leq x \leq 10\} = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$$。

集合 $$Q = \{x \mid x^2 + x - 6 = 0\} = \{2, -3\}$$。

交集 $$P \cap Q = \{2\}$$（因为 -3 不在 P 中）。

对应选项 D。

9. 函数 $$f(x) = \log_a (a^x + k)$$ 是“好函数”，需满足：

① 在定义域内单调：$$a > 0$$ 且 $$a \neq 1$$，$$a^x + k > 0$$。

若 $$a > 1$$，$$f(x)$$ 递增；若 $$0 < a < 1$$，$$f(x)$$ 递减。

② 存在区间 $$[m,n] \subseteq D$$，使 $$f(x)$$ 在 $$[m,n]$$ 上的值域为 $$[\frac{1}{2}m, \frac{1}{2}n]$$。

由于单调，有 $$f(m) = \frac{1}{2}m$$，$$f(n) = \frac{1}{2}n$$（若递增）或 $$f(m) = \frac{1}{2}n$$，$$f(n) = \frac{1}{2}m$$（若递减）。

考虑递增情况：$$\log_a (a^m + k) = \frac{1}{2}m$$，$$\log_a (a^n + k) = \frac{1}{2}n$$。

即 $$a^m + k = a^{m/2}$$，$$a^n + k = a^{n/2}$$。

所以 $$k = a^{m/2} - a^m$$，$$k = a^{n/2} - a^n$$。

令 $$t = a^{m/2}$$，$$s = a^{n/2}$$，则 $$k = t - t^2$$，$$k = s - s^2$$。

所以 $$t - t^2 = s - s^2$$，即 $$(t-s) - (t^2 - s^2) = (t-s)(1 - (t+s)) = 0$$。

由于 $$m < n$$，$$t \neq s$$，所以 $$t + s = 1$$。

则 $$k = t - t^2 = t(1-t)$$，由 $$t + s = 1$$，$$s = 1-t$$。

$$k = t(1-t)$$，$$0 < t < 1$$（因为 $$a^{m/2} > 0$$），最大值在 $$t = \frac{1}{2}$$ 时，$$k = \frac{1}{4}$$。

所以 $$k \in (0, \frac{1}{4}]$$。

类似讨论递减情况可得相同范围。

对应选项 D。

10. 集合 $$A = \{x \mid ax - 2 = 0\}$$。

集合 $$B = \{t \mid t^2 - 3t + 2 = 0\} = \{1, 2\}$$。

若 $$A \subseteq B$$，则 A 可能是空集或单元素集。

当 $$a = 0$$，方程无解，$$A = \emptyset$$，空集是任何集合的子集，成立。

当 $$a \neq 0$$，$$A = \{\frac{2}{a}\}$$，要 $$\frac{2}{a} \in B$$，即 $$\ _{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}