在给定区间上恒成立问题-2.3 二次函数与一元二次方程、不等式知识点考前进阶单选题自测题解析-陕西省等高一数学必修,平均正确率40.0%

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=a x-x^{3}$$，对区间$$( 0， 1 )$$上的任意$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$，且$${{x}_{1}{<}{{x}_{2}}}$$，都有$$f ( x_{2} )-f ( x_{1} ) > x_{2}-x_{1}$$成立，则$${{a}}$$的取值范围为（）

B

A.$$( 0， 1 )$$

B.$$[ 4，+\infty)$$

C.$$( 0， 4 ]$$

D.$$( 1， 4 ]$$

正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=x+\frac{t} {x} ( x > 0 )$$过点$$P ( 1， 0 )$$作曲线$$y=f ( x )$$的两条切线$$P M， ~ P N$$，切点分别为$${{M}{，}{N}}$$，设$$g ( t )=| M N |$$，若对任意的正整数$${{n}}$$，在区间$$[ 2， n+\frac{6 4} {n} ]$$内，若存在$${{m}{+}{1}}$$个数$${{a}_{1}}$$，$${{a}_{2}}$$，$$\ldots a_{m+1}$$，使得不等式$$g ( a_{1} )+g ( a_{2} )+\ldots g ( a_{m} ) < g ( a_{m+1} )$$，则$${{m}}$$的最大值为（）

B

A.$${{5}}$$

B.$${{6}}$$

C.$${{7}}$$

D.$${{8}}$$

正确率60.0%若对任意$${{x}{<}{0}{，}}$$不等式$$x+\frac{4} {x} \leqslant m^{2}+5 m$$恒成立，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）

C

A.$$- 4 \leqslant m \leqslant-1$$

B.$${{m}{⩽}{1}}$$或$${{m}{⩾}{4}}$$

C.$${{m}{⩽}{−}{4}}$$或$${{m}{⩾}{−}{1}}$$

D.$$1 \leqslant m \leqslant4$$

正确率40.0%已知奇函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足$$f \left( x+1 \right)=f \left( 1-x \right)$$，当$$x \in[-1， 1 ]$$时$$f ( x )=\frac{1 0 x} {9}$$，则对任意的$$x \in\left[ 0， 1 \right]， f \left( x+a \right) \leqslant f \left( x \right) \left( a \in\left[-3， 3 \right] \right)$$恒成立，则实数$${{a}}$$
的取值范围（）

D

A.$$[-2， 2 ]$$

B.$$[-1， 1 ]$$

C.$$[ 1， 3 ] \cup[-2， 0 ]$$

D.$$[ 2， 3 ] \cup[-2， 0 ]$$

正确率40.0%若不等式$$x^{2}-\operatorname{l o g}_{m} x < 0$$在$$( 0， \frac{1} {2} )$$内恒成立，则实数$${{m}}$$的取值范围为（）

C

A.$$[ \frac{1} {2}， 1 )$$

B.$$( {\frac{1} {4}}， 1 )$$

C.$$[ \frac{1} {1 6}， 1 )$$

D.$$( {\frac{1} {1 6}}， 1 )$$

正确率40.0%已知$$a > 0 \ss a \neq1， f \left( x \right)=x^{2}-a^{x}， \n{"} x \in\left(-1， 1 \right)$$的取值范围是（）

A

A.$$[ \frac{1} {2}， 1 ) \cup( 1， 2 ]$$

B.$$[ 0， \frac{1} {2} ) \cup[ 2，+\infty)$$

C.$$[ \frac{1} {4}， 1 ) \cup( 1， 4 ]$$

D.$$[ 0， \frac{1} {4} ) \cup[ 4，+\infty)$$

正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=| x^{2}-m |$$，若对任意的$$x \in[ 1， 2 ]， ~ x f ( x ) \geq2$$恒成立，则实数$${{m}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$

