二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系-2.3 二次函数与一元二次方程、不等式知识点教师选题进阶单选题自测题答案-西藏自治区等高一数学必修,平均正确率48.0%

1、['数量积的性质'， '向量的数量积的定义'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系']

正确率40.0%向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$| \overrightarrow{a} |=4， \， \， \， \overrightarrow{b} \cdot\， \， ( \， \overrightarrow{a}-\， \， \overrightarrow{b} ) \， \，=0$$，若$$| \lambda\vec{a}-\vec{b} |$$的最小值为$$2 \ ( \lambda\in R )$$，则$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=($$）

A.$${{0}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{8}}$$

D.$${{1}{6}}$$

3、['一元二次方程根与系数的关系'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系']

正确率60.0%不等式$$x^{2}-a x-b \leqslant0$$的解集为$$\{x | 2 \leqslant x \leqslant3 \}，$$则$${{a}{，}{b}}$$值分别为

A.$$a=2， ~ b=3$$

B.$$a=-2， ~ b=3$$

C.$$a=5， ~ b=-6$$

D.$$a=-5， ~ b=6$$

4、['函数的对称性'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系']

正确率60.0%若$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$分别是函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=x-2^{-x}， ~ g \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=x l o g_{2} x-1$$的零点，则下列结论成立的是（）

A.$${{x}_{1}{=}{{x}_{2}}}$$

B.$${{x}_{1}{>}{{x}_{2}}}$$

C.$$x_{1}+x_{2}=1$$

D.$$x_{1} x_{2}=1$$

5、['二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系'， '函数零点个数的判定']

正确率60.0%设$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=x^{2}+b x+c$$，若方程$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right) \ =x$$无实数根，则方程$$f \left( \textit{f} \left( \begin{matrix} {\boldsymbol{x}} \\ \end{matrix} \right) \right) \ =\textit{x} ($$）

A.有四个相异的实根

B.有两个相异的实根

C.有一个实根

D.无实根

6、['由集合的关系确定参数'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=x^{2}+m x+n \cdot2^{x}， \{x | f ( x )=0 \}=\{x | f ( f ( x ) )=0 \} \neq\emptyset$$，则$${{m}{+}{n}}$$的取值范围（）

A.$$[ 0， 4 )$$

B.$$[ 4， 8 ]$$

C.$$[-4， 2 ]$$

D.$$(-2， 8 ]$$

7、['全称量词命题、存在量词命题的真假判断'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系']

正确率60.0%若命题$$\exists x \in\mathbf{R}， x^{2}+2 ( a-2 ) x+9 < 0^{\prime\prime}$$的否定是假命题，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$[-1， 5 ]$$

B.$$(-1， 5 )$$

C.$$(-\infty，-1 ] \cup[ 5，+\infty)$$

D.$$(-\infty，-1 ) \cup( 5，+\infty)$$

8、['二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系'， '根据函数零点个数求参数范围']

正确率40.0%函数$$f ( x )=a x^{2}+2 x+1$$在$$(-\infty， 0 )$$上至少有一个零点，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$${{a}{<}{0}}$$

B.$${{a}{⩽}{1}}$$

C.$${{a}{<}{0}}$$或$$0 < a \leq1$$

D.$$0 < a \leq1$$

9、['函数的新定义问题'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系'， '分段函数的图象']

正确率40.0%对于函数$$y=f ( x )$$，若存在$${{x}_{0}}$$使$$f \left( x_{0} \right)+f \left(-x_{0} \right)=0$$，则称点$$\left( x_{0}， f \left( x_{0} \right) \right)$$是曲线$${{f}{(}{x}{)}}$$的$${{“}}$$优美点$${{”}}$$.已知$$f \left( x \right)=\left\{\begin{array} {c} {\begin{array} {c} {\ x^{2}+2 x， x < 0，} \\ {\ k x+2， x \geq0，} \\ \end{array}} \\ \end{array} \right.$$若曲线$${{f}{(}{x}{)}}$$存在$${{“}}$$优美点$${{”}}$$，则实数$${{k}}$$的取值范围为（）

A.$$(-\infty， 2-2 \sqrt{2} ]$$

B.$$[ 2-2 \sqrt{2}， 0 )$$

C.$$(-\infty， 2+2 \sqrt{2} ]$$

D.$$( 0， 2+2 \sqrt{2} ]$$

10、['二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系']

正确率19.999999999999996%若实数$${{m}}$$，$${{n}}$$为方程$$x^{2}-2 k x+k+6=0$$的两根，则$$( m-1 )^{2}+( n-1 )^{2}$$的最小值为（）

A.$${{8}}$$

B.$${{1}{4}}$$

C.$${{−}{{1}{4}}}$$

D.$$- \frac{4 9} {4}$$

1. 向量问题解析：

由条件 $$| \overrightarrow{a} |=4$$ 和 $$\overrightarrow{b} \cdot ( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ) =0$$，可得 $$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} = |\overrightarrow{b}|^2$$。设 $$\theta$$ 为两向量夹角，则 $$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta = |\overrightarrow{b}|^2$$，即 $$4\cos\theta = |\overrightarrow{b}|$$。

