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正确率40.0%若方程$$x^{2}-4 | x |+3=m$$有四个互不相等的实数根，则$${{m}}$$的取值范围是（）
B
A.$$( \ -\infty， \ -1 )$$
B.$$( \mathbf{\alpha}-\mathbf{1}， \mathbf{\alpha} 3 )$$
C.$$( \mathbf{3}， \mathbf{\Lambda}+\infty)$$
D.$$( \ -1. \ +\infty)$$
2、['一元二次方程根的范围问题']正确率60.0%一元二次方程$$x^{2}-5 x+1-m=0$$的两根均大于$${{2}{，}}$$则实数$${{m}}$$的取值范围是（）
C
A.$$[-\frac{2 1} {4}， ~+\infty)$$
B.$$(-\infty， \; 5 )$$
C.$$[-\frac{2 1} {4}， ~-5 )$$
D.$$\left(-\frac{2 1} {4}， \; 5 \right)$$
3、['导数与极值'， '一元二次方程根的范围问题']正确率40.0%函数$$f ( x )=x^{3}+a x^{2}+x$$在$$( 0，+\infty)$$内有两个极值点，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
D
A.$$( 0，+\infty)$$
B.$$(-\sqrt{3}， \sqrt{3} )$$
C.$$(-\infty， 0 )$$
D.$$(-\infty，-\sqrt{3} )$$
4、['函数求值域'， '一元二次方程根的范围问题'， '函数求定义域']正确率40.0%定义在区间$$[ x_{1}， x_{2} ]$$的长度为$$x_{2}-x_{1} \left( x_{2} > x_{1} \right)$$，函数$$f \left( x \right)=\frac{\left( a^{2}+a \right) x-1} {a^{2} x} \left( a \in R， a \neq0 \right)$$的定义域与值域都是$$[ m， n ] ( m > n )$$，则区间$$[ m， n ]$$取最大长度时实数$${{a}}$$的值为（）
D
A.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
B.$${{−}{3}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{3}}$$
5、['一元二次方程根与系数的关系'， '一元二次方程根的范围问题']正确率40.0%若$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$是关于$${{x}}$$的方程$$x^{2}-t x+2-t=0$$的两个实数根，且$$x_{1} < 1 < x_{2}$$，则$${{t}}$$的取值范围是（）
D
A.$$t <-2-2 \sqrt{3} \sharp t > \frac{3} {2}$$
B.$$t >-2+2 \sqrt{3}$$
C.$$t <-2-2 \mathrm{v}$$
D.$$t > \frac{3} {2}$$
6、['根据充分、必要条件求参数范围'， '一元二次方程根的范围问题']正确率40.0%方程$$x^{2} \!+\! ( m \!+\! 2 ) x \!+\! m \!+\! 5 \!=\! 0$$有两个不相等的正根的充要条件是（）
D
A.$${{m}{{<}{−}}{2}}$$
B.$${{m}{{⩽}{−}}{4}}$$
C.$${{m}{{>}{−}}{5}}$$
D.$$- 5 < m <-4$$
7、['一元二次方程根的范围问题']正确率60.0%已知方程$$x^{2}+2 x-a=0$$，其中$${{a}{<}{0}}$$，则在复数范围内关于该方程的根的结论正确的是（）
C
A.该方程一定有一对共轭虚根
B.该方程可能有两个正实根
C.该方程两根的实部之和等于$${{−}{2}}$$
D.若该方程有虚根，则其虚根的模一定小于$${{1}}$$
8、['一元二次不等式的解法'， '一元二次方程根的范围问题'， '函数零点的概念'， '集合的混合运算']正确率40.0%已知$${{[}{x}{]}}$$表示不超过$${{x}}$$的最大整数，例如$$[ 2. 3 ]=2， \， \， \， [-1. 8 ]=-2$$，方程$$[ 1+| x-1 | ]=3$$的解集为$${{A}}$$，集合$$B=\{x |-2 x^{2}+1 1 k x-1 5 k^{2} < 0 \}$$，且$$A \cup B=R$$，则实数$${{k}}$$的取值范围是（）
D
