在给定区间上恒成立问题-二次函数与一元二次方程、不等式知识点教师选题进阶单选题自测题答案-黑龙江省等高一数学必修,平均正确率44.00000000000001%

1、['在给定区间上恒成立问题'， '函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '由图象（表）求三角函数的解析式'， '截距的定义'， '正弦曲线的对称轴'， '正弦（型）函数的定义域和值域']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=A \operatorname{s i n} ( 2 x+\varphi)-\frac{1} {2} ( A > 0， 0 < \varphi< \frac{\pi} {2} )$$的图象在$${{y}}$$轴上的截距为$${{1}}$$，且关于直线$$x=\frac{\pi} {1 2}$$对称，若对于任意的$$x \in[ 0， \frac{\pi} {2} ]$$，都有$${{m}^{2}{−}{3}{m}{⩽}{f}{(}{x}{)}}$$，则实数$${{m}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$

A.$$[ 1， \frac{3} {2} ]$$

B.$${{[}{1}{，}{2}{]}}$$

C.$$[ \frac{3} {2}， 2 ]$$

D.$$[ \frac{3-\sqrt{3}} {2}， \frac{3+\sqrt{3}} {2} ]$$

2、['在给定区间上恒成立问题'， '利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题'， '函数单调性的判断']

正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=x+\frac{t} {x} ( x > 0 )$$过点$${{P}{(}{1}{，}{0}{)}}$$作曲线$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$的两条切线$${{P}{M}{，}{P}{N}}$$，切点分别为$${{M}{，}{N}}$$，设$${{g}{(}{t}{)}{=}{|}{M}{N}{|}}$$，若对任意的正整数$${{n}}$$，在区间$$[ 2， n+\frac{6 4} {n} ]$$内，若存在$${{m}{+}{1}}$$个数$${{a}_{1}}$$，$${{a}_{2}}$$，$$\ldots a_{m+1}$$，使得不等式$$g ( a_{1} )+g ( a_{2} )+\ldots g ( a_{m} ) < g ( a_{m+1} )$$，则$${{m}}$$的最大值为（）

A.$${{5}}$$

B.$${{6}}$$

C.$${{7}}$$

D.$${{8}}$$

3、['在给定区间上恒成立问题'， '数列的函数特征'， '数列的通项公式']

正确率40.0%数列$${{\{}{{n}^{2}}{−}{2}{λ}{n}{\}}{(}{n}{∈}{N}{∗}{)}}$$为递增数列，则$${{λ}}$$的取值范围是（）

A.$$(-\infty， \frac{1} {2} )$$

B.$${{(}{−}{∞}{，}{1}{)}}$$

C.$$(-\infty， \frac{3} {2} )$$

D.$${{(}{−}{∞}{，}{2}{)}}$$

4、['在给定区间上恒成立问题']

正确率40.0%已知集合$${{A}{=}{\{}{t}{|}{{t}^{2}}{−}{4}{⩽}{0}{\}}}$$，对于满足集合$${{A}}$$的所有实数$${{t}}$$，则使不等式$${{x}^{2}{+}{t}{x}{−}{t}{>}{2}{x}{−}{1}}$$恒成立的$${{x}}$$的取值范围是（）

A.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{1}{)}{∪}{(}{3}{，}{+}{∞}{)}}$$

B.$${{(}{−}{∞}{，}{1}{)}{∪}{(}{3}{，}{+}{∞}{)}}$$

C.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{1}{)}}$$

D.$${{(}{3}{，}{+}{∞}{)}}$$

5、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '在给定区间上恒成立问题'， '分段函数的单调性']

正确率40.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{|}{{x}^{2}}{−}{1}{|}{+}{{x}^{2}}{+}{k}{x}}$$．若对于区间$${（{0}{，}{+}{∞}{）}}$$内的任意$${{x}}$$，总有$${{f}{（}{x}{）}{⩾}{0}}$$成立，求实数$${{k}}$$的取值范围为（）

A.$${{[}{0}{，}{+}{∞}{）}}$$

B.$${{[}{−}{2}{，}{+}{∞}{）}}$$

C.$${（{−}{2}{，}{+}{∞}{）}}$$

D.$${{[}{−}{1}{，}{+}{∞}{）}}$$

6、['在给定区间上恒成立问题'， '一元二次不等式的解法']

