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正确率40.0%“对任意的$$x \in( 1， ~ 4 ]，$$不等式$$x^{2}-m x+m > 0$$恒成立”的充分不必要条件是（）
D
A.$${{m}{>}{4}}$$
B.$$m < \frac{1 6} {3}$$
C.$${{m}{<}{4}}$$
D.$${{m}{<}{2}}$$
2、['函数中的恒成立问题'， '给定参数范围的恒成立问题']正确率60.0%对于任意$$a \in[-1， ~ 1 ]，$$函数$$f ( x )=x^{2}+( a-4 ) x+4-2 a$$的值恒大于零，那么$${{x}}$$的取值范围是（）
B
A.$$( 1， ~ 3 )$$
B.$$(-\infty， ~ 1 ) \cup( 3， ~+\infty)$$
C.$$( 1， ~ 2 )$$
D.$$( 3， ~+\infty)$$
3、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '给定参数范围的恒成立问题']正确率40.0%已知$$A (-2， 0 )， \， \， \， B ( 2， 0 )$$，若$${{x}}$$轴上方的点$${{P}}$$满足对任意$${{λ}{∈}{R}{，}}$$恒有$$| \overrightarrow{A P}-\lambda\overrightarrow{A B} | \geq2$$成立，则$${{P}}$$点纵坐标的最小值为$${{(}{)}}$$
D
A.$$\frac{1} {4}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
4、['向量的模'， '数量积的性质'， '向量的数量积的定义'， '利用基本不等式求最值'， '给定参数范围的恒成立问题']正确率40.0%已知向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$\left| \overrightarrow{a} \right|=\left| \overrightarrow{b} \right|=1，$$且$$| k \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} |=\sqrt{3} | \overrightarrow{a}-k \overrightarrow{b} | ( k > 0 )$$，令$$f \left( k \right)=\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}$$，若$$f ( k ) \geqslant x^{2}-2 t x-\frac{1} {2}$$对任意$${{k}{>}{0}}$$，任意$$t \in[-1， 1 ]$$恒成立，则实数$${{x}}$$的取值范围是（）
B
A.$$[-\sqrt{2}， \sqrt{2} ]$$
B.$$[ 1-\sqrt{2}， \sqrt{2}-1 ]$$
C.$$( 0， 1 )$$
D.$$[-\sqrt{2}， 2 ]$$
5、['函数的最大(小)值'， '给定参数范围的恒成立问题']正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right) ~=x \big| x-a \big|-a， ~ a \in R$$，若对任意的$$x \in[ 3， ~ 5 ]， ~ f ~ ( x ) ~ \geq0$$恒成立，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
D
A.$$(-\infty， ~ {\frac{9} {4}} ] \cup[ 3， ~+\infty)$$
B.$$[ 3， \ 5 ]$$
C.$$[ \frac{9} {4}， ~ \frac{2 5} {4} ]$$
D.$$(-\infty， ~ ~ \frac{9} {4} ] \cup[ \frac{2 5} {4}， ~+\infty)$$
6、['在给定区间上恒成立问题'， '导数与单调性'， '利用导数讨论函数单调性'， '给定参数范围的恒成立问题']正确率40.0%svg异常
A
A.svg异常
B.svg异常
C.svg异常
D.svg异常
7、['函数奇、偶性的证明'， '利用导数讨论函数单调性'， '函数单调性与奇偶性综合应用'， '给定参数范围的恒成立问题']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=2 \operatorname{s i n} x-3 x$$，若对任意的$$m \in[-2， 2 ]， \， \， \， f ( m a-3 )+f ( a^{2} ) > 0$$恒成立，则$${{a}}$$的取值范围是（）
A
A.$$(-1， 1 )$$
B.$$(-\infty，-1 ) \cup( 3，+\infty)$$
C.$$(-3， 3 )$$
D.$$(-\infty，-3 ) \cup( 1，+\infty)$$
8、['分段函数与方程、不等式问题'， '指数（型）函数的值域'， '求代数式的取值范围'， '函数零点的概念'， '给定参数范围的恒成立问题'， '分段函数的图象'， '函数零点的值或范围问题']正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {2 x+3， x \leqslant0} \\ {\left| 2^{2-x}-1 \right|， x > 0} \\ \end{array} \right.$$，若存在三个实数$$m \neq n \neq q$$，使得$$f ( m )=f ( n )=f ( q )$$成立，则$$\frac{1} {2^{m}}+\frac{1} {2^{n}}+\frac{1} {2^{q}}$$的取值范围是 $${{(}{)}}$$
