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正确率60.0%已知函数$$f ( x )=A \operatorname{c o s} ( \omega x+\varphi) \left( A > 0， \omega> 0， | \varphi| \leqslant\frac{\pi} {2} \right)$$，两个等式：$$f \left(-\frac{\pi} {4}+x \right)-f \left(-\frac{\pi} {4}-x \right)=0， \， \， \， f \left( \frac{\pi} {4}-x \right)+f \left( \frac{\pi} {4}+x \right)=0$$对任意的实数$${{x}}$$均恒成立，且$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$\left( 0， \frac{3 \pi} {1 6} \right)$$上单调，则$${{ω}}$$的最大值为
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
2、['古典概型的概率计算公式'， '在R上恒成立问题']正确率60.0%已知$$a \in\{-1， \， \， \， 0， \， \， \， 1， \， \， \， 2 \}， \， \， \， b \in\{-1， \， \， \， 0， \， \， \， 1 \}$$，则对任意实数$${{x}{∈}{R}}$$，不等式$$a x^{2}-a x+b \geq0$$恒成立的概率为（）
C
A.$$\frac{1} {6}$$
B.$$\frac{1} {4}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
3、['在R上恒成立问题']正确率40.0%若不等式$$| x-2 |+| x+1 | \geq a$$对一切$${{x}{∈}{R}}$$恒成立，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
C
A.$${{a}{⩽}{1}}$$
B.$${{a}{<}{1}}$$
C.$${{a}{⩽}{3}}$$
D.$${{a}{⩾}{3}}$$
4、['在R上恒成立问题'， '一元二次不等式的解法']正确率60.0%关于$${{x}}$$的不等式$$x^{2}-m x+1 > 0$$的解集为$${{R}{，}}$$则实数$${{m}}$$的取值范围是（）
D
A.$$0 < m < 4$$
B.$${{m}{<}{−}{2}}$$或$${{m}{>}{2}}$$
C.$$- 2 \leqslant m \leqslant2$$
D.$$- 2 < m < 2$$
5、['在R上恒成立问题']正确率60.0%关于$${{x}}$$的不等式$$\left( a^{2}-1 \right) x^{2}-( a-1 ) x-1 < 0$$的解集为$${{R}}$$，则$${{a}}$$的取值范围为（）
D
A.$$- \frac{3} {5} < a < 1$$
B.$$- \frac3 5 \leqslant a \leqslant1$$
C.$$- \frac{3} {5} < a \leq1$$或$${{a}{=}{−}{1}}$$
D.$$- \frac{3} {5} < a \leq1$$
6、['在R上恒成立问题'， '二次函数模型的应用'， '指数（型）函数的值域']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=m ( x+m+3 ) ( x+m+2 )， \， \， \， g ( x )=2^{x}-2$$，若$$\forall x \in R， ~ f ( x ) < 0$$或$$g ( x ) < 0$$恒成立，则实数$${{m}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
A
A.$$(-3， 0 )$$
B.$$(-2， 0 )$$
C.$$(-3，-2 )$$
D.$$( 0， 3 )$$
7、['对数（型）函数过定点'， '在R上恒成立问题'， '在给定区间上恒成立问题'， '对数（型）函数的定义域'， '对数（型）函数的值域'， '对数（型）函数的单调性'， '对数函数的定义'， '给定参数范围的恒成立问题']正确率40.0%定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{（}{x}{）}}$$满足$$f \left( \textbf{x}-3 \right) ~=f \left( \textbf{\Lambda}-x-3 \right)$$，且当$${{x}{⩽}{−}{3}}$$时，$$f \left( \textbf{x} \right) ~=l n \left( \textbf{(}-\textbf{x} \right)$$．若对任意$${{x}{∈}{R}}$$，不等式$$f \left( \begin{array} {c c} {\operatorname{s i n} x-t} \\ \end{array} \right) > f \left( \begin{array} {c c} {3} \\ {\operatorname{s i n} x-1} \\ \end{array} \right)$$恒成立，则实数$${{t}}$$的取值范围是（）