D

A.$$[ 5，+\infty)$$

B.$$(-\infty， 4 )$$

C.$$(-\infty， 0 ] \cup[ 5，+\infty)$$

D.$$(-\infty，-1 ] \cup[ 5，+\infty)$$

正确率60.0%已知$$p_{:} ~-\frac{1} {2} < a < 1，$$$$q， ~ \forall x \in[-1， 1 ]， ~ x^{2}-a x-2 < 0$$，则$${{p}}$$是$${{q}}$$成立的（）

A

A.充分但不必要条件

B.必要但不充分条件

C.充分必要条件

D.既不是充分条件也不是必要条件

正确率40.0%若函数$$f ( x )=m \operatorname{l n} x+x^{2}-m x$$在区间$${{(}{0}{{，}{+}{∞}}{)}}$$内单调递增，则实数$${{m}}$$的取值范围为（）

B

A.$$( 0， 8 ]$$

B.

C.$$(-\infty， 0 ] \cup[ 8，+\infty)$$

D.$$(-\infty， 0 ) \cup( 8，+\infty)$$

正确率40.0%若命题$$` ` \forall x \in( 0，+\infty)， \; \; \operatorname{l n} x < x^{2}-x+k "$$是假命题，则实数$${{k}}$$的取值范围是（）

B

A.$$(-\infty， 0 )$$

B.$$(-\infty， 0 ]$$

C.$$( 0，+\infty)$$

D.$$[ 0，+\infty)$$

1. 题目要求函数 $$f(x) = a x - x^3$$ 在区间 $$(0,1)$$ 上满足 $$f(x_2) - f(x_1) > x_2 - x_1$$ 对所有 $$x_1 < x_2$$ 成立。这意味着导数 $$f'(x) = a - 3x^2 \geq 1$$ 在 $$(0,1)$$ 上恒成立。解不等式 $$a - 3x^2 \geq 1$$ 得 $$a \geq 3x^2 + 1$$。由于 $$x \in (0,1)$$，$$3x^2 + 1$$ 的最大值为 $$4$$（当 $$x \to 1^-$$ 时）。因此 $$a \geq 4$$，答案为 $$[4, +\infty)$$，选 B。

3. 不等式 $$x + \frac{4}{x} \leq m^2 + 5m$$ 对所有 $$x < 0$$ 成立。令 $$y = -x > 0$$，则不等式化为 $$-y - \frac{4}{y} \leq m^2 + 5m$$，即 $$y + \frac{4}{y} \geq -m^2 - 5m$$。由于 $$y + \frac{4}{y} \geq 4$$（当 $$y = 2$$ 时取等），故 $$4 \geq -m^2 - 5m$$，解得 $$m \leq -4$$ 或 $$m \geq -1$$，选 C。

5. 不等式 $$x^2 - \log_m x < 0$$ 在 $$(0, \frac{1}{2})$$ 内恒成立，即 $$\log_m x > x^2$$。当 $$0 < m < 1$$ 时，$$\log_m x$$ 递减，需 $$\log_m \left(\frac{1}{2}\right) \geq \left(\frac{1}{2}\right)^2$$，即 $$m^{\frac{1}{4}} \leq \frac{1}{2}$$，解得 $$m \geq \frac{1}{16}$$。因此 $$m \in \left[\frac{1}{16}, 1\right)$$，选 C。

7. 不等式 $$x |x^2 - m| \geq 2$$ 对所有 $$x \in [1,2]$$ 成立。分两种情况：若 $$m \leq x^2$$，则 $$x(x^2 - m) \geq 2$$，即 $$m \leq x^2 - \frac{2}{x}$$；若 $$m > x^2$$，则 $$x(m - x^2) \geq 2$$，即 $$m \geq x^2 + \frac{2}{x}$$。分析极值点，最终 $$m \leq 0$$ 或 $$m \geq 5$$，选 C。

9. 函数 $$f(x) = m \ln x + x^2 - m x$$ 在 $$(0, +\infty)$$ 内单调递增，需导数 $$f'(x) = \frac{m}{x} + 2x - m \geq 0$$ 恒成立。整理得 $$2x^2 - m x + m \geq 0$$。令判别式 $$\Delta = m^2 - 8m \leq 0$$，解得 $$0 \leq m \leq 8$$，选 A。