给定参数范围的恒成立问题-二次函数与一元二次方程、不等式知识点月考进阶自测题解析-新疆维吾尔自治区等高一数学必修,平均正确率46.0%

对于不等式 $$2a x^2 + a x - 3 > 0$$ 对任意 $$a \in [1, 3]$$ 恒成立，可以将其视为关于 $$a$$ 的线性不等式：$$(2x^2 + x)a - 3 > 0$$。由于 $$a$$ 的系数 $$2x^2 + x$$ 在 $$x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (0, +\infty)$$ 时为正，在 $$x \in (-\frac{1}{2}, 0)$$ 时为负。因此：

（1）当 $$2x^2 + x > 0$$ 时，不等式在 $$a=1$$ 时取最小值，即 $$2x^2 + x - 3 > 0$$，解得 $$x \in (-\infty, -1.5) \cup (1, +\infty)$$。

（2）当 $$2x^2 + x < 0$$ 时，不等式在 $$a=3$$ 时取最小值，即 $$6x^2 + 3x - 3 > 0$$，解得 $$x \in (-\infty, -1) \cup (0.5, +\infty)$$，但与 $$x \in (-\frac{1}{2}, 0)$$ 无交集。

综上，$$A = (-\infty, -1.5) \cup (1, +\infty)$$。

对于不等式 $$m x^2 + (m-1)x - m > 0$$ 对任意 $$x \in [1, 3]$$ 恒成立，可以将其整理为 $$m(x^2 + x - 1) > x$$。由于 $$x^2 + x - 1 > 0$$ 在 $$x \in [1, 3]$$ 上成立，因此 $$m > \frac{x}{x^2 + x - 1}$$。求右边函数的最大值，得 $$B = (\frac{3}{11}, +\infty)$$。

显然 $$A \subseteq \complement_R B = (-\infty, \frac{3}{11}]$$ 不成立，$$A \subseteq B$$ 不成立，$$B \subseteq \complement_R A = [-1.5, 1]$$ 不成立，$$B \subseteq A$$ 不成立。但注意到 $$A$$ 与 $$B$$ 的交集为空，因此 $$A \subseteq \complement_R B$$ 是正确的。

答案：A

不等式 $$3m^2 - \frac{1}{2}m > \sin \theta \cos \theta$$ 对任意 $$\theta \in \mathbb{R}$$ 恒成立。由于 $$\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$$，因此只需 $$3m^2 - \frac{1}{2}m > \frac{1}{2}$$，即 $$6m^2 - m - 1 > 0$$，解得 $$m \in (-\infty, -\frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)$$。

答案：B

不等式 $$x + \sqrt{xy} \leq a(x + 2y)$$ 对任意正实数 $$x, y$$ 成立。设 $$t = \sqrt{\frac{x}{y}}$$，则不等式化为 $$t^2 + t \leq a(t^2 + 2)$$，即 $$a \geq \frac{t^2 + t}{t^2 + 2}$$。求右边函数的最大值，通过求导可得最大值在 $$t = 1 + \sqrt{3}$$ 时取得，为 $$\frac{\sqrt{6} + 2}{4}$$。

答案：B

不等式 $$\frac{1}{8}(2t - t^2) \leq x^2 - 3x + 2 \leq 3 - t^2$$ 对 $$x \in [0, 2]$$ 恒成立。先求 $$x^2 - 3x + 2$$ 在 $$[0, 2]$$ 的最小值为 $$-\frac{1}{4}$$，最大值为 $$2$$。因此：

（1）$$\frac{1}{8}(2t - t^2) \leq -\frac{1}{4}$$，即 $$t^2 - 2t - 2 \geq 0$$，解得 $$t \leq 1 - \sqrt{3}$$ 或 $$t \geq 1 + \sqrt{3}$$。

（2）$$2 \leq 3 - t^2$$，即 $$t^2 \leq 1$$，解得 $$-1 \leq t \leq 1$$。

综合得 $$t \in [-1, 1 - \sqrt{3}]$$。

答案：C

函数 $$f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 16 \ln x$$ 的导数为 $$f'(x) = x - \frac{16}{x}$$。要求在区间 $$[a-1, a+2]$$ 上单调递减，即 $$f'(x) \leq 0$$ 对所有 $$x \in [a-1, a+2]$$ 成立。因此：

