二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系-2.3 二次函数与一元二次方程、不等式知识点考前进阶选择题自测题解析-内蒙古自治区等高一数学必修,平均正确率38.0%

1、['数量积的性质'， '向量的数量积的定义'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系']

正确率40.0%向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$| \overrightarrow{a} |=4， \， \， \， \overrightarrow{b} \cdot\， \， ( \， \overrightarrow{a}-\， \， \overrightarrow{b} ) \， \，=0$$，若$$| \lambda\vec{a}-\vec{b} |$$的最小值为$$2 \ ( \lambda\in R )$$，则$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=($$）

A.$${{0}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{8}}$$

D.$${{1}{6}}$$

2、['二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系']

正确率40.0%如果关于$${{x}}$$的一元二次不等式$$a x^{2}+b x+c > 0$$的解集为$$\{x | x <-2$$或$${{x}{>}{4}{\}}}$$，那么对于函数$$f ( x )=a x^{2}+b x+c$$应有（）

A.$$f ( 5 ) < ~ f ( 2 ) < ~ f (-1 )$$

B.$$f ( 2 ) < ~ f ( 5 ) < ~ f (-1 )$$

C.$$f (-1 ) < ~ f ( 2 ) < ~ f ( 5 )$$

D.$$f ( 2 ) < ~ f (-1 ) < ~ f ( 5 )$$

3、['函数的新定义问题'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系']

正确率40.0%已知$${{[}{x}{]}}$$表示不大于$${{x}}$$的最大整数，若函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=x^{2}+a [ x ] x-a$$在$$( {\bf0}， ~ {\bf2} )$$上仅有一个零点，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）

A.$$( \mathrm{~}-\infty， \mathrm{~}-4 )$$

B.$$( {\bf0}， \mathrm{\bf~ 1} )$$

C.$$( \mathbf{\psi}-\infty， \mathbf{\psi}-4 ) \mathbf{\psi} \mathbf{\psi} ( \mathbf{0}， \mathbf{1} )$$

D.$$( \mathbf{\alpha}-\infty， \mathbf{\alpha}-\frac{4} {3} ) \mathbf{\alpha} \cup\mathbf{\alpha} ( \mathbf{0}， \mathbf{\alpha}+\infty)$$

4、['含参数的一元二次不等式的解法'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系']

正确率60.0%已知$${{c}{>}{1}}$$，则不等式$$x^{2}-( c+\frac{1} {c} ) x+1 > 0$$的解集为（）

A.$$\{x | \frac{1} {c} < x < c \}$$

B.$$\{x | x > \frac{1} {c}， \ \sharp x > c \}$$

C.$$\{x | x < \frac{1} {c}， \ \sharp x > c \}$$

D.$$\{x | c < x < \frac{1} {c} \}$$

5、['对数函数y= log2 X的图象和性质'， '函数的最大(小)值'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系'， '对数的运算性质']

正确率19.999999999999996%设正数$${{x}{，}{y}}$$满足$$l o g_{\frac{1} {3}} x+l o g_{3} y=m ~ ( ~ m \in[-1， ~ 1 ] )$$，若不等式$$3 a x^{2}-1 8 x y+\begin{array} {c} {( 2 a+3 )} \\ {y^{2} \geqslant\ ( x-y )} \\ \end{array}^{2}$$有解，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$( 1， ~ \frac{5 5} {2 9} ]$$

B.$$( 1， ~ \frac{3 1} {2 1} ]$$

C.$$[ \frac{3 1} {2 1}， ~+\infty)$$

D.$$[ \frac{5 5} {2 9}， ~ ~+\infty)$$

6、['函数的新定义问题'， '导数的四则运算法则'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系'， '根据函数零点个数求参数范围']

正确率40.0%定义：如果函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的导函数为$$f^{'} \left( x \right)$$，在区间$$[ a， b ]$$上存在$$x_{1}， ~ x_{2} ~ ( a {<} x_{1} {<} x_{2} {<} b )$$使得$$f^{'} \left( x_{1} \right)=\frac{f \left( b \right)-f \left( a \right)} {b-a}， \; \; f^{'} \left( x_{2} \right)=\frac{f \left( b \right)-f \left( a \right)} {b-a}$$，则称$${{f}{{(}{x}{)}}}$$为区间$$[ a， b ]$$上的$${{"}}$$双中值函数$${{"}}$$.已知函数$$g \left( x \right)=\frac1 3 x^{3}-\frac m 2 x^{2}$$是$$[ 0， 2 ]$$上的$${{"}}$$双中值函数$${{"}}$$，则实数$${{m}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$[ \frac{4} {3}， \frac{8} {3} ]$$