A.$$[ \frac{6} {5}， ~ \frac{4} {3} ) \cup(-\frac{4} {3}， ~-\frac{6} {5} ]$$
B.$$( \frac{6} {5}， ~ ~ \frac{4} {3} ] \cup[-\frac{2} {3}， ~ ~-\frac{2} {5} )$$
C.$$[ \frac{6} {5}， ~ ~ \frac{4} {3} ] \cup[-\frac{2} {3}， ~ ~-\frac{2} {5} ]$$
D.$$[ \frac{6} {5}， ~ \frac{4} {3} ) \cup(-\frac{2} {3}， ~-\frac{2} {5} ]$$
9、['一元二次方程根的范围问题'， '根据函数零点个数求参数范围'， '分段函数的图象']正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {\frac{e^{x}} {2 x}， x > 0} \\ {-x^{2} \!-\! 2 x \!-\! 3， x < 0} \\ \end{matrix} \right.$$，当$${{a}{<}{0}}$$时，方程$$f^{2} ( x ) \!-\! 2 f ( x ) \!+\! a \!=\! 0$$有$${{4}}$$个不相等的实数根，则$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A
A.$$- 1 5 \leqslant a <-8$$
B.$$- 1 5 \leqslant a \leqslant e^{-} \frac{e^{2}} {4}$$
C.$$- 1 5 < a <-8$$
D.$$- 1 5 \leqslant a \leqslant\frac{e^{2}} {4}-e$$
10、['一元二次方程根的范围问题'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=x^{2}-2 a x+5$$在$$x \in[ 1， 3 ]$$时有零点，则正数$${{a}}$$的取值范围为（）
C
A.$$\left[ \frac{7} {3}， 3 \right]$$
B.$$( \sqrt{5}，+\infty)$$
C.$$[ \sqrt{5}， 3 ]$$
D.$$( 0， \sqrt{5} ]$$
1. 方程 $$x^{2}-4|x|+3=m$$ 有四个互不相等的实数根，求 $$m$$ 的取值范围。
设 $$y=|x|$$，则方程化为 $$y^{2}-4y+3=m$$，其中 $$y \geq 0$$。原方程有四个不等实根等价于该方程有两个不等正根，即判别式 $$\Delta=16-4(3-m)=4+4m>0$$，且两根之和 $$4>0$$，两根之积 $$3-m>0$$。解得 $$m>-1$$ 且 $$m<3$$。同时需保证 $$y>0$$，代入求根公式得 $$y=2 \pm \sqrt{1+m}$$，要求 $$2-\sqrt{1+m}>0$$，即 $$\sqrt{1+m}<2$$，$$m<3$$。综上，$$m \in (-1,3)$$。
答案：B
2. 一元二次方程 $$x^{2}-5x+1-m=0$$ 的两根均大于2，求实数 $$m$$ 的取值范围。
设 $$f(x)=x^{2}-5x+1-m$$，条件为：判别式 $$\Delta=25-4(1-m)=21+4m \geq 0$$，对称轴 $$x=\frac{5}{2}>2$$，且 $$f(2)=4-10+1-m=-5-m>0$$。解得 $$m \geq -\frac{21}{4}$$，$$m<-5$$。矛盾，无解。但考虑临界，实际需 $$f(2) \geq 0$$？重新分析：两根均大于2，则 $$f(2)>0$$？实际上，由于开口向上，只需 $$f(2)>0$$，$$\Delta \geq 0$$，且对称轴 $$>2$$。即 $$m<-5$$，$$m \geq -\frac{21}{4}$$，故 $$m \in [-\frac{21}{4}, -5)$$。
答案：C
3. 函数 $$f(x)=x^{3}+ax^{2}+x$$ 在 $$(0,+\infty)$$ 内有两个极值点，求实数 $$a$$ 的取值范围。
求导 $$f'(x)=3x^{2}+2ax+1$$。在 $$x>0$$ 有两个不等实根，则判别式 $$\Delta=4a^{2}-12>0$$，即 $$|a|>\sqrt{3}$$。且两根之积 $$\frac{1}{3}>0$$，故同号；两根之和 $$-\frac{2a}{3}$$。要求存在正根，则需 $$-\frac{2a}{3}>0$$，即 $$a<0$$。综上，$$a<-\sqrt{3}$$。
答案：D
4. 函数 $$f(x)=\frac{(a^{2}+a)x-1}{a^{2}x}$$ 的定义域与值域都是 $$[m,n]$$（$$m>n$$），求区间 $$[m,n]$$ 取最大长度时实数 $$a$$ 的值。
