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正确率60.0%已知命题“$$\exists x \in\mathbf{R}， ~ a x^{2}+2 x+a < ~ 0$$”是真命题，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
A
A.$${{a}{<}{1}}$$
B.$${{a}{⩽}{1}}$$
C.$$- 1 < ~ a < ~ 1$$
D.$$- 1 < ~ a \leq1$$
2、['在R上恒成立问题'， '全称量词命题']正确率60.0%$${{∀}{x}{∈}{R}}$$，不等式$$a x^{2}+4 x-1 < 0$$恒成立，则$${{a}}$$的取值范围为（）
A
A.$${{a}{<}{−}{4}}$$
B.$${{a}{<}{−}{4}}$$或$${{a}{=}{0}}$$
C.$${{a}{⩽}{−}{4}}$$
D.$$- 4 < a < 0$$
3、['在R上恒成立问题'， '一元二次不等式的解法']正确率60.0%若$$\frac1 {\sqrt{a x^{2}-2 a x+2}}$$对任意的$${{x}}$$都有意义，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
D
A.$$0 < a < 2$$
B.$$0 \leqslant a \leqslant2$$
C.$$0 < a \leq2$$
D.$$0 \leqslant a < \ 2$$
4、['在R上恒成立问题']正确率40.0%已知正项数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$单调递增，则使得$$( 1-a_{i} x )^{2} < 1 ( i=1， \ 2， \ 3 \dots， \ k )$$都成立的$${{x}}$$取值范围为（）
D
A.$$( 0， ~ \frac{1} {a_{1}} )$$
B.$$( 0， ~ \frac{2} {a_{1}} )$$
C.$$( 0， ~ \frac{1} {a_{k}} )$$
D.$$( 0， ~ \frac{2} {a_{k}} )$$
5、['在R上恒成立问题'， '一元二次不等式的解法'， '二次函数的图象分析与判断']正确率60.0%使$$x^{2}-x-a^{2}+a+1 > 0$$对任意实数$${{x}}$$成立，则$${{(}{)}}$$
C
A.$$- 1 < a < 1$$
B.$$0 < a < 2$$
C.$$- \frac1 2 < a < \frac3 2$$
D.$$- \frac3 2 < a < \frac1 2$$
6、['在R上恒成立问题'， '一元二次不等式的解法'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%关于$${{x}}$$的不等式$$( a^{2}-4 ) x^{2}+( a+2 ) x-1 \geqslant0$$的解集是空集，则实数$${{a}}$$的范围为 （）
C
A.$$\left(-2， \frac{6} {5} \right)$$
B.$$(-\infty，-2 ] \bigcup\left( \frac{6} {5}，+\infty\right)$$
C.$$[-2， \frac{6} {5} )$$
D.$$(-\infty，-2 ) \bigcup\left( \frac{6} {5}，+\infty\right)$$
7、['在R上恒成立问题'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%若关于$${{x}}$$的不等式$$a x^{2} \!-\! | x \!+\! 1 | \!+\! 3 a \! \geq\! 0$$的解集为$${{R}}$$，则实数$${{a}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
C
A.$$[ \frac{1} {6}，+\infty)$$
B.$$[ \frac{1} {3}，+\infty)$$
C.$$[ \frac{1} {2}，+\infty)$$
D.$$[ \frac{1} {1 2}，+\infty)$$
8、['在R上恒成立问题'， '全称量词命题、存在量词命题的真假判断']正确率40.0%已知命题$$\mathrm{` `} \exists x \in R， \ x^{2}+a x-4 a < 0^{n}$$为假命题，则实数$${{a}}$$的取值范围为 （）
A
A.$$[-1 6， 0 ]$$
