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正确率60.0%对于任意$$a \in[-1， ~ 1 ]，$$函数$$f ( x )=x^{2}+( a-4 ) x+4-2 a$$的值恒大于零，那么$${{x}}$$的取值范围是（）
B
A.$$( 1， ~ 3 )$$
B.$$(-\infty， ~ 1 ) \cup( 3， ~+\infty)$$
C.$$( 1， ~ 2 )$$
D.$$( 3， ~+\infty)$$
2、['在给定区间上恒成立问题'， '导数与最值'， '利用导数讨论函数单调性'， '给定参数范围的恒成立问题']正确率40.0%对任意$$x \in[ 0， \ \frac{\pi} {6} ]$$，任意$$y \in\begin{array} {c c} {( \mathbf{0}， ~ \mathbf{\tau}+\infty)} \\ \end{array}$$，不等式$$\frac y 4-2 \operatorname{c o s}^{2} x \geqslant a \operatorname{s i n} x-\frac9 y$$恒成立，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
A
A.$$( \ -\infty， \ 3 ]$$
B.$$[-2 \sqrt{2}， ~ 3 ]$$
C.$$[-2 \sqrt{2}， ~ 2 \sqrt{2} ]$$
D.$$[-3， ~ 3 ]$$
3、['导数与极值'， '给定参数范围的恒成立问题']正确率40.0%已知函数
在
处取得极值，对任意
恒成立，则
C
A.
B.
C.
D.
正确率60.0%若不等式$$| x-a^{2} |+| x-2 a | \geq a$$对任意实数$${{x}}$$恒成立，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
A
A.$${{a}{⩽}{1}}$$或$${{a}{⩾}{3}}$$
B.$${{a}{⩽}{1}}$$
C.$${{a}{⩾}{2}}$$
D.$${{a}{⩽}{2}}$$或$${{a}{⩾}{3}}$$
5、['在给定区间上恒成立问题'， '利用导数讨论函数单调性'， '导数中不等式恒成立与存在性问题'， '给定参数范围的恒成立问题']正确率60.0%若函数$$f ( x )=a x-l n x$$在$$[ 1， 2 ]$$上单调递增，则$${{a}}$$的取值范围是
A
A.$$[ 1，+\infty)$$
B.$$(-\infty， 1 ]$$
C.$$[ \frac{1} {2}，+\infty)$$
D.$$(-\infty， \frac{1} {2} ]$$
6、['导数与最值'， '利用导数讨论函数单调性'， '给定参数范围的恒成立问题']正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=( x^{2}+2 x+1 ) e^{x}$$，设$$t \in[-3，-1 ]$$，对任意$$x_{1}， ~ x_{2} \in[ t， t+2 ]$$，则$$| f ( x_{1} )-f ( x_{2} ) |$$的最大值为$${{(}{)}}$$
B
A.$$4 e^{-3}$$
B.$${{4}{e}}$$
C.$$4 e+e^{-3}$$
D.$${{4}{e}{+}{1}}$$
7、['对数的运算性质'， '给定参数范围的恒成立问题']正确率40.0%已知函数$$f \left( \textbf{x} \right)=l o g_{2} \ ( \textbf{x}^{2}+2 ) \cdot+a x$$，若对任意$$t \in~ (-1， ~ 3 ]$$，任意$${{x}{∈}{R}}$$，不等式$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)+f \left( \begin{matrix} {-x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right) \geq k t+1$$恒成立，则$${{k}}$$的最大值为
D
A.$${－{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$$- \frac{1} {3}$$
D.$$\frac{1} {3}$$
