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正确率60.0%把一段长为$${{1}{2}{{c}{m}}}$$的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（）
D
A.$$\frac{3 \sqrt{3}} {2} \mathrm{c m^{2}}$$
B.$${{4}{{c}{m}^{2}}}$$
C.$${{3}{\sqrt {2}}{{c}{m}^{2}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}{{c}{m}^{2}}}$$
2、['二次函数模型的应用'， '函数单调性的应用'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%一般来说，产品进入市场，价格越高，销量越小.某门店对其销售的某种商品的定价为$${{p}}$$元/件，日销售量为$${{q}}$$件，根据历史数据可近似认为$${{p}{，}{q}}$$满足关系$$q=2 0 0-p ( 8 0 \leqslant p \leqslant1 5 0 )，$$如当定价$${{p}}$$为$${{9}{0}}$$元时，毛收入为$${{9}{9}{0}{0}}$$元.为了追求最大利润，不会无限提高售价，根据信息推测该门店销售该种商品每天可获得的最少毛收入为（）
A
A.$${{7}{5}{0}{0}}$$元
B.$${{9}{6}{0}{0}}$$元
C.$${{9}{9}{0}{0}}$$元
D.$$1 0 0 0 0$$元
3、['函数的最大(小)值'， '已知函数值（值域）求自变量或参数'， '二次函数的图象分析与判断']正确率60.0%已知函数$$f \left( x \right)=\left( x \right)^{2}-x+b$$，当$$x \in\left[ \frac{1} {8}， \ 4 \right]$$时，函数$${{f}{(}{x}{)}}$$有最大值$${{8}}$$，则$${{b}{=}{（}}$$）
A
A.$${{−}{4}}$$
B.$${{4}}$$
C.$$\frac{3 3} {4}$$
D.$${{6}}$$
4、['等差数列的通项公式'， '一元二次方程的解集'， '等差数列的性质'， '等差数列的前n项和的应用'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%svg异常
B
A.$${{8}}$$
B.$${{9}}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${{1}{1}}$$
5、['函数的单调区间'， '二次函数的图象分析与判断']正确率60.0%若函数$$y=x^{2}+( 3 a-1 ) x+1$$在区间$$(-3， 2 )$$上是单调函数，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
C
A.$$[-1， \frac{7} {3} ]$$
B.$$(-1， \frac{7} {3} )$$
C.$$(-\infty，-1 ] \cup[ \frac{7} {3}，+\infty)$$
D.$$(-\infty，-1 ) \cup( \frac{7} {3}，+\infty)$$
6、['二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系'， '二次函数的图象分析与判断']正确率60.0%关于 $${{x}}$$的方程 $${{x}}$$$${^{2}{+}{(}}$$ $${{a}}$$$${^{2}{−}{1}{)}}$$ $${{x}}$$$${{+}}$$ $${{a}}$$$${{−}{2}{=}{0}}$$的一根比$${{1}}$$大，一根比$${{1}}$$小，则有
C
A.$${{−}{1}{<}}$$ $${{a}}$$$${{<}{2}}$$
B. $${{a}}$$$${{<}{−}{2}}$$或 $${{a}}$$$${{>}{1}}$$
C.$${{−}{2}{<}}$$ $${{a}}$$$${{<}{1}}$$
D. $${{a}}$$$${{<}{−}{1}}$$或 $${{a}}$$$${{>}{2}}$$
7、['二次函数的图象分析与判断']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=x^{2}-4 x+3， x \in[-4， 6 ]$$，则$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的最大值是（）
A
A.$${{3}{5}}$$
B.$${{3}{6}}$$
C.$${{1}{5}}$$
D.$${{1}{6}}$$
8、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '复合函数的单调性判定'， '对数（型）函数的单调性'， '二次函数的图象分析与判断']正确率60.0%若函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=l n \left( \begin{matrix} {x^{2}-2 a x-3 a} \\ \end{matrix} \right)$$在区间$$( \ -\infty， \ \ -1 ]$$内为减函数，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）
C
A.$$[-1， \ 0 )$$
B.$$[-1， ~ 1 ]$$
C.$$[-1， \ 1 )$$