B.$$(-1 6， 0 )$$
C.$$[-4， 0 ]$$
D.$$(-4， 0 )$$
10、['在R上恒成立问题'， '全称量词命题、存在量词命题的真假判断']正确率60.0%若命题$$p \colon\exists x \in\mathbf{R}， a x^{2}+2 a x-4 \geqslant0$$为假命题，则$${{a}}$$的取值范围是（）
A
A.$$(-4， 0 ]$$
B.$$[-4， 0 )$$
C.$$[-3， 1 ]$$
D.$$[-3， 2 ]$$
1. 已知命题 $$\exists x \in \mathbf{R}, a x^{2}+2 x+a < 0$$ 是真命题，求实数 $$a$$ 的取值范围。
解析：存在实数 $$x$$ 使不等式成立，分两种情况讨论：
当 $$a = 0$$ 时，不等式为 $$2x < 0$$，存在 $$x < 0$$ 成立，符合。
当 $$a \neq 0$$ 时，需二次函数开口向下且判别式大于零：
$$a < 0$$ 且 $$\Delta = 4 - 4a^{2} > 0$$，解得 $$-1 < a < 0$$。
综上，$$a$$ 的取值范围为 $$-1 < a \leq 0$$，但选项中没有直接对应，需检查选项：A.$$a<1$$ B.$$a\leq1$$ C.$$-1 实际上，$$a=0$$ 成立，$$a<0$$ 时需满足判别式，即 $$a^{2}<1$$，所以 $$-1 实际上，当 $$a>0$$ 时，开口向上，最小值 $$\geq0$$，不可能小于0；当 $$a=0$$ 成立；当 $$a<0$$ 时，需判别式 $$>0$$，即 $$4-4a^{2}>0$$，$$a^{2}<1$$，所以 $$-1 仔细看选项，B是$$a\leq1$$，但正数不成立。可能题目有误，或我误解。 重新思考：存在 $$x$$ 使不等式成立，当 $$a>0$$ 时，开口向上，需最小值<0，即判别式>0，但此时 $$a>0$$ 且 $$\Delta>0$$，即 $$a^{2}<1$$，所以 $$0 所以总结：$$a<0$$ 时，命题真；$$a=0$$ 时，真；$$a>0$$ 时，需判别式>0，即 $$0 因此取值范围为 $$a<1$$，对应选项 A。 答案：A
2. $$\forall x \in \mathbf{R}$$，不等式 $$a x^{2}+4 x-1 < 0$$ 恒成立，求 $$a$$ 的取值范围。
解析：对所有实数 $$x$$ 不等式恒成立，分情况：
当 $$a = 0$$ 时，不等式为 $$4x - 1 < 0$$，不对所有 $$x$$ 成立（例如 $$x=0$$ 时 $$-1<0$$ 成立，但 $$x$$ 很大时不成立），所以 $$a=0$$ 不满足。
当 $$a \neq 0$$ 时，需二次函数开口向下且判别式小于零：
$$a < 0$$ 且 $$\Delta = 16 + 4a < 0$$，解得 $$a < -4$$。
因此 $$a < -4$$，对应选项 A。
答案：A
3. 若 $$\frac{1}{\sqrt{a x^{2}-2 a x+2}}$$ 对任意的 $$x$$ 都有意义，求实数 $$a$$ 的取值范围。
解析：分母需满足根号内大于零：$$a x^{2} - 2 a x + 2 > 0$$ 对所有 $$x$$ 成立。
当 $$a = 0$$ 时，表达式为 $$2 > 0$$，恒成立，符合。
当 $$a \neq 0$$ 时，需二次函数恒正：
若 $$a > 0$$，开口向上，需判别式小于零：$$\Delta = 4a^{2} - 8a < 0$$，即 $$4a(a-2) < 0$$，解得 $$0 < a < 2$$。
若 $$a < 0$$，开口向下，函数值不能恒正，所以无解。
综上，$$0 \leq a < 2$$，对应选项 D。
答案：D
4. 已知正项数列 $$\{a_{n}\}$$ 单调递增，求使得 $$(1 - a_{i} x)^{2} < 1$$（$$i=1,2,3,\dots,k$$）都成立的 $$x$$ 取值范围。
解析：不等式化简：$$(1 - a_{i} x)^{2} < 1$$ 即 $$-1 < 1 - a_{i} x < 1$$，解得 $$0 < a_{i} x < 2$$，所以 $$0 < x < \frac{2}{a_{i}}$$。
要求对所有 $$i$$ 成立，即 $$x$$ 需满足 $$0 < x < \min\left\{\frac{2}{a_{i}}\right\}$$。由于数列单调递增，$$a_{1} \leq a_{2} \leq \dots \leq a_{k}$$，所以 $$\frac{2}{a_{1}} \geq \frac{2}{a_{2}} \geq \dots \geq \frac{2}{a_{k}}$$，因此 $$\min\left\{\frac{2}{a_{i}}\right\} = \frac{2}{a_{k}}$$。
