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正确率60.0%若对任意$$x \in\mathbf{R}， ~ a x^{2}-3 x+a \geq0$$恒成立，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
C
A.$$a \leq\frac{3} {2}$$
B.$$- \frac3 2 < a \leq\frac3 2$$
C.$$a \geq\frac{3} {2}$$
D.$${{a}{<}{0}}$$或$$a \geq\frac{3} {2}$$
2、['一元二次方程根与系数的关系'， '一元二次不等式的解法'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系']正确率60.0%若关于$${{x}}$$的不等式$$a x^{2}-5 x+b < 0$$的解集为$$\{x | 2 < x < 3 \}，$$则$${{a}{，}{b}}$$的值是（）
A
A.$$a=1， ~ b=6$$
B.$$a=6， ~ b=1$$
C.$$a=2， ~ b=3$$
D.$$a=3， ~ b=2$$
3、['含参数的一元二次不等式的解法'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系']正确率40.0%若关于$${{x}}$$的不等式$$- \frac1 2 x^{2}+2 x > m x$$的解集为$$( \ 0， \ 4 )$$，则实数$${{m}}$$的值为（）
B
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{0}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
4、['一元二次方程根与系数的关系'， '一元二次不等式的解法'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系']正确率40.0%已知不等式$$a x^{2}+b x+c > 0$$的解集是$$\{x | \alpha< x < \beta\} ( \alpha> 0 )，$$< x < beta }(alpha >$${{0}{)}}$$，则不等式$$c x^{2}+b x+a < 0$$的解集是$${{(}{)}}$$
B
A.$$( {\frac{1} {\beta}}， {\frac{1} {\alpha}} )$$
B.$$(-\infty， \frac{1} {\beta} ) \cup( \frac{1} {\alpha}，+\infty)$$
C.$$\{x | \alpha< x < \beta\}$$
D.$$(-\infty， \alpha) \cup( \beta，+\infty)$$
5、['函数的新定义问题'， '导数的四则运算法则'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率40.0%定义：如果函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的导函数为$$f^{'} \left( x \right)$$，在区间$$[ a， b ]$$上存在$$x_{1}， ~ x_{2} ~ ( a {<} x_{1} {<} x_{2} {<} b )$$使得$$f^{'} \left( x_{1} \right)=\frac{f \left( b \right)-f \left( a \right)} {b-a}， \; \; f^{'} \left( x_{2} \right)=\frac{f \left( b \right)-f \left( a \right)} {b-a}$$，则称$${{f}{{(}{x}{)}}}$$为区间$$[ a， b ]$$上的$${{"}}$$双中值函数$${{"}}$$.已知函数$$g \left( x \right)=\frac1 3 x^{3}-\frac m 2 x^{2}$$是$$[ 0， 2 ]$$上的$${{"}}$$双中值函数$${{"}}$$，则实数$${{m}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
D
A.$$[ \frac{4} {3}， \frac{8} {3} ]$$
B.$$(-\infty，+\infty)$$
C.$$\left( \frac{4} {3}，+\infty\right)$$
D.$$( \frac{4} {3}， \frac{8} {3} )$$
6、['一元二次方程根与系数的关系'， '含参数的一元二次不等式的解法'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系']正确率60.0%若关于$${{x}}$$的不等式$$\mathrm{a x}^{2}+\mathrm{b x}+\mathrm{c} < 0$$的解是$${{x}{<}{−}{2}}$$或$${\bf x} >-\frac{1} {2}$$，则关于$${{x}}$$的不等式$$\mathrm{c x^{2}-b x+a > 0}$$的解是$${{(}{)}}$$