（1）$$a-1 > 0$$（因为 $$\ln x$$ 定义域要求），即 $$a > 1$$。

（2）$$f'(a+2) \leq 0$$，即 $$a+2 - \frac{16}{a+2} \leq 0$$，解得 $$a \leq 2$$。

综上，$$a \in (1, 2]$$。

答案：C

函数 $$f(x) = a e^x - x - a e$$ 的导数为 $$f'(x) = a e^x - 1$$。当 $$a \in (0, 1)$$ 时，$$f(x)$$ 在 $$x = -\ln a$$ 处取得最小值 $$f(-\ln a) = a \cdot \frac{1}{a} + \ln a - a e = 1 + \ln a - a e$$。当 $$a \in (-1, 0)$$ 时，$$f(x)$$ 无最小值。因此，$$k \leq 1 + \ln a - a e$$ 对所有 $$a \in (0, 1)$$ 成立。由于右边函数在 $$a \in (0, 1)$$ 的最大值为 $$0$$（当 $$a \to 0^+$$ 时），故 $$k \leq 0$$。

答案：C

不等式 $$a x^2 - x + 2 - a > 0$$ 对任意 $$a \in [0, 1]$$ 恒成立。可以将其视为关于 $$a$$ 的线性不等式：$$(x^2 - 1)a - x + 2 > 0$$。因此：

（1）当 $$x^2 - 1 > 0$$ 时，$$a=0$$ 时不等式为 $$-x + 2 > 0$$，即 $$x < 2$$；同时 $$a=1$$ 时不等式为 $$x^2 - x + 1 > 0$$，恒成立。故 $$x \in (-\infty, -1) \cup (1, 2)$$。

（2）当 $$x^2 - 1 < 0$$ 时，$$a=1$$ 时不等式为 $$x^2 - x + 1 > 0$$，恒成立；同时 $$a=0$$ 时不等式为 $$-x + 2 > 0$$，即 $$x < 2$$。故 $$x \in (-1, 1)$$。

（3）当 $$x^2 - 1 = 0$$ 时，$$x = \pm 1$$。对于 $$x=1$$，不等式为 $$1 > 0$$ 成立；对于 $$x=-1$$，不等式为 $$3 > 0$$ 成立。

综上，$$x \in (-\infty, 2)$$。

答案：A

不等式 $$(a-2)x^2 + 2(a-2)x - 4 < 0$$ 对任意实数 $$x$$ 成立。当 $$a=2$$ 时，不等式为 $$-4 < 0$$，恒成立。当 $$a \neq 2$$ 时，需满足：

（1）$$a-2 < 0$$，即 $$a < 2$$；

（2）判别式 $$4(a-2)^2 + 16(a-2) < 0$$，即 $$(a-2)(a+2) < 0$$，解得 $$-2 < a < 2$$。

综上，$$a \in (-2, 2]$$。

答案：A

函数 $$f(x)$$ 为偶函数，且当 $$x \geq 0$$ 时：

（1）$$0 \leq x < 1$$ 时，$$f(x) = -x^2 + 1$$ 单调递减；

（2）$$x \geq 1$$ 时，$$f(x) = 2 - 2^x$$ 单调递减。

不等式 $$f(1-x) \leq f(x+m)$$ 等价于 $$|1-x| \geq |x+m|$$。对 $$x \in [m, m+1]$$，分类讨论：

（1）若 $$m \geq -\frac{1}{2}$$，则 $$1-x \geq x+m$$ 对所有 $$x \in [m, m+1]$$ 成立，即 $$1 - 2x \geq m$$。由于 $$x$$ 的最大值为 $$m+1$$，需 $$1 - 2(m+1) \geq m$$，解得 $$m \leq -\frac{1}{3}$$。

（2）若 $$m < -\frac{1}{2}$$，需 $$1-x \geq -x-m$$，即 $$1 \geq -m$$，恒成立。

综上，$$m \leq -\frac{1}{3}$$，最小值为 $$-\frac{1}{3}$$。

答案：C