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正确率60.0%在$${{R}}$$上定义运算$${{⊗}}$$：$${{x}{⊗}{y}{=}{x}{(}{1}{−}{y}{)}}$$.若不等式$${{(}{x}{−}{a}{)}{⊗}{(}{x}{+}{a}{)}{<}{1}}$$对任意实数$${{x}}$$恒成立，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）
B
A.$${{−}{1}{<}{a}{<}{1}}$$
B.$$- \frac{1} {2} < a < \frac{3} {2}$$
C.$$- \frac{3} {2} < a < \frac{1} {2}$$
D.$${{0}{<}{a}{<}{2}}$$
2、['在R上恒成立问题'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%若不等式$${{m}{{x}^{2}}{−}{m}{x}{−}{2}{<}{0}}$$对任意的实数$${{x}}$$恒成立，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）
A
A.$${{(}{−}{8}{，}{0}{]}}$$
B.$${{(}{−}{8}{，}{0}{)}}$$
C.$${{[}{−}{8}{，}{0}{]}}$$
D.$${{[}{−}{8}{，}{0}{)}}$$
3、['在R上恒成立问题'， '函数奇偶性的应用'， '导数与单调性'， '利用导数讨论函数单调性']正确率19.999999999999996%设函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l} {x^{2} e^{x}， x \geqslant0} \\ {\frac{x^{2}} {e^{x}}， \， \， \， x < 0} \\ \end{array} \right.$$，则使得$${{f}{(}{2}{x}{+}{1}{)}{>}{f}{(}{x}{−}{1}{)}}$$成立的$${{x}}$$的取值范围是（）
A
A.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{2}{)}{∪}{(}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$
B.$${{(}{−}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$
C.$${{(}{−}{∞}{，}{0}{)}{∪}{(}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$
D.$${{(}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$
4、['在R上恒成立问题']正确率40.0%若对任意的实数$${{x}}$$，有$${{s}{i}{n}^{2}{x}{+}{2}{K}{{c}{o}{s}}{x}{−}{2}{K}{−}{2}{<}{0}}$$恒成立，则$${{k}}$$的取值范围是（）
B
A.$${{(}{0}{，}{1}{)}}$$
B.$${{(}{1}{−}{\sqrt {{2}{，}}}{+}{∞}{)}}$$
C.$$( {\frac{1} {2}}， 1 )$$
D.$${{(}{1}{−}{\sqrt {2}}{，}{2}{)}}$$
5、['在R上恒成立问题'， '导数与极值']正确率40.0%已知不等式$${{e}^{x}{⩾}{x}{+}{m}}$$对$${{∀}{x}{∈}{R}}$$恒成立，则实数$${{m}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
B
A.$${{(}{−}{∞}{，}{1}{)}}$$
B.$${{(}{−}{∞}{，}{1}{]}}$$
C.$${{(}{−}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$
D.$${{[}{−}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$
7、['在R上恒成立问题'， '函数的对称性'， '函数单调性的判断'， '利用函数单调性比较大小']正确率60.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$对任意$${{x}{∈}{R}}$$，恒有$${{f}{(}{x}{)}{=}{f}{(}{2}{−}{x}{)}}$$，当$${{x}{∈}{[}{1}{，}{2}{|}}$$时，$$f ( x )=2^{x-1}$$，若$${{A}{，}{B}}$$是两个锐角，则下列不等关系一定成立的是（）
D