C
A.$${{x}{<}{−}{2}}$$或$${\bf x} >-\frac{1} {2}$$
B.$$- 2 < x <-\frac1 2$$
C.$$\frac{1} {2} < x < 2$$
D.$${{x}{>}{2}}$$或$${\bf x} < \frac{1} {2}$$
7、['分式不等式的解法'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系']正确率60.0%已知关于$${{x}}$$的不等式$$\frac{x+a} {x} \geq b$$的解集是$$[-1， 0 )$$，则$${{a}{+}{b}{=}}$$（）
C
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{3}}$$
8、['二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系']正确率60.0%若$$y=a x^{2}+b x+c ~ ( a < 0 )$$中，两个零点$$x_{1} < 0， ~ x_{2} > 0$$，且$$x_{1}+x_{2} > 0$$，则（）
A
A.$$b > 0， \， \， c > 0$$
B.$$b > 0， \， \， c < 0$$
C.$$b < 0， \， \， c > 0$$
D.$$b < 0， \; c < 0$$
9、['二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系']正确率60.0%关于$${{x}}$$的一元二次方程$$x^{2}+( a^{2}-3 a ) x+a=0$$的两个实数根互为倒数，则$${{a}}$$的值为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{−}{3}}$$
B.$${{0}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{−}{3}}$$或$${{0}}$$
10、['一元二次方程的解集'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系']正确率60.0%函数$$y=x^{2}+6 x+8$$的零点是 （）
B
A.$${{2}{，}{4}}$$
B.$$- 2，-4$$
C.$$(-2， 0 )， (-4， 0 )$$
D.$$(-2，-4 )$$
1. 解析：
不等式 $$a x^{2}-3 x+a \geq 0$$ 对所有 $$x \in \mathbf{R}$$ 恒成立的条件是：
(1) 二次项系数 $$a > 0$$；
(2) 判别式 $$\Delta \leq 0$$，即 $$(-3)^2 - 4 \cdot a \cdot a \leq 0$$，解得 $$a \geq \frac{3}{2}$$ 或 $$a \leq -\frac{3}{2}$$。
结合条件 (1)，只有 $$a \geq \frac{3}{2}$$ 满足。因此，正确答案是 C。
2. 解析：
不等式 $$a x^{2}-5 x+b < 0$$ 的解集为 $$(2, 3)$$，说明：
(1) 二次函数开口向下，即 $$a < 0$$；
(2) 方程 $$a x^{2}-5 x+b = 0$$ 的根为 $$x=2$$ 和 $$x=3$$。
由韦达定理：
$$2 + 3 = \frac{5}{a}$$ ⇒ $$a = 1$$（与 $$a < 0$$ 矛盾，需重新推导）。
实际上，解集为 $$(2, 3)$$ 表明 $$a > 0$$，且根为 $$x=2$$ 和 $$x=3$$。因此：
$$a(x-2)(x-3) < 0$$ ⇒ 展开得 $$a x^{2} - 5a x + 6a < 0$$。
对比原不等式，得 $$a=1$$，$$b=6$$。正确答案是 A。
3. 解析：
不等式 $$-\frac{1}{2}x^{2}+2x > mx$$ 可化简为 $$-\frac{1}{2}x^{2}+(2-m)x > 0$$。
解集为 $$(0, 4)$$，说明二次函数开口向下，且根为 $$x=0$$ 和 $$x=4$$。
因此，不等式可表示为 $$-\frac{1}{2}x(x-4) > 0$$，展开得 $$-\frac{1}{2}x^{2}+2x > 0$$。
对比系数，得 $$2-m=2$$ ⇒ $$m=0$$。正确答案是 B。
4. 解析：
不等式 $$a x^{2}+b x+c > 0$$ 的解集为 $$(\alpha, \beta)$$，说明 $$a < 0$$，且 $$x=\alpha$$ 和 $$x=\beta$$ 是方程的根。
由韦达定理：
$$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$$，$$\alpha \beta = \frac{c}{a}$$。