8、['在给定区间上恒成立问题'， '导数与单调性'， '导数与最值'， '导数与极值'， '给定参数范围的恒成立问题']正确率19.999999999999996%定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的导函数为$$f^{\prime} ( x )$$，且$$f ( x )=\frac{f^{\prime} ( 1 )} {e} e^{x}+\frac{f ( 0 )} {2} x^{2}-x$$，若存在实数$${{x}}$$使不等式$$f ( x ) \leqslant m^{2}-a m-3$$对于$$a \in[ 0， 2 ]$$恒成立，则实数$${{m}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
D
A.$$(-\infty，-2 ] \cup[ 2，+\infty)$$
B.$$(-\infty， 1-\sqrt{5} ] \cup[ 1+\sqrt{5}，+\infty)$$
C.$$(-\infty， 1-\sqrt{5} ] \cup[ 2，+\infty)$$
D.$$(-\infty，-2 ] \cup[ 1+\sqrt{5}，+\infty)$$
9、['在给定区间上恒成立问题'， '函数的最大(小)值'， '给定参数范围的恒成立问题']正确率40.0%当$$0 \leqslant x \leqslant2$$时，$$a <-x^{2}+2 x$$恒成立，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
C
A.$$(-\infty， 1 ]$$
B.$$(-\infty， 0 ]$$
C.$$(-\infty， 0 )$$
D.$$( 0，+\infty)$$
10、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '分段函数与方程、不等式问题'， '函数奇、偶性的定义'， '给定参数范围的恒成立问题'， '函数性质的综合应用']正确率19.999999999999996%设$${{f}{(}{x}{)}}$$是定义在$${{R}}$$上的偶函数，且当$${{x}{⩾}{0}}$$时，$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{}-x^{2}+1， \ 0 \leqslant x < 1，} \\ {} & {{} 2-2 x， \ x \geqslant1.} \\ \end{aligned} \right.$$若对任意的$${{x}{∈}{[}{m}}$$，$${{m}{+}{1}{]}}$$，不等式$$f ( 1-x ) \leqslant f ( x+m )$$恒成立，则实数$${{m}}$$的最大值是（）
B
A.$${{−}{1}}$$
B.$$- \frac{1} {3}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {3}$$
1. 解析：
函数 $$f(x) = x^2 + (a-4)x + 4 - 2a$$ 为二次函数，开口向上。要使其对所有 $$a \in [-1, 1]$$ 恒大于零，需满足判别式小于零且端点值大于零。
判别式：$$\Delta = (a-4)^2 - 4 \times 1 \times (4-2a) = a^2 - 8a + 16 - 16 + 8a = a^2$$。由于 $$a \in [-1, 1]$$，$$\Delta = a^2 \leq 1$$，不满足恒小于零。
转而考虑 $$f(x)$$ 在 $$a \in [-1, 1]$$ 的最小值大于零。将 $$f(x)$$ 视为关于 $$a$$ 的线性函数：$$f(x) = (x-2)a + (x^2 -4x +4)$$。
当 $$x=2$$ 时，$$f(2) = 0$$，不满足条件。当 $$x \neq 2$$ 时，$$f(x)$$ 在 $$a=-1$$ 或 $$a=1$$ 处取得最小值：
$$f(x, a=-1) = - (x-2) + (x^2 -4x +4) = x^2 -5x +6 > 0 \Rightarrow x < 2 \text{ 或 } x > 3$$
$$f(x, a=1) = (x-2) + (x^2 -4x +4) = x^2 -3x +2 > 0 \Rightarrow x < 1 \text{ 或 } x > 2$$
综合得 $$x < 1$$ 或 $$x > 3$$，故选 B。
2. 解析：
不等式 $$\frac{y}{4} - 2\cos^2 x \geq a \sin x - \frac{9}{y}$$ 对所有 $$y > 0$$ 和 $$x \in [0, \frac{\pi}{6}]$$ 恒成立。