正确率60.0%当$${{a}{∈}{{[}{−}{1}{，}{1}{]}}}$$时，不等式$${{x}^{2}{+}{{(}{a}{−}{4}{)}}{x}{+}{4}{−}{2}{a}{>}{0}}$$恒成立，则$${{x}}$$的取值范围为（）

A.$${{(}{−}{∞}{，}{1}{)}{∪}{{(}{3}{，}{+}{∞}{)}}}$$

B.$${{(}{−}{∞}{，}{1}{)}{∪}{{(}{2}{，}{+}{∞}{)}}}$$

C.$${{(}{−}{∞}{，}{2}{)}{∪}{{(}{3}{，}{+}{∞}{)}}}$$

D.$${{(}{1}{，}{3}{)}}$$

7、['在给定区间上恒成立问题'， '导数与单调性']

正确率60.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{x}^{2}}{+}{2}{x}{+}{a}{l}{n}{x}}$$，若函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{(}{0}{，}{1}{)}}$$上单调，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$${{a}{⩾}{0}}$$

B.$${{a}{<}{−}{4}}$$

C.$${{a}{⩾}{0}}$$或$${{a}{⩽}{−}{4}}$$

D.$${{a}{>}{0}}$$或$${{a}{<}{−}{4}}$$

8、['在给定区间上恒成立问题'， '导数与最值'， '已知函数值（值域）求自变量或参数'， '二次函数的图象分析与判断']

正确率40.0%若函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{array} {l l} {x e^{x}} & {， x \leqslant0} \\ {a x^{2}-2 x} & {， x > 0} \\ \end{array} \right.$$的值域为$$[-\frac{1} {e}，+\infty)$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是

A.$${{(}{0}{，}{e}{)}}$$

B.$${{(}{e}{，}{+}{∞}{)}}$$

C.$${{(}{0}{，}{e}{]}}$$

D.$${{[}{e}{，}{+}{∞}{)}}$$

9、['在给定区间上恒成立问题'， '函数的最大(小)值'， '二次函数的图象分析与判断']

正确率60.0%若关于$${{x}}$$的不等式$${{x}^{2}{−}{4}{x}{⩾}{m}}$$对$${{x}{∈}{（}{0}{，}{1}{]}}$$恒成立，则（）

A.$${{m}{⩾}{−}{3}}$$

B.$${{m}{⩽}{−}{3}}$$

C.$${{−}{3}{⩽}{m}{<}{0}}$$

D.$${{m}{⩾}{−}{4}}$$

10、['在给定区间上恒成立问题'， '复合函数的单调性判定']

正确率40.0%若函数 $${{f}}$$( $${{x}}$$$${{)}{=}{{l}{o}{g}}}$$ $${_{a}}$$$$( x^{2}+\frac{3} {2} x ) ($$ $${{a}}$$$${{>}{0}}$$， $${{a}}$$$${{≠}{1}{)}}$$在区间$$\left( \frac1 2，+\infty\right)$$内恒有 $${{f}}$$( $${{x}}$$$${{)}{>}{0}}$$，则 $${{f}}$$( $${{x}}$$)的单调递增区间为$${{(}{)}}$$

A.$${{(}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$

B.$${{(}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$

C.$${{(}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$

D.$$\left( \frac1 2，+\infty\right)$$

以下是各题的详细解析：

1. 函数$$f(x) = A \sin(2x + \varphi) - \frac{1}{2}$$在$$y$$轴上的截距为1，即$$f(0) = A \sin \varphi - \frac{1}{2} = 1$$，解得$$A \sin \varphi = \frac{3}{2}$$。又因为函数关于直线$$x = \frac{\pi}{12}$$对称，所以$$2 \cdot \frac{\pi}{12} + \varphi = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，结合$$0 < \varphi < \frac{\pi}{2}$$，得$$\varphi = \frac{\pi}{3}$$，$$A = \sqrt{3}$$。因此$$f(x) = \sqrt{3} \sin(2x + \frac{\pi}{3}) - \frac{1}{2}$$。在$$x \in [0, \frac{\pi}{2}]$$时，$$f(x)$$的最小值为$$-2$$。由不等式$$m^2 - 3m \leq -2$$解得$$m \in [1, 2]$$，故选B。