要求 $$| \lambda\vec{a}-\vec{b} |$$ 的最小值为 2，利用向量长度公式：$$|\lambda\vec{a}-\vec{b}|^2 = \lambda^2|\vec{a}|^2 - 2\lambda \vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2 = 16\lambda^2 - 2\lambda |\vec{b}|^2 + |\vec{b}|^2$$。

将 $$|\vec{b}| = 4\cos\theta$$ 代入，得到关于 $$\lambda$$ 的二次函数，其最小值为 $$2$$。通过求导或顶点公式可得 $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 8$$，故选 C。

3. 不等式解集问题解析：

不等式 $$x^2 - a x - b \leq 0$$ 的解集为 $$[2, 3]$$，说明 $$x=2$$ 和 $$x=3$$ 是方程的根。根据韦达定理：$$2 + 3 = a$$ 和 $$2 \times 3 = -b$$，解得 $$a=5$$，$$b=-6$$，故选 C。

4. 函数零点问题解析：

函数 $$f(x) = x - 2^{-x}$$ 的零点 $$x_1$$ 满足 $$x_1 = 2^{-x_1}$$，显然 $$x_1 > 0$$。函数 $$g(x) = x \log_2 x - 1$$ 的零点 $$x_2$$ 满足 $$x_2 \log_2 x_2 = 1$$。

通过数值估算或图像分析可知 $$x_1 < 1$$ 而 $$x_2 > 1$$，因此 $$x_1 + x_2 > 1$$，且 $$x_1 x_2 < 1$$。进一步验证 $$x_1 + x_2 = 1$$ 不成立，故选 B（$$x_1 < x_2$$）。

5. 方程根的问题解析：

方程 $$f(x) = x$$ 无实数根，即 $$x^2 + b x + c = x$$ 无解，判别式 $$(b-1)^2 - 4c < 0$$。

考虑 $$f(f(x)) = x$$，设 $$y = f(x)$$，则方程为 $$f(y) = x$$。由于 $$f(x)$$ 是二次函数，复合后可能产生四个根，但因 $$f(x) = x$$ 无解，故 $$f(f(x)) = x$$ 也无实数根，故选 D。

6. 函数零点集合问题解析：

条件 $$\{x | f(x) = 0\} = \{x | f(f(x)) = 0\} \neq \emptyset$$ 说明 $$f(x)$$ 的零点也是 $$f(f(x))$$ 的零点，且无其他零点。设 $$f(\alpha) = 0$$，则 $$f(0) = \alpha$$。

代入 $$f(x) = x^2 + m x + n \cdot 2^x$$，得 $$\alpha^2 + m \alpha + n \cdot 2^\alpha = 0$$ 和 $$n = \alpha$$。解得 $$m + n$$ 的取值范围为 $$[0, 4)$$，故选 A。

7. 命题否定问题解析：

命题的否定是假命题，即原命题为真。存在 $$x$$ 使得 $$x^2 + 2(a-2)x + 9 < 0$$，判别式 $$4(a-2)^2 - 36 > 0$$，解得 $$a < -1$$ 或 $$a > 5$$，故选 D。

8. 函数零点存在性问题解析：

函数 $$f(x) = a x^2 + 2 x + 1$$ 在 $$(-\infty, 0)$$ 上至少有一个零点，需满足：

1. 若 $$a = 0$$，$$f(x) = 2x + 1$$ 在 $$x = -0.5$$ 处有零点，成立。

2. 若 $$a \neq 0$$，需判别式 $$\geq 0$$ 且函数在 $$x=0$$ 处取值异号或顶点在 $$x < 0$$ 区域。综合得 $$a \leq 1$$ 且 $$a \neq 0$$，或 $$a < 0$$，故选 C。

9. 优美点存在性问题解析：

优美点满足 $$f(x_0) + f(-x_0) = 0$$。分情况讨论：

1. 若 $$x_0 < 0$$，则 $$-x_0 > 0$$，方程为 $$x_0^2 + 2x_0 + k(-x_0) + 2 = 0$$，即 $$x_0^2 + (2 - k)x_0 + 2 = 0$$ 有解。

2. 若 $$x_0 \geq 0$$，类似可得方程 $$k x_0 + 2 + (-x_0)^2 + 2(-x_0) = 0$$，即 $$x_0^2 - 2x_0 + k x_0 + 2 = 0$$ 有解。

通过判别式分析，解得 $$k \leq 2 - 2\sqrt{2}$$，故选 A。

10. 二次方程根的最小值问题解析：

设 $$m$$、$$n$$ 为方程 $$x^2 - 2k x + k + 6 = 0$$ 的根，由韦达定理得 $$m + n = 2k$$，$$m n = k + 6$$。

表达式 $$(m-1)^2 + (n-1)^2 = (m+n)^2 - 2mn - 2(m+n) + 2 = 4k^2 - 2(k+6) - 4k + 2 = 4k^2 - 6k - 10$$。

求二次函数最小值，顶点在 $$k = \frac{3}{4}$$ 处，代入得最小值为 $$-\frac{49}{4}$$，但需满足判别式 $$\geq 0$$，即 $$4k^2 - 4(k+6) \geq 0$$，解得 $$k \leq -2$$ 或 $$k \geq 3$$。在 $$k=-2$$ 时取得最小值 8，故选 A。

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