D.$$[-1， ~+\infty)$$
9、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%若函数$$f \left( x \right)=a x^{2}-2 x$$在区间$$[-\frac{1} {2}， \frac{1} {4} ]$$上具有单调性，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
B
A.$$(-\infty，-2 ] \bigcup\， [ 0， 4 ]$$
B.$$[-2， 4 ]$$
C.$$(-\infty，-2 ] \bigcup\， ( 0， 4 ]$$
D.$$[-2， 0 ]$$
10、['指数函数的定义'， '二次函数的图象分析与判断']正确率60.0%已知指数函数$$f ( x )=a^{x} ( a > 0$$且$${{a}{≠}{1}{)}}$$的图象经过抛物线$$y=x^{2}+2 x+3$$的顶点，则$${{a}{=}}$$（）
A
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$${{3}}$$
1. 设两段铁丝长度分别为$$x$$和$$12 - x$$（单位：cm）。围成的正三角形边长分别为$$\frac{x}{3}$$和$$\frac{12 - x}{3}$$。面积之和为： $$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \left( \frac{x}{3} \right)^2 + \left( \frac{12 - x}{3} \right)^2 \right) = \frac{\sqrt{3}}{36} (2x^2 - 24x + 144)$$ 求导得极值点$$x = 6$$，代入得最小面积： $$S_{\text{min}} = \frac{\sqrt{3}}{36} \times 72 = 2\sqrt{3} \, \text{cm}^2$$ 答案为D。
2. 毛收入函数为$$R = p \cdot q = p(200 - p) = -p^2 + 200p$$，定义域$$80 \leq p \leq 150$$。求导得极值点$$p = 100$$，此时$$R = 10000$$元。边界值$$p = 80$$时$$R = 9600$$元，$$p = 150$$时$$R = 7500$$元。故最少毛收入为7500元，答案为A。
3. 函数$$f(x) = x^2 - x + b$$在区间$$\left[ \frac{1}{8}, 4 \right]$$的端点或顶点处取最大值。顶点$$x = \frac{1}{2}$$时$$f\left(\frac{1}{2}\right) = b - \frac{1}{4}$$；边界$$x = 4$$时$$f(4) = 16 - 4 + b = 12 + b$$。由题意$$12 + b = 8$$，解得$$b = -4$$，答案为A。
5. 二次函数$$y = x^2 + (3a - 1)x + 1$$的对称轴为$$x = \frac{1 - 3a}{2}$$。要求在$$(-3, 2)$$单调，需对称轴不在区间内： $$\frac{1 - 3a}{2} \leq -3 \quad \text{或} \quad \frac{1 - 3a}{2} \geq 2$$ 解得$$a \geq \frac{7}{3}$$或$$a \leq -1$$，答案为C。
6. 设方程$$x^2 + (a^2 - 1)x + a - 2 = 0$$的两根满足$$x_1 < 1 < x_2$$，由二次函数性质得： $$f(1) = 1 + (a^2 - 1) + a - 2 = a^2 + a - 2 < 0$$ 解得$$-2 < a < 1$$，答案为C。
7. 函数$$f(x) = x^2 - 4x + 3$$在区间$$[-4, 6]$$的顶点$$x = 2$$处取最小值$$f(2) = -1$$，边界$$x = -4$$时$$f(-4) = 35$$，$$x = 6$$时$$f(6) = 15$$。最大值为35，答案为A。
8. 函数$$f(x) = \ln(x^2 - 2a x - 3a)$$在$$(-\infty, -1]$$递减，需内层函数$$g(x) = x^2 - 2a x - 3a$$在$$(-\infty, -1]$$递减且$$g(-1) \geq 0$$。解得： $$a \geq -1 \quad \text{且} \quad 1 + 2a - 3a \geq 0 \Rightarrow a \leq 1$$ 综合得$$a \in [-1, 1)$$，答案为C。
9. 函数$$f(x) = a x^2 - 2x$$在$$\left[ -\frac{1}{2}, \frac{1}{4} \right]$$单调，需对称轴$$x = \frac{1}{a}$$不在区间内或$$a = 0$$。分类讨论： - 若$$a > 0$$，需$$\frac{1}{a} \leq -\frac{1}{2}$$或$$\frac{1}{a} \geq \frac{1}{4}$$，解得$$a \leq -2$$（舍）或$$0 < a \leq 4$$； - 若$$a < 0$$，需$$\frac{1}{a} \geq \frac{1}{4}$$（不成立）或直接验证$$a = 0$$时成立。 综上，$$a \in (-\infty, -2] \cup [0, 4]$$，答案为A。
10. 抛物线$$y = x^2 + 2x + 3$$的顶点为$$(-1, 2)$$。指数函数$$f(x) = a^x$$过此点，则$$a^{-1} = 2$$，解得$$a = \frac{1}{2}$$，答案为A。