B
A.$${{t}{<}{−}{3}}$$或$${{t}{>}{9}}$$
B.$${{t}{<}{−}{1}}$$或$${{t}{>}{3}}$$
C.$$- 3 < t < 9$$
D.$${{t}{<}{1}}$$或$${{t}{>}{9}}$$
8、['在R上恒成立问题'， '函数求定义域']正确率60.0%函数$$f ( x )=-\frac{1} {a x^{2}+4 x+3}$$的定义域为$${{R}}$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
D
A.$$(-\infty， 0 ) \bigcup( 0， \frac{4} {3} ]$$
B.$$(-\infty， \frac{4} {3} ]$$
C.$$[ \frac{4} {3}，+\infty)$$
D.$$( \frac{4} {3}，+\infty)$$
9、['在R上恒成立问题'， '全称量词命题、存在量词命题的否定'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%若命题$$\begin{matrix} {` ` \exists x_{0}} \\ \end{matrix} \in R$$，使得$$x_{0}^{2}+m x_{0}+2 m-3 < 0 "$$为假命题，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）
C
A.$$(-\infty， 2 ] \bigcup[ 6，+\infty)$$
B.$$( 2， 6 )$$
C.$$[ 2， 6 ]$$
D.$$(-6，-2 )$$
10、['在R上恒成立问题'， '导数与单调性'， '一元二次不等式的解法']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\frac{x^{3}} {3}-( 4 m-1 ) x^{2}+( 1 5 m^{2}-2 m-7 ) x+2$$在$${{R}}$$上为单调递增函数，则实数$${{m}}$$的取值范围为（）
D
A.$$(-\infty，-2 )$$
B.$$(-3，-4 )$$
C.$$(-2， 4 )$$
D.$$[ 2， 4 ]$$
1. 解析：
由题目条件，函数 $$f(x) = A \cos(\omega x + \varphi)$$ 满足对称性和单调性条件。
步骤1：分析对称性条件
第一个等式 $$f\left(-\frac{\pi}{4} + x\right) - f\left(-\frac{\pi}{4} - x\right) = 0$$ 表明函数关于 $$x = -\frac{\pi}{4}$$ 对称，因此 $$-\frac{\pi}{4}\omega + \varphi = k\pi$$，其中 $$k$$ 为整数。
第二个等式 $$f\left(\frac{\pi}{4} - x\right) + f\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = 0$$ 表明函数关于点 $$\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)$$ 对称，因此 $$\frac{\pi}{4}\omega + \varphi = \frac{\pi}{2} + k\pi$$。
联立解得 $$\omega = 2 + 4k$$ 且 $$\varphi = \frac{\pi}{2} + k\pi - \frac{\pi}{4}\omega$$。
步骤2：确定 $$\omega$$ 的可能值
由于 $$|\varphi| \leq \frac{\pi}{2}$$，代入 $$\omega = 2$$ 得 $$\varphi = 0$$，满足条件。
当 $$\omega = 6$$ 时，$$\varphi = -\pi$$ 超出范围；当 $$\omega = 10$$ 时，$$\varphi = -2\pi$$ 也超出范围。因此 $$\omega = 2$$ 是唯一可行解。
步骤3：验证单调性
函数在 $$\left(0, \frac{3\pi}{16}\right)$$ 上单调递减，因为 $$\omega = 2$$ 满足导数 $$f'(x) = -2A \sin(2x)$$ 在该区间内为负。
因此，$$\omega$$ 的最大值为 $$2$$，选 B。
2. 解析：
题目要求不等式 $$ax^2 - ax + b \geq 0$$ 对所有实数 $$x$$ 恒成立。
步骤1：分析二次不等式
当 $$a = 0$$ 时，不等式变为 $$b \geq 0$$，此时 $$b \in \{0, 1\}$$ 满足条件。
当 $$a \neq 0$$ 时，需满足 $$a > 0$$ 且判别式 $$\Delta = a^2 - 4ab \leq 0$$，即 $$a - 4b \leq 0$$。
步骤2：枚举 $$a$$ 和 $$b$$ 的组合
符合条件的组合有：
- $$a = 0$$ 且 $$b = 0$$ 或 $$b = 1$$（共 2 种）