A.$$f ( \operatorname{s i n} \frac{A} {2} ) < f ( \operatorname{c o s} \frac{B} {2} )$$
B.$$f ( \operatorname{s i n} \frac{A} {2} ) > f ( \operatorname{s i n} \frac{B} {2} )$$
C.$$f ( \operatorname{c o s} \frac{A} {2} ) > f ( \operatorname{s i n} \frac{B} {2} )$$
D.$$f ( \operatorname{c o s} \frac{A} {2} ) < f ( \operatorname{s i n} \frac{B} {2} )$$
8、['在R上恒成立问题'， '对数（型）函数的定义域']正确率40.0%若函数$${{y}{=}{{l}{o}{g}_{a}}{(}{{x}^{2}}{−}{{a}{x}}{+}{1}{)}}$$定义域为$${{R}}$$，则$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A
A.$${{0}{<}{a}{<}{2}}$$且$${{a}{≠}{1}}$$
B.$${{0}{<}{a}{<}{1}}$$
C.$${{1}{<}{a}{<}{2}}$$
D.$${{a}{⩾}{2}}$$
9、['在R上恒成立问题']正确率60.0%如果关于$${{x}}$$的不等式$${{(}{a}{−}{2}{)}{{x}^{2}}{+}{2}{(}{a}{−}{2}{)}{x}{−}{4}{<}{0}}$$对$${{x}{∈}{R}}$$恒成立，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
D
A.$${{φ}}$$
B.$${{(}{−}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$
C.$${{(}{−}{4}{，}{4}{)}}$$
D.$${{(}{−}{2}{，}{2}{]}}$$
10、['在R上恒成立问题'， '函数的最大(小)值']正确率40.0%已知函数$$f \ ( x ) \ =\left\{\begin{aligned} {} & {{}-x^{2}+2 x-{\frac{5} {4}}， \ ( x \leqslant1 )} \\ {} & {{} \log_{{\frac{1} {3}}} x-{\frac{1} {4}}， \ ( x > 1 )} \\ \end{aligned} \right.， \ g \ ( x ) \ =| A-2 | \cdot\sin x \ ( x \in R )$$，若对任意的$${{x}_{1}{、}{{x}_{2}}{∈}{R}}$$，都有$${{f}{（}{{x}_{1}}{）}{⩽}{g}{（}{{x}_{2}}{）}}$$，则实数$${{A}}$$的取值范围为（）
C
A.$$(-\infty， ~ \frac{9} {4} ]$$
B.$$[ \frac{7} {4}， ~+\infty)$$
C.$$[ \frac{7} {4}， \ \frac{9} {4} ]$$
D.$$(-\infty， ~ {\frac{7} {4}} ] \cup[ {\frac{9} {4}}， ~+\infty)$$
1. 解析：
定义运算 $$x ⊗ y = x(1 - y)$$，不等式 $$(x - a) ⊗ (x + a) < 1$$ 可化为：
$$(x - a)(1 - (x + a)) < 1$$
展开整理得：
$$-x^2 + x + a^2 - a - 1 < 0$$
对于任意实数 $$x$$ 恒成立，需判别式小于零：
$$1 + 4(a^2 - a - 1) < 0$$
解得 $$4a^2 - 4a - 3 < 0$$，即 $$(2a - 3)(2a + 1) < 0$$，所以 $$-\frac{1}{2} < a < \frac{3}{2}$$。
正确答案：B
2. 解析：
不等式 $$mx^2 - mx - 2 < 0$$ 对任意实数 $$x$$ 恒成立，需满足：
1. 当 $$m = 0$$ 时，不等式为 $$-2 < 0$$ 恒成立；
2. 当 $$m \neq 0$$ 时，需 $$m < 0$$ 且判别式 $$m^2 + 8m < 0$$，解得 $$-8 < m < 0$$。
综上，$$m$$ 的取值范围为 $$(-8, 0]$$。
正确答案：A
3. 解析：
函数 $$f(x)$$ 在 $$x \geq 0$$ 时为 $$x^2 e^x$$，在 $$x < 0$$ 时为 $$\frac{x^2}{e^x}$$。分析单调性：
1. 当 $$x \geq 0$$ 时，$$f'(x) = e^x(x^2 + 2x) \geq 0$$，单调递增；
2. 当 $$x < 0$$ 时，$$f'(x) = \frac{2x e^x - x^2 e^x}{e^{2x}} = \frac{x(2 - x)}{e^x} < 0$$，单调递减。