整理得：$$\frac{y}{4} + \frac{9}{y} \geq 2\cos^2 x + a \sin x$$。
左边的最小值：由 AM-GM 不等式，$$\frac{y}{4} + \frac{9}{y} \geq 2 \sqrt{\frac{y}{4} \cdot \frac{9}{y}} = 3$$，当 $$y=6$$ 时取等。
右边 $$2\cos^2 x + a \sin x = 2(1-\sin^2 x) + a \sin x = -2\sin^2 x + a \sin x + 2$$。
设 $$t = \sin x$$，$$t \in [0, \frac{1}{2}]$$，则右边为 $$-2t^2 + a t + 2$$，需其最大值不超过 3。
求导得极值点 $$t = \frac{a}{4}$$。若 $$\frac{a}{4} \leq \frac{1}{2}$$（即 $$a \leq 2$$），则最大值为 $$-2(\frac{a}{4})^2 + a \cdot \frac{a}{4} + 2 = \frac{a^2}{8} + 2 \leq 3 \Rightarrow a^2 \leq 8 \Rightarrow -2\sqrt{2} \leq a \leq 2\sqrt{2}$$。
若 $$a > 2$$，最大值在 $$t=\frac{1}{2}$$ 处取得：$$-2(\frac{1}{2})^2 + a \cdot \frac{1}{2} + 2 = \frac{a}{2} + \frac{3}{2} \leq 3 \Rightarrow a \leq 3$$。
综上，$$a \in [-2\sqrt{2}, 3]$$，故选 B。
3. 解析：
函数 $$f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}ax^2 + bx + c$$ 在 $$x=0$$ 处取得极值，故 $$f'(0) = 0$$。求导得 $$f'(x) = x^2 + a x + b$$，代入 $$x=0$$ 得 $$b=0$$。
不等式 $$f(1) \geq f(0)$$ 即 $$\frac{1}{3} + \frac{a}{2} + c \geq c \Rightarrow \frac{a}{2} \geq -\frac{1}{3} \Rightarrow a \geq -\frac{2}{3}$$。
又 $$f(x)$$ 在 $$x=0$$ 处取得极小值，故二阶导数 $$f''(0) > 0$$。$$f''(x) = 2x + a$$，代入 $$x=0$$ 得 $$a > 0$$。
综上，$$a \geq 0$$，但题目选项不完整，暂无法确定。
4. 解析：
不等式 $$|x - a^2| + |x - 2a| \geq a$$ 对所有实数 $$x$$ 恒成立。左边的最小值为 $$|a^2 - 2a|$$（当 $$x$$ 在 $$a^2$$ 和 $$2a$$ 之间时取到）。
故需 $$|a^2 - 2a| \geq a$$。分两种情况：
1. $$a^2 - 2a \geq a \Rightarrow a^2 - 3a \geq 0 \Rightarrow a \leq 0 \text{ 或 } a \geq 3$$；
2. $$a^2 - 2a \leq -a \Rightarrow a^2 - a \leq 0 \Rightarrow 0 \leq a \leq 1$$。
综上，$$a \leq 1$$ 或 $$a \geq 3$$，但需验证 $$a=0$$ 和 $$a=1$$：
- $$a=0$$ 时不等式成立；
- $$a=1$$ 时左边最小值为 $$|1-2|=1 \geq 1$$ 成立。
故选 A。
5. 解析：
函数 $$f(x) = a x - \ln x$$ 在 $$[1, 2]$$ 上单调递增，需导数 $$f'(x) = a - \frac{1}{x} \geq 0$$ 对所有 $$x \in [1, 2]$$ 成立。
即 $$a \geq \frac{1}{x}$$ 的最大值，而 $$\frac{1}{x}$$ 在 $$[1, 2]$$ 的最大值为 1，故 $$a \geq 1$$，选 A。
6. 解析：
函数 $$f(x) = (x^2 + 2x + 1)e^x = (x+1)^2 e^x$$，求导得 $$f'(x) = (x^2 + 4x + 3)e^x$$，临界点为 $$x=-1$$ 和 $$x=-3$$。
在 $$t \in [-3, -1]$$ 和 $$x \in [t, t+2]$$ 上，$$f(x)$$ 的最大值和最小值可能出现在端点或临界点。计算得：
- $$f(-3) = 4e^{-3}$$，$$f(-1) = 0$$，$$f(1) = 4e$$。
