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正确率40.0%若函数 $${{f}}$$( $${{x}}$$$${{)}{=}}$$ $${{x}}$$$$- \frac1 3 \operatorname{s i n} 2$$ $${{x}}$$$${{+}}$$ $${{a}}$$$${{s}{i}{n}}$$ $${{x}}$$在$$(-\infty，+\infty)$$上单调递增，则 $${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
D
A.$$[-1， 1 ]$$
B.$$[ ~-1， \frac{1} {3} ~ ]$$
C.$$[-1，-\frac{1} {3} ]$$
D.$$[-\frac{1} {3}， \frac{1} {3} ]$$
3、['同角三角函数的平方关系'， '函数中的恒成立问题'， '余弦（型）函数的定义域和值域'， '二次函数的图象分析与判断']正确率19.999999999999996%关于$${{x}}$$的不等式$$\operatorname{s i n}^{2} x+a \operatorname{c o s} x-a^{2} \leq1+\operatorname{c o s} x$$对一切$${{x}{∈}{R}}$$恒成立，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）
C
A.$$( \ -1， \ \frac{1} {3} )$$
B.$$[-1， ~ \frac{1} {3} ]$$
C.$$( \mathrm{\Phi}-\infty， \mathrm{\Phi}-1 \mathrm{\brack{}} \cup[ \frac{1} {3}， \mathrm{\Phi}+\infty)$$
D.$$( \mathrm{\Phi}-\infty， \mathrm{\Phi}-1 ) \cup\mathrm{\Phi} ( \frac{1} {3}， \mathrm{\Phi}+\infty)$$
4、['数列的函数特征'， '二次函数的图象分析与判断']正确率60.0%在数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{n}=-2 n^{2}+1 1 n+3$$，则此数列最大项的值是（）
C
A.$${{1}{7}}$$
B.$$1 7 \frac{1} {8}$$
C.$${{1}{8}}$$
D.$$1 8 \frac{1} {8}$$
7、['一元二次不等式的解法'， '对数（型）函数的单调性'， '对数方程与对数不等式的解法'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=l o g_{a} \ ( \begin{matrix} {x^{2}+2 x-3} \\ \end{matrix} )$$，若$$f \ ( 2 ) \ > 0$$，则此函数的单调递增区间是（）
B
A.$$( 1， ~ ~+\infty) ~ ~ \cup~ ( ~-\infty， ~-3 )$$
B.$$( 1， ~+\infty)$$
C.$$( \ -\infty， \ -1 )$$
D.$$( \mathrm{~}-\infty， \mathrm{~}-3 )$$
8、['集合相等'， '空集'， '命题的真假性判断'， '二次函数的图象分析与判断']正确率80.0%下列命题中为真命题的是（）
C
A.$$m x^{2}+2 x-1=0$$是一元二次方程
B.抛物线$$y=a x^{2}+2 x-1$$与$${{x}}$$轴至少有一个交点
C.互相包含的两个集合相等
D.空集是任何集合的真子集
9、['利用基本不等式求最值'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%若正数$${{a}{、}{b}}$$满足$$a b=2 \， {\left( \ a+b \right)} \， \，+5$$，设$$y=~ ( \ a+b-4 ) ~ ~ ( \ 1 2-a-b )$$，则$${{y}}$$的最大值是（）
A
A.$${{1}{2}}$$
B.$${{−}{{1}{2}}}$$
C.$${{1}{6}}$$
D.$${{−}{{1}{6}}}$$
10、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '复合函数的单调性判定'， '对数（型）函数的单调性'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{\frac{1} {2}}$$$$( x^{2}-a x-a )$$满足对任意的$$x_{1}， x_{2} \in(-\infty，-\frac{1} {2} ) ( x_{1} \neq x_{2} )$$，有$$( x_{2}-x_{1} ) \left( f \left( x_{2} \right)-f \left( x_{1} \right) \right) > 0$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
C
A.$$[-1，+\infty)$$
B.$$[-1， \frac{1} {2} )$$
C.$$[-1， \frac{1} {2} ]$$
D.$$(-\infty，-1 ]$$
2. 函数 $$f(x)=x-\frac{1}{3}\sin 2x+a\sin x$$ 在 $$(-\infty,+\infty)$$ 上单调递增，需满足导数 $$f'(x)\geq0$$ 恒成立。
