一元二次不等式的解法-2.3 二次函数与一元二次方程、不等式知识点课后进阶自测题解析-江西省等高一数学必修,平均正确率55.99999999999999%

1. 解析：

首先解集合 $$A$$ 的不等式 $$2x^2 - 3x - 2 < 0$$。

求方程 $$2x^2 - 3x - 2 = 0$$ 的根：$$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}$$，即 $$x = 2$$ 或 $$x = -\frac{1}{2}$$。

因为二次函数开口向上，所以不等式解为 $$-\frac{1}{2} < x < 2$$，即 $$A = \left(-\frac{1}{2}, 2\right)$$。

集合 $$B = \{x \mid x < 1\}$$，即 $$B = (-\infty, 1)$$。

因此，$$A \cup B = (-\infty, 2)$$，对应选项 D。

2. 解析：

解集合 $$A$$ 的不等式 $$x^2 + x - 6 < 0$$。

求方程 $$x^2 + x - 6 = 0$$ 的根：$$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}$$，即 $$x = 2$$ 或 $$x = -3$$。

因为二次函数开口向上，所以不等式解为 $$-3 < x < 2$$，即 $$A = (-3, 2)$$。

集合 $$B = (-2, 2)$$，则 $$C_A B = A \setminus B = (-3, -2]$$，对应选项 B。

3. 解析：

解集合 $$M$$ 的不等式 $$x^2 + x - 2 \leq 0$$。

求方程 $$x^2 + x - 2 = 0$$ 的根：$$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$，即 $$x = 1$$ 或 $$x = -2$$。

因为二次函数开口向上，所以不等式解为 $$-2 \leq x \leq 1$$，即 $$M = [-2, 1]$$。

集合 $$N = \{-2, -1, 1, 2\}$$，则 $$M \cap N = \{-2, -1, 1\}$$，对应选项 D。

4. 解析：

函数 $$f(x) = \frac{\sqrt{6 + x - x^2}}{x - 1}$$ 的定义域需满足：

1. 根号内非负：$$6 + x - x^2 \geq 0$$，即 $$x^2 - x - 6 \leq 0$$。

解方程 $$x^2 - x - 6 = 0$$ 得 $$x = 3$$ 或 $$x = -2$$，所以 $$-2 \leq x \leq 3$$。

2. 分母不为零：$$x - 1 \neq 0$$，即 $$x \neq 1$$。

综上，定义域为 $$[-2, 1) \cup (1, 3]$$，对应选项 D。

5. 解析：

将方程 $$x^2 + y^2 + a x + 2 a y + 2 a^2 + a - 1 = 0$$ 化为标准圆方程形式：

$$(x + \frac{a}{2})^2 + (y + a)^2 = -\frac{3}{4}a^2 - a + 1$$。

右边必须大于零：$$-\frac{3}{4}a^2 - a + 1 > 0$$，即 $$3a^2 + 4a - 4 < 0$$。

解方程 $$3a^2 + 4a - 4 = 0$$ 得 $$a = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{6} = \frac{-4 \pm 8}{6}$$，即 $$a = \frac{2}{3}$$ 或 $$a = -2$$。

因为二次函数开口向上，所以不等式解为 $$-2 < a < \frac{2}{3}$$，对应选项 D。

6. 解析：

设点 $$P$$ 在直线 $$k x + 1 - y = 0$$ 上，即 $$P(x, k x + 1)$$。

由 $$PA \perp PB$$，得向量 $$\overrightarrow{PA} = (1 - x, -k x - 1)$$ 与 $$\overrightarrow{PB} = (3 - x, -k x - 1)$$ 的点积为零：

$$(1 - x)(3 - x) + (-k x - 1)^2 = 0$$。

展开整理得：$$(k^2 + 1)x^2 + (2k - 4)x + 4 = 0$$。

要求此方程有实数解，判别式 $$\Delta \geq 0$$：

$$(2k - 4)^2 - 16(k^2 + 1) \geq 0$$，即 $$4k^2 - 16k + 16 - 16k^2 - 16 \geq 0$$。

化简得 $$-12k^2 - 16k \geq 0$$，即 $$12k^2 + 16k \leq 0$$，解为 $$-\frac{4}{3} \leq k \leq 0$$，对应选项 A。

7. 解析：

函数 $$f(x) = \sqrt{m x^2 + 2 x + 1}$$ 的定义域为一切实数，即 $$m x^2 + 2 x + 1 \geq 0$$ 对所有 $$x$$ 成立。

当 $$m = 0$$ 时，不等式为 $$2x + 1 \geq 0$$，不满足对所有 $$x$$ 成立。

当 $$m > 0$$ 时，需判别式 $$\Delta \leq 0$$：$$4 - 4m \leq 0$$，即 $$m \geq 1$$。

综上，$$m \geq 1$$，对应选项 C。

8. 解析：

函数 $$y = \sqrt{x^2 - 5x + 6}$$ 的定义域为 $$x^2 - 5x + 6 \geq 0$$。

解方程 $$x^2 - 5x + 6 = 0$$ 得 $$x = 2$$ 或 $$x = 3$$，因为二次函数开口向上，所以定义域为 $$x \leq 2$$ 或 $$x \geq 3$$。

函数 $$y$$ 的递增区间为 $$x \geq 3$$，对应选项 D。

9. 解析：

集合 $$B$$ 的不等式 $$x^2 - 3x > 0$$ 的解为 $$x < 0$$ 或 $$x > 3$$，即 $$B = (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$$。

集合 $$A = \{-1, 0, 1, 2, 3\}$$，所以 $$A \cap B = \{-1, 3\}$$，对应选项 C。

10. 解析：

不等式 $$x^2 - 3|x| < 0$$ 分两种情况讨论：

1. 当 $$x \geq 0$$ 时，不等式为 $$x^2 - 3x < 0$$，解为 $$0 < x < 3$$。

2. 当 $$x < 0$$ 时，不等式为 $$x^2 + 3x < 0$$，解为 $$-3 < x < 0$$。

综上，解集为 $$-3 < x < 0$$ 或 $$0 < x < 3$$，对应选项 B。