故最大差值为 $$4e - 0 = 4e$$，选 B。
7. 解析：
函数 $$f(x) = \log_2(x^2 + 2) + a x$$，不等式 $$f(x) + f(-x) \geq k t + 1$$ 对所有 $$t \in (-1, 3]$$ 和 $$x \in \mathbb{R}$$ 成立。
计算 $$f(x) + f(-x) = 2\log_2(x^2 + 2)$$，最小值为 $$2\log_2 2 = 2$$（当 $$x=0$$ 时取到）。
故需 $$2 \geq k t + 1$$ 对所有 $$t \in (-1, 3]$$ 成立，即 $$k t \leq 1$$。
当 $$k > 0$$ 时，$$t \leq \frac{1}{k}$$，需 $$\frac{1}{k} \geq 3 \Rightarrow k \leq \frac{1}{3}$$；
当 $$k < 0$$ 时，$$t \geq \frac{1}{k}$$，需 $$\frac{1}{k} \leq -1 \Rightarrow k \geq -1$$。
综上，$$k \in [-1, \frac{1}{3}]$$，最大值为 $$\frac{1}{3}$$，选 D。
8. 解析：
函数 $$f(x) = \frac{f'(1)}{e} e^x + \frac{f(0)}{2} x^2 - x$$，求导得 $$f'(x) = \frac{f'(1)}{e} e^x + f(0) x - 1$$。
代入 $$x=1$$ 得 $$f'(1) = \frac{f'(1)}{e} e + f(0) - 1 \Rightarrow f(0) = 1$$；
代入 $$x=0$$ 得 $$f(0) = \frac{f'(1)}{e} + 0 - 0 \Rightarrow f'(1) = e$$。
故 $$f(x) = e^{x-1} + \frac{1}{2} x^2 - x$$，不等式 $$f(x) \leq m^2 - a m - 3$$ 对所有 $$a \in [0, 2]$$ 成立。
右边的最小值为 $$m^2 - 2m - 3$$（当 $$a=2$$ 时），故需 $$f(x) \leq m^2 - 2m - 3$$ 对所有 $$x$$ 成立。
求 $$f(x)$$ 的最大值：$$f'(x) = e^{x-1} + x - 1$$，$$f''(x) = e^{x-1} + 1 > 0$$，故 $$f'(x)$$ 单调递增，临界点为 $$x=0$$。
$$f(0) = e^{-1} \approx 0.368$$，$$f(2) = e + 2 - 2 = e \approx 2.718$$，故最大值为 $$e$$。
需 $$e \leq m^2 - 2m - 3 \Rightarrow m^2 - 2m - 3 - e \geq 0$$，解得 $$m \leq 1 - \sqrt{4 + e}$$ 或 $$m \geq 1 + \sqrt{4 + e}$$。
近似计算得 $$\sqrt{4 + e} \approx \sqrt{6.718} \approx 2.59$$，故 $$m \leq -1.59$$ 或 $$m \geq 3.59$$，最接近选项为 D。
9. 解析：
不等式 $$a < -x^2 + 2x$$ 对所有 $$x \in [0, 2]$$ 成立。右边函数 $$g(x) = -x^2 + 2x$$ 在 $$[0, 2]$$ 上的最小值为 $$g(0) = 0$$ 和 $$g(2) = 0$$，最大值为 $$g(1) = 1$$。
故需 $$a < 0$$，选 C。
10. 解析：
函数 $$f(x)$$ 为偶函数，当 $$x \geq 0$$ 时定义为：
$$f(x) = \begin{cases} -x^2 + 1, & 0 \leq x < 1 \\ 2 - 2x, & x \geq 1 \end{cases}$$
不等式 $$f(1 - x) \leq f(x + m)$$ 对所有 $$x \in [m, m+1]$$ 成立。
由于 $$f(x)$$ 在 $$x \geq 0$$ 上递减，故需 $$|1 - x| \geq |x + m|$$。
解得 $$1 - x \geq x + m$$ 或 $$1 - x \leq -x - m$$，即 $$m \leq 1 - 2x$$ 或 $$m \leq -1$$。
对 $$x \in [m, m+1]$$，$$m \leq -1$$ 时恒成立；否则需 $$m \leq 1 - 2(m+1) \Rightarrow m \leq -\frac{1}{3}$$。
故 $$m$$ 的最大值为 $$-\frac{1}{3}$$，选 B。