求导：$$f'(x)=1-\frac{2}{3}\cos 2x+a\cos x$$
利用恒等式 $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$，代入得：
$$f'(x)=1-\frac{2}{3}(2\cos^2 x-1)+a\cos x=1-\frac{4}{3}\cos^2 x+\frac{2}{3}+a\cos x=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}\cos^2 x+a\cos x$$
令 $$t=\cos x$$，则 $$t\in[-1,1]$$，转化为：
$$g(t)=-\frac{4}{3}t^2+at+\frac{5}{3}\geq0$$ 对任意 $$t\in[-1,1]$$ 成立
二次函数开口向下，需在区间端点及顶点（若在区间内）处非负。
计算端点：
$$g(-1)=-\frac{4}{3}-a+\frac{5}{3}=\frac{1}{3}-a\geq0 \Rightarrow a\leq\frac{1}{3}$$
$$g(1)=-\frac{4}{3}+a+\frac{5}{3}=\frac{1}{3}+a\geq0 \Rightarrow a\geq-\frac{1}{3}$$
顶点横坐标 $$t_0=\frac{a}{2\times(4/3)}=\frac{3a}{8}$$，若 $$\frac{3a}{8}\in[-1,1]$$ 即 $$a\in[-\frac{8}{3},\frac{8}{3}]$$（恒成立），需顶点值非负：
$$g(t_0)=\frac{5}{3}+\frac{a^2}{2\times(4/3)}=\frac{5}{3}+\frac{3a^2}{8}\geq0$$（恒成立）
综上，需同时满足 $$a\leq\frac{1}{3}$$ 且 $$a\geq-\frac{1}{3}$$，即 $$a\in[-\frac{1}{3},\frac{1}{3}]$$
答案：D
3. 不等式 $$\sin^2 x+a\cos x-a^2\leq1+\cos x$$ 对一切 $$x\in\mathbb{R}$$ 恒成立。
利用 $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$，代入整理：
$$1-\cos^2 x+a\cos x-a^2\leq1+\cos x$$
$$\Rightarrow -\cos^2 x+a\cos x-a^2-\cos x\leq0$$
$$\Rightarrow \cos^2 x+(1-a)\cos x+a^2\geq0$$
令 $$t=\cos x$$，则 $$t\in[-1,1]$$，转化为：
$$h(t)=t^2+(1-a)t+a^2\geq0$$ 对任意 $$t\in[-1,1]$$ 成立
二次函数开口向上，需判别式 $$\Delta\leq0$$ 或区间端点非负。
判别式：$$\Delta=(1-a)^2-4a^2=1-2a+a^2-4a^2=1-2a-3a^2$$
若 $$\Delta\leq0$$，即 $$1-2a-3a^2\leq0 \Rightarrow 3a^2+2a-1\geq0 \Rightarrow a\leq-1$$ 或 $$a\geq\frac{1}{3}$$
但需验证区间端点：
$$h(-1)=1-(1-a)+a^2=1-1+a+a^2=a+a^2$$
$$h(1)=1+(1-a)+a^2=2-a+a^2$$
当 $$a\leq-1$$ 时，$$h(-1)=a(a+1)\geq0$$（因 $$a\leq-1$$），$$h(1)=a^2-a+2$$ 恒正（判别式负）
当 $$a\geq\frac{1}{3}$$ 时，$$h(-1)=a^2+a$$ 恒非负，$$h(1)=a^2-a+2$$ 恒正
若 $$\Delta>0$$，即 $$a\in(-1,\frac{1}{3})$$，需最小值在端点处取得且非负：
对称轴 $$t_0=\frac{a-1}{2}$$，可能不在区间内。
计算端点：$$h(-1)=a^2+a$$，$$h(1)=a^2-a+2$$
要求 $$h(-1)\geq0$$ 且 $$h(1)\geq0$$
$$h(-1)\geq0 \Rightarrow a(a+1)\geq0 \Rightarrow a\leq-1$$ 或 $$a\geq0$$
$$h(1)\geq0$$ 恒成立
但在 $$a\in(-1,\frac{1}{3})$$ 内，$$h(-1)\geq0$$ 要求 $$a\geq0$$，即 $$a\in[0,\frac{1}{3})$$
结合判别式情况，综合得 $$a\in(-\infty,-1]\cup[0,+\infty)$$，但需验证端点：
当 $$a=-1$$ 时，$$\Delta=1-2(-1)-3=0$$，成立
当 $$a=0$$ 时，$$h(t)=t^2+t\geq0$$ 在 $$[-1,1]$$ 上不恒成立（例如 $$t=-0.5$$ 时负）
实际上，需完整分析函数最小值。
更严谨方法：参数分离或二次函数最值。
重新考虑：原不等式等价于 $$h(t)=t^2+(1-a)t+a^2$$ 在 $$[-1,1]$$ 上最小值非负。
对称轴 $$t_0=\frac{a-1}{2}$$
若 $$t_0<-1$$ 即 $$a<-1$$，最小值在 $$t=-1$$：$$h(-1)=a^2+a\geq0 \Rightarrow a\leq-1$$ 或 $$a\geq0$$，结合 $$a<-1$$ 得 $$a\leq-1$$
