一元二次方程根的范围问题-2.3 二次函数与一元二次方程、不等式知识点考前进阶自测题解析-甘肃省等高一数学必修,平均正确率38.0%

1、['一元二次方程根的范围问题'， '充要条件'， '函数零点存在定理']

正确率40.0%条件 $\text{[math]}$ 是$${{“}}$$函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=x^{2}+t x-t$$有零点$${{”}}$$的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

2、['一元二次方程根的范围问题'， '常见函数的零点'， '函数零点的概念'， '二次函数的图象分析与判断']

正确率40.0%若方程$$x^{2}-4 | x |+3=m$$有四个互不相等的实数根，则$${{m}}$$的取值范围是（）

A.$$( \ -\infty， \ -1 )$$

B.$$( \mathbf{\alpha}-\mathbf{1}， \mathbf{\alpha} 3 )$$

C.$$( \mathbf{3}， \mathbf{\Lambda}+\infty)$$

D.$$( \ -1. \ +\infty)$$

3、['一元二次方程根的范围问题']

正确率60.0%若关于$${{x}}$$的方程$$- x^{2}+a x+4=0$$的两个实根中一个小于$${{−}{1}{，}}$$另一个大于$${{2}{，}}$$则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$( 0， \ 3 )$$

B.$$[ 0， \ 3 ]$$

C.$$(-3， \ 0 )$$

D.$$(-\infty， ~ 0 ) \cup( 3， ~+\infty)$$

4、['一元二次方程根与系数的关系'， '一元二次方程根的范围问题']

正确率40.0%若$${{α}{，}{β}}$$是方程$$x^{2}-k x+8=0$$的两个相异实根，则一定有（）

A.$$| \alpha| \geqslant3$$且$$| \beta| > 3$$

B.$$| \alpha+\beta| < 4 \sqrt{2}$$

C.$$| \alpha| > 2$$且$$| \beta| > 2$$

D.$$| \alpha+\beta| > 4 \sqrt{2}$$

5、['导数与单调性'， '导数与极值'， '一元二次方程根的范围问题']

正确率19.999999999999996%已知$${{e}}$$为自然对数的底数，设函数$$f ( x )=\frac{1} {2} x^{2}-a x+b l n x$$存在极大值点$${{x}_{0}}$$，且对于$${{a}}$$的任意可能取值，恒有极大值$$f \left( \begin{matrix} {x_{0}} \\ \end{matrix} \right) \ < 0$$，则下列结论中正确的是（）

A.存在$${{x}_{0}{=}{\sqrt {b}}}$$，使得$$f ( x_{0} ) <-\frac{1} {2 e}$$

B.存在$${{x}_{0}{=}{\sqrt {b}}}$$，使得$$f ( x_{0} ) >-e^{2}$$

C.$${{b}}$$的最大值为$${{e}^{3}}$$

D.$${{b}}$$的最大值为$${{2}{{e}^{2}}}$$

6、['一元二次方程根的范围问题'， '分段函数的图象']

正确率19.999999999999996%函数$$f ( x )=\frac{| x |} {| x |-1}$$，如果方程$$\left[ f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \right]^{2}-m f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ +2 m-3=0$$有$${{4}}$$个不同的实数解，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）

A.$$(-\infty， ~ {\frac{3} {2}} ) \cup~ ( 6， ~+\infty)$$

B.$$( \frac{3} {2}， \ 2 )$$

C. $\text{[math]}$

D.$$( \mathrm{\bf~ 2， ~}+\infty)$$

7、['分段函数与方程、不等式问题'， '一元二次方程根的范围问题'， '已知函数值（值域）求自变量或参数'， '不等式的解集与不等式组的解集'， '一元二次方程根的符号问题'， '对数的运算性质'， '分段函数求值']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {x+1， x < 3，} \\ {\operatorname{l o g}_{2} x， x \geq3，} \\ \end{aligned} \right.$$且$$f ( f ( 4 ) )=a$$.若实数$${{x}{，}{y}}$$满足$$a^{x+2}+( a^{2} )^{y}=a^{x+2 y+1}$$，则$$a^{x}+( a^{2} )^{y}$$的最小值是（）

A.$$\frac{1 0} {3}$$

B.$${{4}}$$

C.$$\frac{1 6} {3}$$

D.$${{6}}$$

8、['函数的新定义问题'， '函数求值域'， '一元二次方程根的范围问题'， '根据函数零点个数求参数范围'， '函数单调性的判断']

正确率40.0%函数$$y=f ( x )$$的定义域为$${{D}}$$，且$${{f}{(}{x}{)}}$$同时满足以下条件：
$\text{[math]}$ 在$${{D}}$$上是单调递增或单调递减函数；$${②}$$存在闭区间$$[ a， b ] \subsetneq D ($$其中$${{a}{<}{b}{)}}$$，使得当$$x \in[ a， b ]$$时，$${{f}{(}{x}{)}}$$的取值集合也是$$[ a， b ]$$.那么，我们称函数$$y=f ( x ) ( x \in D )$$是闭函数．若$$f ( x )=k+\sqrt{x+2}$$是闭函数，则实数$${{k}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$(-\frac{9} {4}，-2 )$$

B.$$(-\frac{9} {4}，-2 ]$$

C.$$(-\frac{9} {2}，-2 ]$$

D.$$[-\frac{9} {4}，-2 ]$$

9、['一元二次方程根的范围问题'， '根据函数零点个数求参数范围']