B.$$(-\infty，+\infty)$$

C.$$\left( \frac{4} {3}，+\infty\right)$$

D.$$( \frac{4} {3}， \frac{8} {3} )$$

7、['二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系']

正确率40.0%若$$f ( x )=x^{2}+m x+( m+3 )$$有两个不同的零点，则$${{m}}$$的取值范围是（）

A.$$(-\infty，-2 ) \bigcup( 6，+\infty)$$

B.$$(-2， 6 )$$

C.$$[-2， 6 ]$$

D.$$\{-2， 6 \}$$

8、['二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系'， '图象法'， '不等式比较大小']

正确率40.0%$${{1}{1}}$$.已知函数$$f ( x )=e^{x}-x^{2}+2 x. \ g ( x )=\operatorname{l n} x-\frac{1} {x}+2. \ h ( x )=\sqrt{x}+x-2$$，且$$- 1 < x < 3$$，若$$f ( a )=g ( b )=h ( c )=0$$，则实数$$a， ~ b， ~ c$$的大小关系是（）

A.$$a < b < c$$

B.$$b < a < c$$

C.$$a < c < b$$

D.$$c < b < a$$

9、['二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系']

正确率19.999999999999996%若实数$${{m}}$$，$${{n}}$$为方程$$x^{2}-2 k x+k+6=0$$的两根，则$$( m-1 )^{2}+( n-1 )^{2}$$的最小值为（）

A.$${{8}}$$

B.$${{1}{4}}$$

C.$${{−}{{1}{4}}}$$

D.$$- \frac{4 9} {4}$$

10、['函数的三要素'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系']

正确率40.0%已知函数$$y=\sqrt{( a-1 ) x^{2}+a x+1}$$的值域为$$[ 0，+\infty)$$，则$${{a}}$$的取值范围为（）

A.$${{a}{⩾}{1}}$$

B.$${{a}{>}{1}}$$

C.$${{a}{⩽}{1}}$$

D.$${{a}{<}{1}}$$

1. 解析：

根据题意，$$|\overrightarrow{a}|=4$$，$$\overrightarrow{b} \cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=0$$，可得$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{b}|^2$$。设$$\theta$$为$$\overrightarrow{a}$$与$$\overrightarrow{b}$$的夹角，则$$\cos \theta = \frac{|\overrightarrow{b}|}{4}$$。

要求$$|\lambda \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|$$的最小值为2，利用向量长度公式：

$$|\lambda \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2 = \lambda^2 |\overrightarrow{a}|^2 - 2\lambda \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + |\overrightarrow{b}|^2 = 16\lambda^2 - 2\lambda |\overrightarrow{b}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2$$。

对$$\lambda$$求导并令导数为0，得到极小值点$$\lambda = \frac{|\overrightarrow{b}|^2}{32}$$，代入得最小值为$$\sqrt{|\overrightarrow{b}|^2 - \frac{|\overrightarrow{b}|^4}{16}} = 2$$。

解得$$|\overrightarrow{b}|^2 = 8$$，因此$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 8$$，答案为$$C$$。

2. 解析：

由不等式解集$$x<-2$$或$$x>4$$，可知二次函数开口向上，且$$f(x)=0$$的根为$$x=-2$$和$$x=4$$。

因此$$f(x)=a(x+2)(x-4)$$，对称轴为$$x=1$$。

比较函数值：$$f(5)=a \cdot 7 \cdot 1=7a$$，$$f(2)=a \cdot 4 \cdot (-2)=-8a$$，$$f(-1)=a \cdot 1 \cdot (-5)=-5a$$。

由于$$a>0$$，故$$f(2) < f(-1) < f(5)$$，答案为$$D$$。

3. 解析：

函数$$f(x)=x^2 + a[x]x - a$$在$$(0,2)$$上仅有一个零点，分区间讨论：

1. 当$$x \in (0,1)$$时，$$[x]=0$$，$$f(x)=x^2 - a$$，零点为$$x=\sqrt{a}$$，需$$\sqrt{a} \in (0,1)$$即$$a \in (0,1)$$。

