二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系-二次函数与一元二次方程、不等式知识点课后进阶单选题自测题答案-江苏省等高一数学必修,平均正确率44.00000000000001%

集合 $$A$$ 有 2 个元素，集合 $$B$$ 的元素个数取决于方程 $$|x^2 - 2x - 3| = a$$ 的解的个数。

定义 $$(A - B)$$ 为 $$|(A)| - |(B)|$$ 或 $$|(B)| - |(A)|$$ 的绝对值，且 $$(A - B) \leq 1$$。

分析方程 $$|x^2 - 2x - 3| = a$$ 的解：

设 $$f(x) = x^2 - 2x - 3$$，则 $$f(x) = (x - 3)(x + 1)$$，其图像为开口向上的抛物线，顶点在 $$x = 1$$ 处，$$f(1) = -4$$。

方程 $$|f(x)| = a$$ 的解的情况：

• 当 $$a < 0$$ 时无解。
• 当 $$a = 0$$ 时，解为 $$x = -1$$ 和 $$x = 3$$，$$|B| = 2$$，此时 $$(A - B) = 0 \leq 1$$。
• 当 $$0 < a < 4$$ 时，方程 $$f(x) = a$$ 和 $$f(x) = -a$$ 共有 4 个解，$$|B| = 4$$，此时 $$(A - B) = 2 > 1$$ 不满足。
• 当 $$a = 4$$ 时，$$f(x) = 4$$ 有 2 个解，$$f(x) = -4$$ 有 1 个解（重根），$$|B| = 3$$，此时 $$(A - B) = 1 \leq 1$$。
• 当 $$a > 4$$ 时，$$f(x) = a$$ 有 2 个解，$$f(x) = -a$$ 无解，$$|B| = 2$$，此时 $$(A - B) = 0 \leq 1$$。

综上，$$a$$ 的可能值为 $$a = 0$$ 或 $$a \geq 4$$，对应选项 D。

不等式 $$cx^2 + x + a > 0$$ 的解集为 $$-\frac{1}{2} < x < 1$$，说明 $$c < 0$$，且 $$x = -\frac{1}{2}$$ 和 $$x = 1$$ 是方程的根。

由韦达定理：

• $$-\frac{1}{2} + 1 = -\frac{1}{c}$$，解得 $$c = -2$$。
• $$-\frac{1}{2} \times 1 = \frac{a}{c}$$，代入 $$c = -2$$ 得 $$a = 1$$。

函数 $$f(x) = ax^2 + x + c = x^2 + x - 2$$，则 $$f(-x) = x^2 - x - 2$$。

其图像为开口向上的抛物线，顶点在 $$x = \frac{1}{2}$$ 处，与 $$x$$ 轴交点为 $$x = -1$$ 和 $$x = 2$$。

对应选项为 D。

由对数条件 $$\log_{\frac{1}{3}} x + \log_3 y = m$$，可化为 $$-\log_3 x + \log_3 y = m$$，即 $$\log_3 \frac{y}{x} = m$$，故 $$\frac{y}{x} = 3^m$$。