正确率40.0%若函数$$y=\frac{x^{2}+t x+9} {x} ( x > 0 )$$有两个零点，则实数$${{t}}$$的取值范围是（）

A.$$( \ -3， \ \ +\infty)$$

B.$$( \mathrm{~}-\infty， \mathrm{~}-3 )$$

C.$$( ~-6， ~+\infty)$$

D.$$( \mathrm{\aleph\，} \infty， \ \mathrm{\aleph\，} 6 )$$

10、['一元二次方程根的范围问题'， '按元素的个数多少分']

正确率40.0%用$${{d}{（}{A}{）}}$$表示集合$${{A}}$$中的元素个数，若集合$$A=\{0， \， \， \， 1 \}， \， \， \， B=\{x | \， \， ( \， x^{2}-a x ) \， \， \， \， \， ( \， x^{2}-a x+1 ) \， \， \，=0 \}$$，且$$\left| d ( \textit{A} ) \textit{-d} ( \textit{B} ) \right|=1$$．设实数$${{a}}$$的所有可能取值构成集合$${{M}}$$，则$$\textit{d} ( M ) ~=~ ($$）

A.$${{3}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{1}}$$

D.$${{4}}$$

1. 解析：函数 $$f(x) = x^2 + t x - t$$ 有零点等价于判别式 $$\Delta = t^2 + 4t \geq 0$$，解得 $$t \leq -4$$ 或 $$t \geq 0$$。题目条件 $$t \leq -4$$ 是 $$t \leq -4$$ 或 $$t \geq 0$$ 的真子集，因此是充分不必要条件。答案为 A。

2. 解析：方程 $$x^2 - 4|x| + 3 = m$$ 可化为 $$|x|^2 - 4|x| + 3 = m$$。设 $$y = |x|$$，则 $$y \geq 0$$，方程为 $$y^2 - 4y + 3 = m$$。求导得顶点在 $$y = 2$$ 处，此时 $$m = -1$$。为使原方程有四个不等实根，需 $$-1 < m < 3$$。答案为 B。

3. 解析：设 $$f(x) = -x^2 + a x + 4$$，由题意 $$f(-1) > 0$$ 且 $$f(2) > 0$$，即 $$-1 - a + 4 > 0$$ 且 $$-4 + 2a + 4 > 0$$，解得 $$a < 3$$ 且 $$a > 0$$。答案为 A。

4. 解析：由韦达定理，$$\alpha + \beta = k$$，$$\alpha \beta = 8$$。因为 $$\alpha \neq \beta$$，判别式 $$\Delta = k^2 - 32 > 0$$，即 $$|k| > 4\sqrt{2}$$。又 $$|\alpha + \beta| = |k| > 4\sqrt{2}$$，故答案为 D。

5. 解析：函数 $$f(x) = \frac{1}{2}x^2 - a x + b \ln x$$ 的导数为 $$f'(x) = x - a + \frac{b}{x}$$。极大值点 $$x_0$$ 满足 $$f'(x_0) = 0$$，即 $$x_0^2 - a x_0 + b = 0$$。由极大值 $$f(x_0) < 0$$ 代入得 $$\frac{1}{2}x_0^2 - a x_0 + b \ln x_0 < 0$$。结合 $$x_0^2 = a x_0 - b$$，化简得 $$b \ln x_0 - \frac{1}{2}b < 0$$，即 $$\ln x_0 < \frac{1}{2}$$，故 $$x_0 < \sqrt{e}$$。进一步分析可得 $$b$$ 的最大值为 $$e^3$$。答案为 C。

6. 解析：设 $$f(x) = \frac{|x|}{|x| - 1}$$，方程化为 $$f(x)^2 - m f(x) + 2m - 3 = 0$$。令 $$y = f(x)$$，则 $$y^2 - m y + 2m - 3 = 0$$。为使原方程有4个解，需 $$y$$ 方程有两个解且 $$y \neq \pm 1$$，且每个 $$y$$ 对应两个 $$x$$。解得 $$m \in (2, 3) \cup (6, +\infty)$$。答案为 C。

7. 解析：计算 $$f(4) = \log_2 4 = 2$$，$$f(f(4)) = f(2) = 3 = a$$。方程化为 $$3^{x+2} + 9^y = 3^{x+2y+1}$$，化简得 $$3^{x+1} + 3^{2y} = 3^{x+2y}$$。设 $$u = x + 1$$，$$v = 2y$$，则 $$3^u + 3^v = 3^{u+v}$$。解得 $$u = 0$$ 或 $$v = 0$$。分别代入求最小值，答案为 C $$\frac{16}{3}$$。

8. 解析：函数 $$f(x) = k + \sqrt{x + 2}$$ 在定义域 $$[-2, +\infty)$$ 上单调递增。闭函数条件要求存在 $$[a, b]$$ 使得 $$f(a) = a$$ 且 $$f(b) = b$$。解得 $$k = a - \sqrt{a + 2}$$ 且 $$k = b - \sqrt{b + 2}$$。分析可得 $$k \in \left[-\frac{9}{4}, -2\right]$$。答案为 D。

9. 解析：方程 $$\frac{x^2 + t x + 9}{x} = 0$$ 化为 $$x^2 + t x + 9 = 0$$，$$x > 0$$。有两个正根需判别式 $$\Delta = t^2 - 36 > 0$$ 且 $$-t > 0$$，即 $$t < -6$$。答案为 D。

10. 解析：集合 $$A$$ 有 2 个元素。方程 $$(x^2 - a x)(x^2 - a x + 1) = 0$$ 的解为 $$x = 0$$、$$x = a$$ 或 $$x^2 - a x + 1 = 0$$。后者判别式 $$\Delta = a^2 - 4$$。根据 $$|d(A) - d(B)| = 1$$，分情况讨论得 $$a$$ 的可能取值为 $$0$$、$$2$$、$$-2$$。故 $$d(M) = 3$$。答案为 A。

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