一元二次方程根的范围问题-2.3 二次函数与一元二次方程、不等式知识点月考进阶自测题答案-河北省等高一数学必修,平均正确率48.0%

第2题：设$$S_n$$为等比数列$$\{a_n\}$$的前$$n$$项和，且关于$$x$$的方程$$a_1 x^2 - a_3 x + a_2 = 0$$有两个相等的实根，则$$\frac{S_9}{S_3} = ?$$

1. 等比数列性质：设公比为$$q$$，则$$a_3 = a_1 q^2$$，$$a_2 = a_1 q$$

2. 代入方程：$$a_1 x^2 - a_1 q^2 x + a_1 q = 0$$，约去$$a_1 \neq 0$$得：$$x^2 - q^2 x + q = 0$$

3. 判别式为零：$$\Delta = (-q^2)^2 - 4 \times 1 \times q = q^4 - 4q = 0$$

4. 解得：$$q(q^3 - 4) = 0$$，因$$q \neq 0$$，故$$q^3 = 4$$

5. 等比数列求和：$$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$$，则$$\frac{S_9}{S_3} = \frac{1 - q^9}{1 - q^3}$$

6. 因$$q^3 = 4$$，故$$q^9 = (q^3)^3 = 64$$，代入得：$$\frac{1 - 64}{1 - 4} = \frac{-63}{-3} = 21$$

第3题：若关于$$x$$的方程$$-x^2 + ax + 4 = 0$$的两个实根中一个小于$$-1$$，另一个大于$$2$$，求实数$$a$$的取值范围。

1. 设$$f(x) = -x^2 + ax + 4$$，抛物线开口向下

2. 根的位置条件等价于：$$f(-1) > 0$$ 且 $$f(2) > 0$$（因开口向下，函数值在两根之间为负，之外为正）

3. 计算：$$f(-1) = -1 - a + 4 = 3 - a > 0 \Rightarrow a < 3$$

4. $$f(2) = -4 + 2a + 4 = 2a > 0 \Rightarrow a > 0$$

5. 综上：$$0 < a < 3$$

第4题：关于$$x$$的方程$$x^2 - 2ax + 1 = 0$$的两根分别在$$(0, 1)$$与$$(1, 3)$$内，求实数$$a$$的取值范围。

1. 设$$f(x) = x^2 - 2ax + 1$$，抛物线开口向上

2. 根的位置条件等价于：

$$f(0) > 0$$，$$f(1) < 0$$，$$f(3) > 0$$

3. 计算：$$f(0) = 1 > 0$$（恒成立）

4. $$f(1) = 1 - 2a + 1 = 2 - 2a < 0 \Rightarrow a > 1$$

5. $$f(3) = 9 - 6a + 1 = 10 - 6a > 0 \Rightarrow a < \frac{5}{3}$$

6. 综上：$$1 < a < \frac{5}{3}$$

第5题：若$$x_1, x_2$$是关于$$x$$的方程$$x^2 - tx + 2 - t = 0$$的两个实数根，且$$x_1 < 1 < x_2$$，求$$t$$的取值范围。

1. 设$$f(x) = x^2 - tx + 2 - t$$，抛物线开口向上

2. $$x_1 < 1 < x_2$$等价于$$f(1) < 0$$

3. 计算：$$f(1) = 1 - t + 2 - t = 3 - 2t < 0 \Rightarrow t > \frac{3}{2}$$

第6题：若不等式$$ax^2 + bx + 2 > 0$$的解集为$$(-\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$$，求不等式$$bx^2 - ax + 10 < 0$$的解集。

1. 解集为区间形式，说明$$a < 0$$，且$$-\frac{1}{3}$$和$$\frac{1}{2}$$是方程$$ax^2 + bx + 2 = 0$$的根

2. 由韦达定理：$$-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = -\frac{b}{a}$$，$$(-\frac{1}{3}) \times \frac{1}{2} = \frac{2}{a}$$

3. 由第二式：$$-\frac{1}{6} = \frac{2}{a} \Rightarrow a = -12$$

4. 代入第一式：$$\frac{1}{6} = -\frac{b}{-12} = \frac{b}{12} \Rightarrow b = 2$$

5. 代入新不等式：$$2x^2 - (-12)x + 10 < 0 \Rightarrow 2x^2 + 12x + 10 < 0$$

6. 化简：$$x^2 + 6x + 5 < 0 \Rightarrow (x + 1)(x + 5) < 0$$

7. 解得：$$-5 < x < -1$$

第7题：已知方程$$x^2 - 2ax + a^2 - 4 = 0$$的一个实根在区间$$(-1, 0)$$内，另一个实根大于$$2$$，求实数$$a$$的取值范围。

1. 设$$f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 4$$，抛物线开口向上

2. 根的位置条件等价于：$$f(-1) > 0$$，$$f(0) < 0$$，$$f(2) < 0$$

3. 计算：$$f(-1) = 1 + 2a + a^2 - 4 = a^2 + 2a - 3 > 0 \Rightarrow (a + 3)(a - 1) > 0 \Rightarrow a < -3$$ 或 $$a > 1$$

4. $$f(0) = a^2 - 4 < 0 \Rightarrow -2 < a < 2$$

5. $$f(2) = 4 - 4a + a^2 - 4 = a^2 - 4a < 0 \Rightarrow a(a - 4) < 0 \Rightarrow 0 < a < 4$$

6. 取交集：由(3)(4)(5)得$$1 < a < 2$$

第9题：已知关于$$x$$的方程$$x^2 - ax + 3 = 0$$的一个根大于$$1$$，另一个根小于$$1$$，求实数$$a$$的取值范围。

1. 设$$f(x) = x^2 - ax + 3$$，抛物线开口向上

2. 一根大于1，一根小于1等价于$$f(1) < 0$$

3. 计算：$$f(1) = 1 - a + 3 = 4 - a < 0 \Rightarrow a > 4$$

第10题：已知关于$$x$$的方程$$x^2 + (a^2 - 1)x + a - 2 = 0$$的一根比$$1$$大且另一根比$$1$$小，求实数$$a$$的取值范围。

1. 设$$f(x) = x^2 + (a^2 - 1)x + a - 2$$，抛物线开口向上

2. 一根大于1，一根小于1等价于$$f(1) < 0$$

3. 计算：$$f(1) = 1 + (a^2 - 1) + a - 2 = a^2 + a - 2 < 0$$

4. 因式分解：$$(a + 2)(a - 1) < 0 \Rightarrow -2 < a < 1$$