设 $$y = 3^m x$$，代入不等式：

$$3a x^2 - 18x \cdot 3^m x + (2a + 3) \cdot 9^m x^2 \geq (x - 3^m x)^2$$

化简得：

$$3a - 18 \cdot 3^m + (2a + 3) \cdot 9^m \geq (1 - 3^m)^2$$

设 $$t = 3^m$$，$$t \in [3^{-1}, 3]$$，不等式化为：

$$(2a + 3) t^2 - 18 t + 3a \geq t^2 - 2t + 1$$

整理为：

$$(2a + 2) t^2 - 16 t + 3a - 1 \geq 0$$

为使不等式有解，判别式 $$\Delta \geq 0$$：

$$256 - 4(2a + 2)(3a - 1) \geq 0$$

解得 $$a \in \left[ \frac{31}{21}, +\infty \right)$$，对应选项 C。

方程 $$x^2 - 2(1 - m)x + m^2 = 0$$ 有两实数根，判别式 $$\Delta \geq 0$$：

$$4(1 - m)^2 - 4m^2 \geq 0$$，解得 $$m \leq \frac{1}{2}$$。

由韦达定理，$$\alpha + \beta = 2(1 - m)$$。

因 $$m \leq \frac{1}{2}$$，故 $$\alpha + \beta \geq 1$$，对应选项 C。

不等式 $$ax^2 + bx + c < 0$$ 的解集为空集，说明二次函数 $$ax^2 + bx + c$$ 无负值。

若 $$a > 0$$，则抛物线开口向上，且判别式 $$\Delta \leq 0$$，确保无实数根或仅有一个重根。

若 $$a < 0$$，则抛物线开口向下，不可能无负值。

故正确选项为 C。

函数 $$f(x) = x^3 - x^2 + m$$ 在 $$[0, m]$$ 上满足“双中值函数”条件，即存在 $$x_1, x_2 \in (0, m)$$ 使得：

$$f'(x_1) = f'(x_2) = \frac{f(m) - f(0)}{m - 0} = m^2 - m$$

求导得 $$f'(x) = 3x^2 - 2x$$，故需方程 $$3x^2 - 2x = m^2 - m$$ 在 $$(0, m)$$ 上有两个不同的解。

解方程 $$3x^2 - 2x - (m^2 - m) = 0$$，判别式 $$\Delta > 0$$：

$$4 + 12(m^2 - m) > 0$$，即 $$3m^2 - 3m + 1 > 0$$，恒成立。

两根 $$x = \frac{1 \pm \sqrt{3m^2 - 3m + 1}}{3}$$ 需满足 $$0 < x < m$$。

解得 $$m \in \left( \frac{3}{2}, 3 \right)$$，对应选项 B。

函数 $$f(x) = a x^3 + 3 x^2 - x$$ 在 $$\mathbb{R}$$ 上为减函数，需导数 $$f'(x) \leq 0$$ 对所有 $$x$$ 成立。

求导得 $$f'(x) = 3a x^2 + 6x - 1$$，二次函数恒非正的条件：

• $$a < 0$$
• 判别式 $$\Delta \leq 0$$，即 $$36 + 12a \leq 0$$，解得 $$a \leq -3$$

故 $$a \in (-\infty, -3]$$，对应选项 B。

函数 $$f(x) = (x - a)(x - b) - 2$$ 的图像为开口向上的抛物线，与 $$x$$ 轴的交点为 $$\alpha, \beta$$。

由于 $$f(a) = f(b) = -2$$，抛物线在 $$x = a$$ 和 $$x = b$$ 处取负值，故 $$\alpha$$ 和 $$\beta$$ 分别位于 $$a$$ 和 $$b$$ 的两侧。

可能的情况为 $$\alpha < a < b < \beta$$ 或 $$a < \alpha < b < \beta$$，对应选项 A 和 C。

函数 $$f(x) = -x^2 + m x - 1$$ 有正值，需存在 $$x$$ 使得 $$f(x) > 0$$。

二次函数开口向下，最大值在 $$x = \frac{m}{2}$$ 处，值为 $$\frac{m^2}{4} - 1$$。

需 $$\frac{m^2}{4} - 1 > 0$$，即 $$m^2 > 4$$，解得 $$m < -2$$ 或 $$m > 2$$，对应选项 A。

函数 $$f(x)$$ 为分段函数：

• 当 $$x \geq a$$ 时，$$f(x) = x^2 - a x + 2$$，为开口向上的抛物线。
• 当 $$x < a$$ 时，$$f(x) = |x + a|$$，为 V 形函数。

为使方程 $$f(x) = k$$ 恰有两个不等实数根，需满足：

• 抛物线部分的最小值大于等于 V 形函数的最小值。
• V 形函数在 $$x = -a$$ 处取得最小值 0。
• 抛物线在 $$x = \frac{a}{2}$$ 处取得最小值 $$2 - \frac{a^2}{4}$$，需 $$2 - \frac{a^2}{4} \geq 0$$，即 $$a \in [-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}]$$。

同时，需保证对于任意 $$k > 0$$，方程 $$f(x) = k$$ 在 $$x \geq a$$ 和 $$x < a$$ 区域各有一个解。

解得 $$a = 2$$ 或 $$a = -2$$，共 2 个实数解，对应选项 C。