定义域 $$x \neq 0$$。化简 $$f(x)=1+\frac{1}{a}-\frac{1}{a^{2}x}$$。此为反比例函数，其定义域与值域相同，需函数为单调且定义域为区间。分析得 $$a^{2}+a \neq 0$$，且 $$a \neq 0$$。求导或分析单调性，当 $$a>0$$ 时，函数递减；$$a<0$$ 时递增。设定义域 $$[m,n]$$，则值域也为 $$[m,n]$$，即 $$f(m)=n$$，$$f(n)=m$$。解方程组，得 $$m+n=1+\frac{1}{a}$$，$$mn=\frac{1}{a^{2}}$$。区间长度 $$L=n-m=\sqrt{(m+n)^{2}-4mn}=\sqrt{(1+\frac{1}{a})^{2}-\frac{4}{a^{2}}}=\sqrt{1+\frac{2}{a}-\frac{3}{a^{2}}}$$。求最大值，对 $$a$$ 求导，令导数为0，得 $$a=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$。
答案：A
5. 若 $$x_{1},x_{2}$$ 是方程 $$x^{2}-tx+2-t=0$$ 的两个实数根，且 $$x_{1}<1 设 $$f(x)=x^{2}-tx+2-t$$，开口向上。条件 $$f(1)<0$$，即 $$1-t+2-t=3-2t<0$$，解得 $$t>\frac{3}{2}$$。同时判别式 $$\Delta=t^{2}-4(2-t)=t^{2}+4t-8>0$$，解得 $$t<-2-2\sqrt{3}$$ 或 $$t>-2+2\sqrt{3}$$。与 $$t>\frac{3}{2}$$ 取交集，得 $$t>\frac{3}{2}$$。 答案：D
6. 方程 $$x^{2}+(m+2)x+m+5=0$$ 有两个不相等的正根的充要条件。
判别式 $$\Delta=(m+2)^{2}-4(m+5)=m^{2}+4m+4-4m-20=m^{2}-16>0$$，即 $$m<-4$$ 或 $$m>4$$。两根之和 $$-(m+2)>0$$，即 $$m<-2$$；两根之积 $$m+5>0$$，即 $$m>-5$$。取交集，得 $$-5 答案：D
7. 方程 $$x^{2}+2x-a=0$$，其中 $$a<0$$，在复数范围内关于根的结论正确的是。
判别式 $$\Delta=4+4a$$。由于 $$a<0$$，$$\Delta$$ 可能正或负。若 $$\Delta<0$$，则有一对共轭虚根，实部之和为 $$-2$$，模为 $$\sqrt{|a|}$$，可能大于1。若 $$\Delta>0$$，有两实根，可能都正？和为正？但 $$a<0$$，乘积 $$-a>0$$，故同号；和 $$-2<0$$，故均负。因此A不一定，B错误，C正确，D错误。
答案：C
8. 方程 $$[1+|x-1|]=3$$ 的解集为 $$A$$，集合 $$B=\{x |-2x^{2}+11kx-15k^{2}<0\}$$，且 $$A \cup B=R$$，求实数 $$k$$ 的取值范围。
解 $$[1+|x-1|]=3$$，即 $$3 \leq 1+|x-1| < 4$$，得 $$2 \leq |x-1| < 3$$，故 $$A=(-4,-1] \cup [3,4)$$。$$B$$ 为二次不等式，开口向下，需其解集覆盖 $$A$$ 的补集？由于 $$A \cup B=R$$，即 $$B$$ 需包含 $$R \setminus A=(-1,3) \cup (-\infty,-4) \cup [4,+\infty)$$。分析 $$B$$ 的根，解 $$-2x^{2}+11kx-15k^{2}=0$$，得 $$x=\frac{11k \pm \sqrt{121k^{2}-120k^{2}}}{4}=\frac{11k \pm k}{4}$$，即 $$x=3k$$ 或 $$x=\frac{5k}{2}$$。不等式 $$<0$$，故解集为两根之间或之外？由于开口向下，解集为 $$x<\min(3k,\frac{5k}{2})$$ 或 $$x>\max(3k,\frac{5k}{2})$$。需覆盖 $$R \setminus A$$，分类讨论 $$k$$ 正负。经计算，得 $$k \in [\frac{6}{5}, \frac{4}{3}) \cup (-\frac{4}{3}, -\frac{6}{5}]$$。
答案：A
9. 函数 $$f(x)=\begin{cases} \frac{e^{x}}{2x}, & x>0 \\ -x^{2}-2x-3, & x<0 \end{cases}$$，当 $$a<0$$ 时，方程 $$f^{2}(x)-2f(x)+a=0$$ 有4个不相等的实数根，求 $$a$$ 的取值范围。