- $$a = 1$$ 且 $$b = 1$$（因为 $$1 - 4 \times 1 \leq 0$$ 不成立，无解）
- $$a = 2$$ 且 $$b = 1$$（因为 $$2 - 4 \times 1 \leq 0$$ 成立）
总共有 3 种符合条件的组合。
步骤3：计算概率
总的可能组合数为 $$4 \times 3 = 12$$，因此概率为 $$\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$$，选 B。
3. 解析：
不等式 $$|x - 2| + |x + 1| \geq a$$ 对所有实数 $$x$$ 恒成立。
步骤1：求最小值
函数 $$f(x) = |x - 2| + |x + 1|$$ 的最小值为 $$3$$（当 $$x \in [-1, 2]$$ 时取得）。
因此，$$a \leq 3$$ 时不等式恒成立，选 C。
4. 解析：
不等式 $$x^2 - m x + 1 > 0$$ 对所有实数 $$x$$ 成立的条件是判别式 $$\Delta = m^2 - 4 < 0$$，即 $$-2 < m < 2$$，选 D。
5. 解析：
不等式 $$\left(a^2 - 1\right)x^2 - (a - 1)x - 1 < 0$$ 对所有实数 $$x$$ 成立。
步骤1：分析二次项系数
当 $$a^2 - 1 = 0$$ 时：
- 若 $$a = 1$$，不等式变为 $$-1 < 0$$ 恒成立。
- 若 $$a = -1$$，不等式变为 $$2x - 1 < 0$$ 不恒成立。
当 $$a^2 - 1 \neq 0$$ 时，需满足 $$a^2 - 1 < 0$$ 且判别式 $$\Delta = (a - 1)^2 + 4(a^2 - 1) < 0$$，解得 $$-\frac{3}{5} < a < 1$$。
综上，$$a \in \left(-\frac{3}{5}, 1\right]$$，选 D。
6. 解析：
题目要求对所有实数 $$x$$，$$f(x) < 0$$ 或 $$g(x) < 0$$ 恒成立。
步骤1：分析 $$g(x) < 0$$
$$g(x) = 2^x - 2 < 0$$ 的解为 $$x < 1$$。
因此，在 $$x \geq 1$$ 时必须有 $$f(x) < 0$$。
步骤2：分析 $$f(x)$$ 的零点
$$f(x) = m(x + m + 3)(x + m + 2)$$ 的零点为 $$x = -m - 3$$ 和 $$x = -m - 2$$。
为使 $$f(x) < 0$$ 对所有 $$x \geq 1$$ 成立，需满足：
- $$m < 0$$
- $$-m - 3 \leq 1$$ 且 $$-m - 2 \leq 1$$，即 $$m \geq -3$$ 且 $$m \geq -3$$。
综上，$$m \in (-3, 0)$$，选 A。
7. 解析：
函数 $$f(x)$$ 满足对称性 $$f(x - 3) = f(-x - 3)$$，即关于 $$x = -3$$ 对称。
当 $$x \leq -3$$ 时，$$f(x) = \ln(-x)$$ 为增函数。
不等式 $$f(\sin x - t) > f\left(\frac{3}{\sin x - 1}\right)$$ 对所有 $$x$$ 成立。
步骤1：分析单调性
由于 $$f(x)$$ 在 $$x \leq -3$$ 时递增，且对称性表明在 $$x \geq -3$$ 时递减。
因此，不等式等价于 $$|\sin x - t + 3| < \left|\frac{3}{\sin x - 1} + 3\right|$$。
通过分析极值，可得 $$t < -3$$ 或 $$t > 9$$，选 A。
8. 解析：
函数 $$f(x) = -\frac{1}{a x^2 + 4x + 3}$$ 的定义域为 $$a x^2 + 4x + 3 \neq 0$$ 对所有实数 $$x$$ 成立。
步骤1：分析分母
当 $$a = 0$$ 时，分母为 $$4x + 3$$，不恒不为零，不满足。
当 $$a \neq 0$$ 时，需判别式 $$\Delta = 16 - 12a < 0$$，即 $$a > \frac{4}{3}$$。
综上，$$a \in \left(\frac{4}{3}, +\infty\right)$$，选 D。
9. 解析：
命题为假意味着对所有实数 $$x$$，$$x^2 + m x + 2m - 3 \geq 0$$ 恒成立。
因此，判别式 $$\Delta = m^2 - 4(2m - 3) \leq 0$$，即 $$m^2 - 8m + 12 \leq 0$$，解得 $$2 \leq m \leq 6$$，选 C。
10. 解析：
函数 $$f(x) = \frac{x^3}{3} - (4m - 1)x^2 + (15m^2 - 2m - 7)x + 2$$ 在 $$R$$ 上单调递增。
步骤1：求导并分析
导数 $$f'(x) = x^2 - 2(4m - 1)x + (15m^2 - 2m - 7) \geq 0$$ 对所有 $$x$$ 成立。
因此，判别式 $$\Delta = 4(4m - 1)^2 - 4(15m^2 - 2m - 7) \leq 0$$，化简得 $$m^2 - 6m + 8 \leq 0$$，解得 $$2 \leq m \leq 4$$，选 D。