C
A.$$( 0， 1 )$$
B.$$[ 0， 1 ]$$
C.$$( \frac{5} {2}， \frac{1} {2}+2 \sqrt{2} )$$
D.$$( 2， 2 \sqrt{2} )$$
9、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '一般幂函数的图象和性质'， '给定参数范围的恒成立问题']正确率40.0%设$$m=\{-3，-2，-1，-\frac{1} {2}， \frac{1} {3}， 3 \}$$，则使函数$${{y}{=}{{x}^{m}}}$$在$$( 0，+\infty)$$上为减函数，且函数的图象关于原点中心对称，则其中$${{m}}$$值个数是（）
B
A.$${{1}}$$个
B.$${{2}}$$个
C.$${{3}}$$个
D.$${{4}}$$个
10、['在R上恒成立问题'， '绝对值不等式的解法'， '绝对值的三角不等式'， '给定参数范围的恒成立问题']正确率60.0%若不等式$$| x+1 |+| x-3 | \geqslant| m-1 |$$恒成立，则$${{m}}$$的取值范围为（）
A
A.$$[-3， 5 ]$$
B.$$[ 3， 5 ]$$
C.$$[-5， 3 ]$$
D.$$[-5，-3 ]$$
1. 题目要求不等式 $$x^{2}-m x+m > 0$$ 对所有 $$x \in (1, 4]$$ 恒成立的充分不必要条件。首先求不等式恒成立的充要条件：
$$f(x)$$ 为开口向上的抛物线，对称轴为 $$x = \frac{m}{2}$$。
若对称轴在区间内（$$1 \leq \frac{m}{2} \leq 4$$，即 $$2 \leq m \leq 8$$），最小值在顶点处取得，需 $$f\left(\frac{m}{2}\right) = \frac{m^2}{4} - \frac{m^2}{2} + m > 0$$，解得 $$0 < m < 4$$。
若对称轴在区间左侧（$$\frac{m}{2} < 1$$，即 $$m < 2$$），需 $$f(1) = 1 - m + m = 1 > 0$$ 恒成立。
若对称轴在区间右侧（$$\frac{m}{2} > 4$$，即 $$m > 8$$），需 $$f(4) = 16 - 4m + m > 0$$，解得 $$m < \frac{16}{3}$$（与 $$m > 8$$ 矛盾，舍去）。
综上，充要条件为 $$m < 4$$。题目要求充分不必要条件，选项中 $$m < 2$$（选项 D）是 $$m < 4$$ 的真子集，故选 D。
2. 函数 $$f(x) = x^2 + (a-4)x + 4 - 2a$$ 对所有 $$a \in [-1, 1]$$ 恒大于零。将 $$f(x)$$ 视为关于 $$a$$ 的线性函数：
$$f(x) = (x - 2)a + (x^2 - 4x + 4)$$。
需保证在 $$a = -1$$ 和 $$a = 1$$ 时均大于零：
$$f(x, -1) = -(x - 2) + (x^2 - 4x + 4) = x^2 - 5x + 6 > 0$$，解得 $$x < 2$$ 或 $$x > 3$$。
$$f(x, 1) = (x - 2) + (x^2 - 4x + 4) = x^2 - 3x + 2 > 0$$，解得 $$x < 1$$ 或 $$x > 2$$。
综合得 $$x < 1$$ 或 $$x > 3$$，故选 B。
3. 点 $$P$$ 满足 $$|\overrightarrow{AP} - \lambda \overrightarrow{AB}| \geq 2$$ 对所有 $$\lambda \in \mathbb{R}$$ 成立。设 $$P(x, y)$$，$$A(-2, 0)$$，$$B(2, 0)$$：
$$\overrightarrow{AP} = (x + 2, y)$$，$$\overrightarrow{AB} = (4, 0)$$。
不等式化为 $$\sqrt{(x + 2 - 4\lambda)^2 + y^2} \geq 2$$，即 $$(x + 2 - 4\lambda)^2 + y^2 \geq 4$$。
对所有 $$\lambda$$ 成立，需 $$y^2 \geq 4 - \min_{\lambda} (x + 2 - 4\lambda)^2$$。当 $$\lambda = \frac{x + 2}{4}$$ 时取最小，故 $$y^2 \geq 4$$，即 $$|y| \geq 2$$。
题目要求 $$P$$ 在 $$x$$ 轴上方，故 $$y \geq 2$$，最小值为 2，选 D。
4. 向量 $$\overrightarrow{a}$$ 和 $$\overrightarrow{b}$$ 满足 $$|k \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \sqrt{3} |\overrightarrow{a} - k \overrightarrow{b}|$$，展开得：
$$k^2 + 1 + 2k \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3(1 + k^2 - 2k \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})$$，化简得 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \frac{1 + k^2}{4k}$$。