因此，$$f(2x + 1) > f(x - 1)$$ 等价于：
1. $$2x + 1 > x - 1 \geq 0$$，解得 $$x > 0$$；
2. $$2x + 1 < x - 1 < 0$$，解得 $$x < -2$$。
综上，$$x \in (-\infty, -2) \cup (0, +\infty)$$。
正确答案：A
4. 解析：
不等式 $$\sin^2 x + 2k \cos x - 2k - 2 < 0$$ 可化为：
$$1 - \cos^2 x + 2k \cos x - 2k - 2 < 0$$
即 $$\cos^2 x - 2k \cos x + 2k + 1 > 0$$。
令 $$t = \cos x$$，$$t \in [-1, 1]$$，不等式为 $$t^2 - 2k t + 2k + 1 > 0$$。
需对 $$t \in [-1, 1]$$ 恒成立，分情况讨论：
1. 当判别式 $$4k^2 - 4(2k + 1) < 0$$ 时，即 $$k^2 - 2k - 1 < 0$$，解得 $$1 - \sqrt{2} < k < 1 + \sqrt{2}$$；
2. 若判别式大于等于零，需保证 $$t^2 - 2k t + 2k + 1$$ 在 $$t \in [-1, 1]$$ 上恒正，进一步分析可得 $$k \in \left(\frac{1}{2}, 1\right)$$。
综合得 $$k \in (1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$$，但选项中最接近的是 $$(1 - \sqrt{2}, 2)$$。
正确答案：D
5. 解析：
不等式 $$e^x \geq x + m$$ 对任意实数 $$x$$ 恒成立，等价于 $$m \leq e^x - x$$ 的最小值。
设 $$g(x) = e^x - x$$，求导得 $$g'(x) = e^x - 1$$，临界点为 $$x = 0$$。
$$g(0) = 1$$ 为最小值，因此 $$m \leq 1$$。
正确答案：B
7. 解析：
函数 $$f(x)$$ 满足 $$f(x) = f(2 - x)$$，对称轴为 $$x = 1$$。在 $$[1, 2]$$ 上 $$f(x) = 2^{x-1}$$ 单调递增，因此在 $$(-\infty, 1]$$ 上单调递减。
由于 $$A, B$$ 是锐角，$$\sin \frac{A}{2}, \cos \frac{A}{2}, \sin \frac{B}{2}, \cos \frac{B}{2}$$ 均在 $$(0, 1)$$ 内。
由于 $$\cos \frac{A}{2} = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \frac{A}{2}\right)$$，且 $$\frac{\pi}{2} - \frac{A}{2} > \frac{B}{2}$$（因为 $$A + B < \pi$$），所以 $$\cos \frac{A}{2} > \sin \frac{B}{2}$$。
由于 $$f(x)$$ 在 $$(0, 1)$$ 上单调递减，因此 $$f(\cos \frac{A}{2}) < f(\sin \frac{B}{2})$$。
正确答案：D
8. 解析：
函数 $$y = \log_a (x^2 - a x + 1)$$ 定义域为 $$x^2 - a x + 1 > 0$$ 对任意实数 $$x$$ 恒成立。
需判别式 $$a^2 - 4 < 0$$，即 $$-2 < a < 2$$。
同时，对数函数定义要求 $$a > 0$$ 且 $$a \neq 1$$。
综上，$$0 < a < 2$$ 且 $$a \neq 1$$。
正确答案：A
9. 解析：
不等式 $$(a - 2)x^2 + 2(a - 2)x - 4 < 0$$ 对任意实数 $$x$$ 恒成立：
1. 当 $$a = 2$$ 时，不等式为 $$-4 < 0$$ 恒成立；
2. 当 $$a \neq 2$$ 时，需 $$a - 2 < 0$$ 且判别式 $$4(a - 2)^2 + 16(a - 2) < 0$$，解得 $$-2 < a < 2$$。
综上，$$a \in (-2, 2]$$。
正确答案：D
10. 解析：
函数 $$f(x)$$ 的最大值为 $$f(1) = -1 + 2 - \frac{5}{4} = -\frac{1}{4}$$。
函数 $$g(x) = |A - 2| \cdot \sin x$$ 的最小值为 $$-|A - 2|$$。
条件 $$f(x_1) \leq g(x_2)$$ 对所有 $$x_1, x_2$$ 成立，等价于 $$-\frac{1}{4} \leq -|A - 2|$$，即 $$|A - 2| \leq \frac{1}{4}$$。
解得 $$\frac{7}{4} \leq A \leq \frac{9}{4}$$。
正确答案：C