2. 函数$$f(x) = x + \frac{t}{x}$$过点$$P(1, 0)$$，代入得$$t = -1$$。求切线方程，设切点为$$(a, a - \frac{1}{a})$$，切线斜率为$$1 + \frac{1}{a^2}$$，切线方程为$$y = (1 + \frac{1}{a^2})(x - 1)$$。代入切点得$$a = \pm 1$$，因此切点为$$M(1, 0)$$和$$N(-1, 0)$$，$$g(t) = |MN| = 2$$。题目转化为在区间$$[2, n + \frac{64}{n}]$$内存在$$m+1$$个数满足不等式，显然$$m$$的最大值为5，故选A。

3. 数列$$\{n^2 - 2\lambda n\}$$为递增数列，即$$(n+1)^2 - 2\lambda(n+1) > n^2 - 2\lambda n$$对所有$$n \in \mathbb{N}^*$$成立。化简得$$2n + 1 - 2\lambda > 0$$，即$$\lambda < n + \frac{1}{2}$$。由于需对所有$$n$$成立，取$$n=1$$得$$\lambda < \frac{3}{2}$$，故选C。

4. 集合$$A = \{t \mid t^2 - 4 \leq 0\}$$即$$t \in [-2, 2]$$。不等式$$x^2 + tx - t > 2x - 1$$恒成立，整理为$$x^2 + (t - 2)x - t + 1 > 0$$。对$$t \in [-2, 2]$$，判别式$$(t - 2)^2 - 4(-t + 1) = t^2 + 4t$$需小于0，但无解。因此需$$x^2 - 2x + 1 > 0$$（当$$t = 0$$）和$$x^2 + 2x - 1 > 0$$（当$$t = 2$$）同时成立，解得$$x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$$，故选A。

5. 函数$$f(x) = |x^2 - 1| + x^2 + kx$$在$$(0, +\infty)$$内非负。当$$x \geq 1$$时，$$f(x) = 2x^2 + kx - 1 \geq 0$$，需$$k \geq -2$$；当$$0 < x < 1$$时，$$f(x) = kx + 1 \geq 0$$，需$$k \geq -1$$。综合得$$k \geq -1$$，故选D。

6. 不等式$$x^2 + (a - 4)x + 4 - 2a > 0$$对$$a \in [-1, 1]$$恒成立。整理为$$(x - 2)a + x^2 - 4x + 4 > 0$$，视为关于$$a$$的线性函数，需在端点成立：当$$a = -1$$时，$$x^2 - 5x + 6 > 0$$；当$$a = 1$$时，$$x^2 - 3x + 2 > 0$$。解得$$x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$$，故选A。

7. 函数$$f(x) = x^2 + 2x + a \ln x$$在$$(0, 1)$$上单调，导数$$f'(x) = 2x + 2 + \frac{a}{x}$$需恒非正或恒非负。若$$f'(x) \geq 0$$，则$$a \geq -2x^2 - 2x$$，在$$(0, 1)$$上$$-2x^2 - 2x \in (-4, 0)$$，故$$a \geq 0$$；若$$f'(x) \leq 0$$，则$$a \leq -2x^2 - 2x$$，需$$a \leq -4$$。因此$$a \geq 0$$或$$a \leq -4$$，故选C。

8. 函数$$f(x)$$的值域为$$[-\frac{1}{e}, +\infty)$$。当$$x \leq 0$$时，$$f(x) = x e^x$$的最小值为$$-\frac{1}{e}$$；当$$x > 0$$时，$$f(x) = a x^2 - 2x$$需覆盖$$[0, +\infty)$$。若$$a \leq 0$$，不满足；若$$a > 0$$，需判别式$$\Delta = 4 - 4a \cdot 0 \geq 0$$，即$$a > 0$$。进一步分析得$$a \geq e$$，故选D。

9. 不等式$$x^2 - 4x \geq m$$对$$x \in (0, 1]$$恒成立。函数$$g(x) = x^2 - 4x$$在$$(0, 1]$$上的最小值为$$g(1) = -3$$，因此$$m \leq -3$$，故选B。

10. 函数$$f(x) = \log_a (x^2 + \frac{3}{2}x)$$在$$\left(\frac{1}{2}, +\infty\right)$$内恒有$$f(x) > 0$$，即$$x^2 + \frac{3}{2}x > 1$$，解得$$x > \frac{1}{2}$$。若$$a > 1$$，需$$x^2 + \frac{3}{2}x > 1$$恒成立；若$$0 < a < 1$$，需$$0 < x^2 + \frac{3}{2}x < 1$$，矛盾。因此$$a > 1$$，且$$f(x)$$的单调递增区间为$$(2, +\infty)$$，故选B。

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