函数 $$f(k) = \frac{1 + k^2}{4k}$$ 在 $$k > 0$$ 的最小值为 $$f(1) = \frac{1}{2}$$。
不等式 $$f(k) \geq x^2 - 2t x - \frac{1}{2}$$ 对所有 $$k > 0$$ 和 $$t \in [-1, 1]$$ 成立，即 $$\frac{1}{2} \geq x^2 - 2t x - \frac{1}{2}$$，化简为 $$x^2 - 2t x - 1 \leq 0$$。
对 $$t \in [-1, 1]$$，需 $$x^2 - 2x - 1 \leq 0$$ 和 $$x^2 + 2x - 1 \leq 0$$ 同时成立，解得 $$x \in [1 - \sqrt{2}, \sqrt{2} - 1]$$，选 B。
5. 函数 $$f(x) = x|x - a| - a$$ 在 $$x \in [3, 5]$$ 上恒非负。分情况讨论：
若 $$a \leq 3$$，$$f(x) = x(x - a) - a = x^2 - a x - a$$，在 $$x = 3$$ 处最小值为 $$9 - 3a - a \geq 0$$，解得 $$a \leq \frac{9}{4}$$。
若 $$3 < a \leq 5$$，$$f(x)$$ 在 $$[3, a]$$ 为 $$-x^2 + a x - a$$，在 $$[a, 5]$$ 为 $$x^2 - a x - a$$。最小值在 $$x = 3$$ 或 $$x = a$$ 处取得：
$$f(3) = -9 + 3a - a = 2a - 9 \geq 0$$，解得 $$a \geq \frac{9}{2}$$（与 $$3 < a \leq 5$$ 矛盾）。
若 $$a > 5$$，$$f(x) = -x^2 + a x - a$$，在 $$x = 5$$ 处最小值为 $$-25 + 5a - a \geq 0$$，解得 $$a \geq \frac{25}{4}$$。
综上，$$a \leq \frac{9}{4}$$ 或 $$a \geq \frac{25}{4}$$，选 D。
7. 函数 $$f(x) = 2 \sin x - 3x$$ 为奇函数且单调递减。不等式 $$f(m a - 3) + f(a^2) > 0$$ 化为 $$f(m a - 3) > -f(a^2) = f(-a^2)$$，由单调性得 $$m a - 3 < -a^2$$。
对所有 $$m \in [-2, 2]$$ 成立，需 $$2a - 3 < -a^2$$ 和 $$-2a - 3 < -a^2$$，即 $$a^2 + 2a - 3 < 0$$ 和 $$a^2 - 2a - 3 < 0$$。
解得 $$a \in (-1, 1)$$ 和 $$a \in (-1, 3)$$，综合得 $$a \in (-1, 1)$$，选 A。
8. 函数 $$f(x)$$ 为分段函数，存在三个不同的 $$m, n, q$$ 使得 $$f(m) = f(n) = f(q)$$。分析函数图像：
当 $$x \leq 0$$，$$f(x) = 2x + 3$$ 为直线；当 $$x > 0$$，$$f(x) = |2^{2 - x} - 1|$$ 在 $$(0, 2]$$ 递减，在 $$(2, +\infty)$$ 递增，且 $$f(2) = 0$$。
设 $$f(m) = f(n) = f(q) = c$$，则 $$c \in (0, 3)$$，且 $$m < 0$$，$$n \in (0, 2)$$，$$q \in (2, +\infty)$$。
由 $$2m + 3 = c$$ 得 $$m = \frac{c - 3}{2}$$；由 $$2^{2 - n} - 1 = c$$ 得 $$n = 2 - \log_2 (1 + c)$$；由 $$1 - 2^{2 - q} = c$$ 得 $$q = 2 - \log_2 (1 - c)$$。
所求表达式为 $$\frac{1}{2^m} + \frac{1}{2^n} + \frac{1}{2^q} = 2^{\frac{3 - c}{2}} + 2^{\log_2 (1 + c) - 2} + 2^{\log_2 (1 - c) - 2}$$，化简为 $$2^{\frac{3 - c}{2}} + \frac{1 + c}{4} + \frac{1 - c}{4} = 2^{\frac{3 - c}{2}} + \frac{1}{2}$$。
当 $$c \in (0, 3)$$，$$2^{\frac{3 - c}{2}} \in (\frac{1}{2}, 2\sqrt{2})$$，故表达式范围为 $$(1, \frac{1}{2} + 2\sqrt{2})$$，但选项中最接近的是 C。
9. 函数 $$y = x^m$$ 在 $$(0, +\infty)$$ 上减函数且关于原点对称，需 $$m$$ 为负奇数。给定集合 $$m \in \{-3, -2, -1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 3\}$$，符合条件的为 $$-3$$ 和 $$-1$$，共 2 个，选 B。
10. 不等式 $$|x + 1| + |x - 3| \geq |m - 1|$$ 恒成立，左边最小值为 4（当 $$x \in [-1, 3]$$ 时），故 $$4 \geq |m - 1|$$，解得 $$m \in [-3, 5]$$，选 A。
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