2. 当$$x \in [1,2)$$时，$$[x]=1$$，$$f(x)=x^2 + a x - a$$，判别式$$\Delta = a^2 + 4a$$。

若$$a \in (0,1)$$，需$$f(1)=1 > 0$$且$$f(2)=4 + a < 0$$，矛盾；若$$a < -4$$，$$f(1)=1$$和$$f(2)=4 + a$$可能满足唯一零点。

综上，$$a \in (-\infty,-4) \cup (0,1)$$，答案为$$C$$。

4. 解析：

不等式$$x^2 - \left(c+\frac{1}{c}\right)x + 1 > 0$$可因式分解为$$(x-c)\left(x-\frac{1}{c}\right) > 0$$。

由于$$c > 1$$，$$\frac{1}{c} < c$$，解集为$$x < \frac{1}{c}$$或$$x > c$$，答案为$$C$$。

5. 解析：

由对数条件$$\log_{\frac{1}{3}} x + \log_3 y = m$$，化简得$$xy = 3^{-m}$$，$$m \in [-1,1]$$，故$$xy \in \left[\frac{1}{3}, 3\right]$$。

不等式$$3a x^2 - 18xy + (2a+3)y^2 \geq (x-y)^2$$化简为$$(3a-1)x^2 - 16xy + (2a+2)y^2 \geq 0$$。

除以$$y^2$$，设$$t=\frac{x}{y}$$，得$$(3a-1)t^2 - 16t + (2a+2) \geq 0$$。

由$$xy \in \left[\frac{1}{3}, 3\right]$$，$$t$$的范围需满足判别式$$\Delta \geq 0$$，解得$$a \geq \frac{55}{29}$$，答案为$$D$$。

6. 解析：

函数$$g(x)=\frac{1}{3}x^3 - \frac{m}{2}x^2$$的导数为$$g'(x)=x^2 - m x$$。

由双中值定义，存在$$x_1, x_2 \in (0,2)$$使得$$g'(x_1)=g'(x_2)=\frac{g(2)-g(0)}{2-0}=\frac{8}{3}-2m$$。

即方程$$x^2 - m x = \frac{4}{3} - m$$有两个不同解，判别式$$\Delta = m^2 - 4\left(\frac{4}{3} - m\right) > 0$$。

解得$$m \in \left(\frac{4}{3}, \frac{8}{3}\right)$$，答案为$$D$$。

7. 解析：

函数$$f(x)=x^2 + m x + (m+3)$$有两个不同零点，需判别式$$\Delta = m^2 - 4(m+3) > 0$$。

解得$$m < -2$$或$$m > 6$$，答案为$$A$$。

8. 解析：

函数$$f(a)=e^a - a^2 + 2a = 0$$，$$g(b)=\ln b - \frac{1}{b} + 2 = 0$$，$$h(c)=\sqrt{c} + c - 2 = 0$$。

解得$$c=1$$，$$b \approx 0.2$$，$$a \approx -1.5$$，故$$a < b < c$$，答案为$$A$$。

9. 解析：

由韦达定理，$$m+n=2k$$，$$mn=k+6$$。

表达式$$(m-1)^2 + (n-1)^2 = (m+n)^2 - 2mn - 2(m+n) + 2 = 4k^2 - 2(k+6) - 4k + 2 = 4k^2 - 6k - 10$$。

最小值为$$k=\frac{3}{4}$$时，$$-\frac{49}{4}$$，但需判别式$$\Delta \geq 0$$，即$$k \leq -2$$或$$k \geq 3$$。

在$$k=3$$时取得最小值$$8$$，答案为$$A$$。

10. 解析：

函数$$y=\sqrt{(a-1)x^2 + a x + 1}$$值域为$$[0,+\infty)$$，需$$(a-1)x^2 + a x + 1 \geq 0$$对所有$$x$$成立。

若$$a=1$$，$$y=\sqrt{x + 1}$$，值域为$$[0,+\infty)$$，符合。

若$$a \neq 1$$，需$$a-1 > 0$$且判别式$$\Delta \leq 0$$，即$$a \geq 1$$。

综上，$$a \geq 1$$，答案为$$A$$。

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