二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系-二次函数与一元二次方程、不等式知识点教师选题进阶自测题解析-陕西省等高一数学必修,平均正确率48.0%

1. 解析：

函数 $$y = f(x^2 - 2x) + f(x - 2λ)$$ 与 $$x$$ 轴只有一个交点，即方程 $$f(x^2 - 2x) + f(x - 2λ) = 0$$ 有唯一解。由于 $$f(x)$$ 是奇函数，有 $$f(-a) = -f(a)$$，因此方程可化为 $$f(x^2 - 2x) = f(2λ - x)$$。由于 $$f(x)$$ 单调，故 $$x^2 - 2x = 2λ - x$$，即 $$x^2 - x - 2λ = 0$$。要求唯一解，判别式 $$Δ = 1 + 8λ = 0$$，解得 $$λ = -\frac{1}{8}$$。故选 B。

2. 解析：

由题意，$$a$$ 和 $$b$$ 是方程 $$x^2 + mx + n = 0$$ 的两个不同的零点，且 $$a + b = -m$$，$$ab = n$$。由于 $$a, b, -1$$ 可适当排序成等差或等比数列，有两种情况：

1. 若 $$-1$$ 为等差中项，则 $$2a = b - 1$$ 或 $$2b = a - 1$$，结合 $$a + b = -m$$ 和 $$ab = n$$，解得 $$m = -1$$，$$n = 2$$，此时 $$m + n = 1$$（不符合选项）。

2. 若 $$-1$$ 为等比中项，则 $$a \times b = (-1)^2 = 1$$，即 $$n = 1$$，且 $$a + b = -m$$。再结合等差条件，假设 $$a, -1, b$$ 为等差，则 $$2(-1) = a + b$$，即 $$a + b = -2$$，故 $$m = 2$$。但 $$m < 0$$，矛盾。另一种情况 $$b, -1, a$$ 同理。

重新考虑等比情况：设 $$a, b, -1$$ 为等比，公比为 $$r$$，则 $$b = ar$$，$$-1 = ar^2$$，解得 $$a = -\frac{1}{r^2}$$，$$b = -\frac{1}{r}$$。代入 $$a + b = -m$$ 和 $$ab = n$$，并结合等差条件，最终解得 $$m = -\frac{5}{2}$$，$$n = 1$$，故 $$m + n = -\frac{3}{2}$$。故选 A。

3. 解析：

不等式 $$ax^2 + bx + 1 > 0$$ 的解集为 $$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{3}$$，说明 $$a < 0$$，且 $$-\frac{1}{2}$$ 和 $$\frac{1}{3}$$ 是方程 $$ax^2 + bx + 1 = 0$$ 的根。由韦达定理：

$$-\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = -\frac{b}{a}$$，解得 $$\frac{b}{a} = \frac{1}{6}$$；

$$-\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{a}$$，解得 $$a = -6$$，进而 $$b = -1$$。故选 B。

4. 解析：

不等式 $$ax^2 + bx + c > 0$$ 的解集为 $$x < -2$$ 或 $$x > 4$$，说明 $$a > 0$$，且 $$-2$$ 和 $$4$$ 是方程 $$ax^2 + bx + c = 0$$ 的根。由韦达定理：

$$-2 + 4 = -\frac{b}{a}$$，解得 $$b = -2a$$；

$$-2 \times 4 = \frac{c}{a}$$，解得 $$c = -8a$$。

函数 $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ 的对称轴为 $$x = -\frac{b}{2a} = 1$$，开口向上。因此，$$f(5)$$、$$f(2)$$、$$f(-1)$$ 的值分别为：

$$f(5) = 25a + 5b + c = 25a - 10a - 8a = 7a$$；

$$f(2) = 4a + 2b + c = 4a - 4a - 8a = -8a$$；

$$f(-1) = a - b + c = a + 2a - 8a = -5a$$。

由于 $$a > 0$$，故 $$f(2) < f(-1) < f(5)$$。故选 D。

5. 解析：

二次函数 $$f(x) = 2x^2 + bx - 3$$ 的判别式为 $$Δ = b^2 - 4 \times 2 \times (-3) = b^2 + 24 > 0$$ 对所有实数 $$b$$ 成立，因此函数有两个不同的零点。故选 C。

6. 解析：

不等式 $$a(x+1)(x-3) + 1 > 0$$ 的解集为 $$(x_1, x_2)$$，说明 $$a < 0$$，且 $$x_1$$ 和 $$x_2$$ 是方程 $$a(x+1)(x-3) + 1 = 0$$ 的根。展开方程：

$$a(x^2 - 2x - 3) + 1 = 0$$，即 $$ax^2 - 2ax - 3a + 1 = 0$$。

由韦达定理：

$$x_1 + x_2 = 2$$（A 正确）；

$$x_1 x_2 = \frac{-3a + 1}{a} = -3 + \frac{1}{a} < -3$$（B 正确）；

判别式 $$Δ = 4a^2 - 4a(-3a + 1) = 16a^2 - 4a > 0$$，解得 $$a < 0$$ 或 $$a > \frac{1}{4}$$。由于 $$a < 0$$，$$x_2 - x_1 = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2} = \sqrt{4 - 4(-3 + \frac{1}{a})} > 4$$（C 正确）；

解集 $$(x_1, x_2)$$ 不一定在 $$(-1, 3)$$ 内（D 错误）。故选 D。

8. 解析：

不等式 $$ax^2 + bx + c > 0$$ 的解集为 $$(-4, 1)$$，说明 $$a < 0$$，且 $$-4$$ 和 $$1$$ 是方程 $$ax^2 + bx + c = 0$$ 的根。由韦达定理：

$$-4 + 1 = -\frac{b}{a}$$，解得 $$b = 3a$$；

$$-4 \times 1 = \frac{c}{a}$$，解得 $$c = -4a$$。

将 $$b$$ 和 $$c$$ 代入不等式 $$b(x^2 + 1) - a(x + 3) + c > 0$$，化简得：

$$3a(x^2 + 1) - a(x + 3) - 4a > 0$$，即 $$3x^2 - x - 4 > 0$$。

解不等式 $$3x^2 - x - 4 > 0$$，得 $$x < -1$$ 或 $$x > \frac{4}{3}$$。故选 D。

9. 解析：

不等式 $$x^2 + mx + 1 \geq 0$$ 的解集为 $$R$$，说明判别式 $$Δ = m^2 - 4 \leq 0$$，即 $$-2 \leq m \leq 2$$。故选 B。

10. 解析：

方程 $$x^2 - 2kx + k + 6 = 0$$ 有实数根，判别式 $$Δ = 4k^2 - 4(k + 6) \geq 0$$，即 $$k^2 - k - 6 \geq 0$$，解得 $$k \leq -2$$ 或 $$k \geq 3$$。

由韦达定理，$$m + n = 2k$$，$$mn = k + 6$$。

表达式 $$(m - 1)^2 + (n - 1)^2 = m^2 + n^2 - 2(m + n) + 2 = (m + n)^2 - 2mn - 2(m + n) + 2 = 4k^2 - 2(k + 6) - 4k + 2 = 4k^2 - 6k - 10$$。

在 $$k \leq -2$$ 或 $$k \geq 3$$ 时，最小值为 $$k = -2$$ 时，$$4(-2)^2 - 6(-2) - 10 = 16 + 12 - 10 = 18$$；或 $$k = 3$$ 时，$$4(3)^2 - 6(3) - 10 = 36 - 18 - 10 = 8$$。故最小值为 8。故选 A。