不等式 $$c x^{2}+b x+a < 0$$ 可表示为 $$\frac{a}{\alpha \beta}x^{2} - a\left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\right)x + a < 0$$。
化简得 $$\frac{1}{\alpha \beta}x^{2} - \left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\right)x + 1 > 0$$。
因式分解为 $$\left(\frac{x}{\alpha}-1\right)\left(\frac{x}{\beta}-1\right) > 0$$，解集为 $$x < \frac{1}{\beta}$$ 或 $$x > \frac{1}{\alpha}$$。正确答案是 B。
5. 解析：
函数 $$g(x)=\frac{1}{3}x^{3}-\frac{m}{2}x^{2}$$ 的导数为 $$g'(x)=x^{2}-m x$$。
在区间 $$[0, 2]$$ 上，存在 $$x_1$$ 和 $$x_2$$ 使得 $$g'(x_1)=g'(x_2)=\frac{g(2)-g(0)}{2-0}=\frac{8}{3}-2m$$。
因此，方程 $$x^{2}-m x = \frac{8}{3}-2m$$ 在 $$(0, 2)$$ 上有两个不同的解。
化简得 $$x^{2}-m x + 2m - \frac{8}{3} = 0$$。
判别式 $$\Delta = m^{2}-4\left(2m-\frac{8}{3}\right) > 0$$ ⇒ $$m^{2}-8m+\frac{32}{3} > 0$$。
解得 $$m \in \left(\frac{4}{3}, \frac{8}{3}\right)$$。正确答案是 D。
6. 解析：
不等式 $$a x^{2}+b x+c < 0$$ 的解为 $$x < -2$$ 或 $$x > -\frac{1}{2}$$，说明 $$a < 0$$，且根为 $$x=-2$$ 和 $$x=-\frac{1}{2}$$。
由韦达定理：
$$-2 + \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{b}{a}$$ ⇒ $$b = \frac{5a}{2}$$；
$$(-2) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{c}{a}$$ ⇒ $$c = a$$。
不等式 $$c x^{2}-b x+a > 0$$ 即 $$a x^{2}-\frac{5a}{2}x + a > 0$$。
因 $$a < 0$$，化简为 $$x^{2}-\frac{5}{2}x + 1 < 0$$。
解集为 $$\frac{1}{2} < x < 2$$。正确答案是 C。
7. 解析：
不等式 $$\frac{x+a}{x} \geq b$$ 可化为 $$\frac{x+a-bx}{x} \geq 0$$ ⇒ $$\frac{(1-b)x + a}{x} \geq 0$$。
解集为 $$[-1, 0)$$，说明 $$x=-1$$ 是方程的根，且 $$x=0$$ 是垂直渐近线。
代入 $$x=-1$$ 得 $$\frac{(1-b)(-1)+a}{-1} = 0$$ ⇒ $$a + b = 1$$。
又因为解集为 $$[-1, 0)$$，分母 $$x$$ 在 $$(-1, 0)$$ 为负，分子需为负，即 $$(1-b)x + a < 0$$。
代入 $$x=-1$$ 得 $$a + b = 1$$，再代入 $$x \to 0^{-}$$ 得 $$a \leq 0$$。
结合选项，$$a + b = 1$$ 对应 C。
8. 解析：
二次函数 $$y = a x^{2} + b x + c$$（$$a < 0$$）有两个零点 $$x_1 < 0$$ 和 $$x_2 > 0$$，且 $$x_1 + x_2 > 0$$。
由韦达定理：
$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} > 0$$ ⇒ $$b > 0$$（因为 $$a < 0$$）；
$$x_1 x_2 = \frac{c}{a} < 0$$ ⇒ $$c > 0$$（因为 $$a < 0$$）。
因此，正确答案是 A。
9. 解析：
方程 $$x^{2}+(a^{2}-3a)x + a = 0$$ 的两个根互为倒数，设根为 $$r$$ 和 $$\frac{1}{r}$$。
由韦达定理：
$$r + \frac{1}{r} = -(a^{2}-3a)$$；
$$r \cdot \frac{1}{r} = a$$ ⇒ $$a = 1$$。
验证 $$a=1$$ 是否满足判别式 $$\Delta \geq 0$$：
$$\Delta = (1-3)^2 - 4 \cdot 1 \geq 0$$ ⇒ $$4 - 4 = 0$$，成立。
因此，正确答案是 C。
10. 解析：
函数 $$y = x^{2} + 6x + 8$$ 的零点为方程 $$x^{2} + 6x + 8 = 0$$ 的解。
因式分解得 $$(x+2)(x+4) = 0$$，解为 $$x=-2$$ 和 $$x=-4$$。
因此，正确答案是 B。