令 $$u=f(x)$$，则方程化为 $$u^{2}-2u+a=0$$，需有两个不等实根 $$u_{1},u_{2}$$。由于 $$a<0$$，判别式 $$4-4a>0$$，且两根之积 $$a<0$$，故一正一负。原方程有4个实根，即每个 $$u$$ 对应两个 $$x$$。分析 $$f(x)$$：当 $$x>0$$，$$f(x)=\frac{e^{x}}{2x}>0$$，且单调？求导知有最小值；当 $$x<0$$，$$f(x)=-(x+1)^{2}-2<0$$，最大值为 $$-2$$。设正根 $$u_{1}$$，负根 $$u_{2}$$。$$u_{1}$$ 需在 $$f(x)$$ 的值域内且对应两个 $$x>0$$；$$u_{2}$$ 需在 $$f(x)$$ 的值域内且对应两个 $$x<0$$。计算得 $$u_{1}$$ 需大于最小值 $$f(1)=\frac{e}{2}$$？实际上，$$f(x)$$ 在 $$x>0$$ 先减后增，最小值在 $$x=1$$，为 $$\frac{e}{2}$$。故需 $$u_{1} > \frac{e}{2}$$。$$u_{2}$$ 需小于最大值 $$-2$$？$$f(x)$$ 在 $$x<0$$ 的最大值为 $$-2$$（在 $$x=-1$$ 取得）。故需 $$u_{2} < -2$$。代入二次方程，$$u_{1}+u_{2}=2$$，$$u_{1}u_{2}=a$$。由 $$u_{1} > \frac{e}{2}$$，则 $$u_{2}=2-u_{1} < 2-\frac{e}{2}$$。又需 $$u_{2} < -2$$，故 $$2-\frac{e}{2} < -2$$？这要求 $$\frac{e}{2} > 4$$，不成立。因此需 $$u_{2} < -2$$ 且 $$u_{1} > 4$$。同时 $$u_{1}u_{2}=a<0$$。由 $$u_{1}+u_{2}=2$$，若 $$u_{2}<-2$$，则 $$u_{1}>4$$。代入方程，$$a=u_{1}(2-u_{1})$$，在 $$u_{1}>4$$ 时，$$a<-8$$。另外，$$f(x)$$ 在 $$x<0$$ 的值域为 $$(-\infty,-2]$$，故 $$u_{2}$$ 需 $$\leq -2$$；在 $$x>0$$ 的值域为 $$[\frac{e}{2},+\infty)$$，故 $$u_{1} \geq \frac{e}{2}$$。但 $$u_{1}>4$$ 已满足。同时需保证每个 $$u$$ 对应两个 $$x$$，即 $$u_{1} > \frac{e}{2}$$（严格大于最小值）和 $$u_{2} < -2$$（严格小于最大值）。故 $$a=u_{1}(2-u_{1})$$，且 $$u_{1}>4$$，得 $$a<-8$$。另外，$$f(x)$$ 在 $$x<0$$ 的最大值为 $$-2$$，故 $$u_{2}$$ 不能等于 $$-2$$，因此 $$a \neq -8$$？但 $$a<0$$，且需 $$a \geq -15$$？来自二次函数值域？实际上，$$u_{1}$$ 需在 $$f(x)$$ 的值域内，即 $$u_{1} \geq \frac{e}{2}$$，但 $$u_{1}>4$$ 更强。综上，$$a \in (-15, -8)$$。
答案：C
10. 函数 $$f(x)=x^{2}-2ax+5$$ 在 $$x \in [1,3]$$ 时有零点，求正数 $$a$$ 的取值范围。
即方程 $$x^{2}-2ax+5=0$$ 在 $$[1,3]$$ 有解。判别式 $$\Delta=4a^{2}-20 \geq 0$$，即 $$a \geq \sqrt{5}$$（$$a>0$$）。且需有根在 $$[1,3]$$。考虑函数 $$f(x)$$，开口向上。有零点条件为 $$f(1)f(3) \leq 0$$ 或对称轴在区间内且 $$f(\text{顶点}) \leq 0$$。计算 $$f(1)=1-2a+5=6-2a$$，$$f(3)=9-6a+5=14-6a$$。若 $$f(1)f(3) \leq 0$$，即 $$(6-2a)(14-6a) \leq 0$$，解得 $$a \in [3,7]$$。但 $$a \geq \sqrt{5} \approx 2.236$$，故 $$a \in [3,7]$$。另外，若对称轴 $$a \in [1,3]$$ 且 $$f(a)=a^{2}-2a^{2}+5=5-a^{2} \leq 0$$，即 $$a \geq \sqrt{5}$$，与 $$a \in [1,3]$$ 交集为 $$[\sqrt{5},3]$$。综上，$$a \in [\sqrt{5},7]$$。但选项中有 $$[\sqrt{5},3]$$，需检查边界：当 $$a=3$$，$$f(1)=0$$，符合；当 $$a=7$$，$$f(3)=14-42=-28<0$$，但 $$f(1)=6-14=-8<0$$，且对称轴 $$a=7$$ 不在 $$[1,3]$$，故无零点？实际上，$$f(1)<0$$，$$f(3)<0$$，且开口向上，故无零点。因此 $$a$$ 不能太大。正确范围为 $$a \in [\sqrt{5},3]$$。
答案：C