若 $$t_0\in[-1,1]$$ 即 $$a\in[-1,3]$$，最小值在顶点：$$h(t_0)=a^2-\frac{(1-a)^2}{4}=\frac{4a^2-(1-2a+a^2)}{4}=\frac{3a^2+2a-1}{4}\geq0 \Rightarrow 3a^2+2a-1\geq0 \Rightarrow a\leq-1$$ 或 $$a\geq\frac{1}{3}$$
结合 $$a\in[-1,3]$$ 得 $$a\in[-1,-1]\cup[\frac{1}{3},3]$$ 即 $$a=-1$$ 或 $$a\geq\frac{1}{3}$$
若 $$t_0>1$$ 即 $$a>3$$，最小值在 $$t=1$$：$$h(1)=a^2-a+2\geq0$$ 恒成立，故 $$a>3$$ 成立
综上，$$a\leq-1$$ 或 $$a\geq\frac{1}{3}$$
答案：C
4. 数列 $$a_n=-2n^2+11n+3$$ 为二次函数型，求最大值。
对称轴 $$n_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{11}{2\times(-2)}=\frac{11}{4}=2.75$$
由于 $$n$$ 为正整数，取 $$n=2$$ 和 $$n=3$$ 计算：
$$a_2=-2\times4+11\times2+3=-8+22+3=17$$
$$a_3=-2\times9+11\times3+3=-18+33+3=18$$
$$a_4=-2\times16+11\times4+3=-32+44+3=15$$
最大值为 $$18$$
答案：C
7. 函数 $$f(x)=\log_a(x^2+2x-3)$$，且 $$f(2)>0$$。
首先求定义域：$$x^2+2x-3>0 \Rightarrow (x+3)(x-1)>0 \Rightarrow x<-3$$ 或 $$x>1$$
$$f(2)=\log_a(4+4-3)=\log_a5>0$$
若 $$a>1$$，则 $$\log_a5>0$$ 成立；若 $$0
复合函数单调性：外函数 $$\log_a u$$ 在 $$a>1$$ 时递增，内函数 $$u=x^2+2x-3$$ 在 $$x>1$$ 时递增，在 $$x<-3$$ 时递减。
故 $$f(x)$$ 在 $$(1,+\infty)$$ 上递增，在 $$(-\infty,-3)$$ 上递减。
答案：B
8. 判断命题真伪：
A. $$mx^2+2x-1=0$$，若 $$m=0$$ 则不是二次方程，故假
B. 抛物线 $$y=ax^2+2x-1$$，判别式 $$\Delta=4+4a$$，若 $$a<-1$$ 则 $$\Delta<0$$，与 $$x$$ 轴无交点，故假
C. 互相包含即 $$A\subseteq B$$ 且 $$B\subseteq A$$，则 $$A=B$$，真
D. 空集是任何集合的子集，但不是真子集（若集合为空集），故假
答案：C
9. 正数 $$a,b$$ 满足 $$ab=2(a+b)+5$$，求 $$y=(a+b-4)(12-a-b)$$ 最大值。
令 $$s=a+b$$，则 $$ab=2s+5$$，由均值不等式 $$s\geq2\sqrt{ab}$$，但需换元。
由 $$ab=2s+5$$ 及 $$s^2\geq4ab$$，得 $$s^2\geq4(2s+5)=8s+20 \Rightarrow s^2-8s-20\geq0 \Rightarrow s\geq10$$ 或 $$s\leq-2$$（舍）
故 $$s\geq10$$
$$y=(s-4)(12-s)=-(s-4)(s-12)$$
展开：$$y=-(s^2-16s+48)=-s^2+16s-48$$
为二次函数，开口向下，对称轴 $$s=8$$，但 $$s\geq10$$，故在 $$s=10$$ 处取得最大值：
$$y(10)=-100+160-48=12$$
答案：A
10. 函数 $$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x^2-ax-a)$$，在 $$(-\infty,-\frac{1}{2})$$ 上对任意 $$x_1\neq x_2$$ 有 $$(x_2-x_1)(f(x_2)-f(x_1))>0$$，即函数递增。
底数 $$\frac{1}{2}\in(0,1)$$，故外函数递减，要使复合函数递增，需内函数 $$u(x)=x^2-ax-a$$ 递减。
内函数为二次函数，开口向上，在 $$(-\infty,-\frac{1}{2})$$ 上递减，需对称轴在区间右侧：
对称轴 $$x_0=\frac{a}{2}\geq-\frac{1}{2} \Rightarrow a\geq-1$$
同时定义域要求：$$u(x)=x^2-ax-a>0$$ 在 $$(-\infty,-\frac{1}{2})$$ 上恒成立。
$$u(x)$$ 在 $$(-\infty,-\frac{1}{2})$$ 上递减，故需 $$u(-\frac{1}{2})\geq0$$：
$$u(-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}+\frac{a}{2}-a=\frac{1}{4}-\frac{a}{2}\geq0 \Rightarrow a\leq\frac{1}{2}$$
综上，$$a\in[-1,\frac{1}{2}]$$
但需验证端点：当 $$a=\frac{1}{2}$$ 时，$$u(-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0$$，对数无定义，故取开区间。
答案：B