所以 $$x \in (0, \frac{2}{a_{k}})$$，对应选项 D。
答案：D
5. 使 $$x^{2} - x - a^{2} + a + 1 > 0$$ 对任意实数 $$x$$ 成立，求 $$a$$ 的取值范围。
解析：不等式对任意 $$x$$ 恒成立，需二次函数开口向上（已满足）且判别式小于零：
$$\Delta = 1 + 4(a^{2} - a - 1) = 4a^{2} - 4a - 3 < 0$$。
解不等式：$$4a^{2} - 4a - 3 < 0$$，即 $$(2a - 3)(2a + 1) < 0$$，解得 $$-\frac{1}{2} < a < \frac{3}{2}$$。
对应选项 C。
答案：C
6. 关于 $$x$$ 的不等式 $$(a^{2} - 4) x^{2} + (a + 2) x - 1 \geq 0$$ 的解集是空集，求实数 $$a$$ 的范围。
解析：解集为空，意味着对所有 $$x$$，不等式不成立，即恒小于零。
当 $$a^{2} - 4 = 0$$ 时，若 $$a = 2$$，不等式为 $$4x - 1 \geq 0$$，解集非空；若 $$a = -2$$，不等式为 $$-1 \geq 0$$，恒不成立，解集为空，符合。
当 $$a^{2} - 4 \neq 0$$ 时，需二次函数开口向下且判别式小于零：
$$a^{2} - 4 < 0$$ 即 $$-2 < a < 2$$，且 $$\Delta = (a + 2)^{2} + 4(a^{2} - 4) < 0$$。
计算 $$\Delta = a^{2} + 4a + 4 + 4a^{2} - 16 = 5a^{2} + 4a - 12 < 0$$。
解 $$5a^{2} + 4a - 12 < 0$$，即 $$(5a - 6)(a + 2) < 0$$，解得 $$-2 < a < \frac{6}{5}$$。
结合 $$-2 < a < 2$$，得 $$-2 < a < \frac{6}{5}$$。
包括 $$a = -2$$ 的情况，但 $$a = -2$$ 时已单独处理成立，所以整体为 $$-2 \leq a < \frac{6}{5}$$。
对应选项 C。
答案：C
7. 若关于 $$x$$ 的不等式 $$a x^{2} - |x + 1| + 3a \geq 0$$ 的解集为 $$\mathbf{R}$$，求实数 $$a$$ 的取值范围。
解析：不等式含绝对值，需分 $$x \geq -1$$ 和 $$x < -1$$ 讨论。
当 $$x \geq -1$$ 时，$$|x + 1| = x + 1$$，不等式为 $$a x^{2} - x - 1 + 3a \geq 0$$。
当 $$x < -1$$ 时，$$|x + 1| = -x - 1$$，不等式为 $$a x^{2} + x + 1 + 3a \geq 0$$。
要求对所有 $$x$$ 成立，需两个二次不等式恒非负。
由于对称性，通常需 $$a > 0$$，且判别式条件。
经过计算，可得 $$a \geq \frac{1}{2}$$，对应选项 C。
答案：C
8. 已知命题 $$\exists x \in \mathbf{R}, x^{2} + a x - 4a < 0$$ 为假命题，求实数 $$a$$ 的取值范围。
解析：命题假意味着对所有 $$x$$，$$x^{2} + a x - 4a \geq 0$$ 成立。
即二次函数恒非负，需开口向上（已满足）且判别式 $$\leq 0$$：
$$\Delta = a^{2} + 16a \leq 0$$，即 $$a(a + 16) \leq 0$$，解得 $$-16 \leq a \leq 0$$。
对应选项 A。
答案：A
10. 若命题 $$p: \exists x \in \mathbf{R}, a x^{2} + 2 a x - 4 \geq 0$$ 为假命题，求 $$a$$ 的取值范围。
解析：命题假意味着对所有 $$x$$，$$a x^{2} + 2 a x - 4 < 0$$ 成立。
当 $$a = 0$$ 时，不等式为 $$-4 < 0$$，恒成立，符合。
当 $$a \neq 0$$ 时，需二次函数开口向下且判别式小于零：
$$a < 0$$ 且 $$\Delta = 4a^{2} + 16a < 0$$，即 $$4a(a + 4) < 0$$，解得 $$-4 < a < 0$$。
综上，$$-4 < a \leq 0$$，但选项中有 A.$$(-4,0]$$，符合。
答案：A